《表2 基于梯度增强代理模型的气动优化设计领域的代表性研究工作》

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《基于代理模型的高效全局气动优化设计方法研究进展》

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式中：为子模型的预估值。由于子模型的相关矩阵规模较小，规避了大规模矩阵分解时计算量过大的问题，并且多个子模型之间可以并行计算，因而建模效率大大提高。图6给出了不同维数和样本点数下GEK模型和WGEK模型训练所需每秒浮点数计算次数（Flops）的对比[253]。从图中可以看到，随着建模样本点数和优化问题维数的增加，GEK模型训练的计算量剧增，而WGEK模型训练的计算量增长则相对缓慢，始终在可接受的范围内。图7给出了基于WGEK模型对ONERA M6跨声速机翼进行压力分布反设计的收敛历程，其中设计变量个数为108个[253]。可以看到基于WGEK模型的优化设计方法表现出很好的效率优势。此外，Bouhlel和Martins[69]也从降维的角度出发，通过偏最小二乘法（PartialLeast Squares，PLS）获得设计变量的重要程度顺序，从而在建立间接GEK模型时，有选择性地增加特定方向（维数）上的样本点，达到控制相关矩阵规模的目的。该方法仅仅通过数值算例的建模证明了改进后的GEK模型在建模效率和精度上比原始的间接GEK模型和Kriging模型更高，但尚未在气动优化设计中得到应用。Chen等[196]通过特征提取方法评估样本每一维的输入对最终预测结果的影响程度，并根据平衡最佳模型精度和建模效率准则来确定需要引入的梯度信息的维度方向，建立PGEK来缓解维数灾难现象。表2给出了目前国内外研究团队开展基于梯度增强代理模型的气动优化设计工作概况。从表中可以看到，虽然在代理模型中引入梯度后可以将反设计问题的适用维数提高到100维以上，但对于气动优化设计问题，目前梯度增强代理模型仅适用于60维左右，若进一步提高优化问题的维数，仍将面临严峻的维数灾难挑战。