《一元分析基础》

第一章集合与函数1

第一节 集合1

一、逻辑量词和符号1

二、集合的概念1

三、集合的运算3

习题1-16

第二节 映射6

一、映射的概念6

二、映射的运算9

三、集合的有限与无限12

习题1-215

一、函数的概念16

第三节 函数16

二、函数的代数运算17

三、反函数18

四、初等函数18

五、函数的基本特性23

六、双曲函数25

习题1-329

第二章极限与连续32

第一节 数列的极限32

一、数列极限的定义32

二、数列极限的性质34

三、收敛准则36

一、当x→∞时，f(x)的极限38

习题2-138

第二节 函数的极限38

二、当x→x0时，f(x)的极限40

三、函数极限的性质42

习题2-243

第三节 无穷大量与无穷小量43

一、无穷大量43

二、无穷小量45

三、无穷小量与无穷大量的关系45

四、无穷小量的运算定理46

习题2-348

一、极限的四则运算法则49

第四节 极限的运算法则49

二、复合函数的极限52

习题2-453

第五节 夹逼定理、两个重要极限54

一、夹逼定理54

二、重要极限？＝155

三、重要极限？(1+？)x＝e57

习题2-559

第六节 无穷小量的比较60

习题2-662

第七节 函数的连续性63

一、函数的连续性63

二、连续函数的基本性质66

三、初等函数的连续性69

四、函数的间断点69

习题2-772

第八节 闭区间上连续函数的性质73

习题2-875

第九节 常数项级数的概念和性质75

一、基本概念75

二、级数的性质78

习题2-980

第十节 常数项级数敛散性判别法81

一、正项级数敛散性的判别法81

二、交错级数及其敛散性判别法85

三、绝对收敛与条件收敛87

习题2-1088

第三章一元函数的导数和微分90

第一节 导数的概念90

一、导数概念的引入90

二、导数的定义92

三、导数的几何意义96

四、可导与连续的关系98

习题3-198

第二节 求导法则99

一、函数四则运算的求导法则99

二、复合函数的求导法则(链导法则)102

三、反函数求导法则105

四、基本导数公式表106

五、隐函数求导法则107

六、参数方程求导法则109

七、取对数求导法110

习题3-2111

第三节 高阶导数113

习题3-3117

第四节 微分与差分118

一、微分的概念118

二、微分与导数的关系119

三、微分的几何意义121

五、高阶微分122

四、微分的运算公式122

六、近似求导法124

习题3-4125

第五节 微分中值定理126

一、罗尔中值定理126

二、拉格朗日中值定理129

三、柯西中值定理132

四、泰勒中值定理133

习题3-5139

第六节 幂级数140

一、函数项级数140

二、幂级数及其收敛性141

三、函数展开成幂级数149

习题3-6156

第四章一元微分学的应用158

第一节 函数的单调性和曲线的凹凸性158

一、函数的单调性158

二、曲线的凹凸性160

习题4-1164

第二节 函数的极值和最值165

一、函数的极值165

二、函数的最值169

习题4-2172

第三节 函数图形的描绘173

一、渐近线174

二、函数图形的描绘175

习题4-3179

第四节 罗必达法则179

一、？型不定式180

二、？型不定式181

习题4-4184

第五节 相关变化率、弧微分、曲率185

一、相关变化率185

二、弧微分187

三、曲率189

习题4-5193

第一节 定积分的概念和性质195

一、定积分的概念195

第五章一元函数的积分195

二、定积分的存在性198

三、定积分的性质200

习题5-1206

第二节 一元微积分的基本定理207

一、原函数与积分上限函数207

二、微积分的基本公式211

习题5-2212

第三节 原函数的求法和积分表213

一、不定积分的概念及性质213

二、求不定积分的方法216

习题5-3233

一、换元法235

第四节 定积分的计算235

二、分部积分法238

三、逐项积分法240

习题5-4241

第五节 广义积分242

一、无穷积分243

二、瑕积分246

三、广义积分的收敛原理250

四、广义积分的柯西主值252

习题5-5253

第六章定积分的应用254

第一节 建立定积分数学模型的微元法254

一、直角坐标情形256

第二节 平面图形的面积256

二、极坐标情形260

习题6-2261

第三节 平面曲线的弧长262

习题6-3267

第四节 立体体积和旋转体侧面积268

一、平行截面面积为已知的立体体积268

二、旋转体的体积270

三、旋转体的侧面积271

习题6-4273

第五节 其它方面的应用274

一、变力作功274

二、液体静压力276

三、连续函数的平均值278

习题6-5281

第七章常微分方程283

第一节 微分方程的一般概念283

一、什么是常微分方程283

二、常微分方程的解284

习题7-1287

第二节 一阶微分方程287

一、变量可分离方程287

二、齐次方程289

三、可化为齐次方程的方程292

四、一阶线性微分方程294

五、贝努利方程297

习题7-2298

第三节 可降阶的高阶微分方程300

一、y(n)＝f(x)型的微分方程300

二、y″＝f(x，y′)型的微分方程301

三、y″＝f(y，y′)型的微分方程303

习题7-3305

第四节 高阶线性微分方程306

一、线性微分方程解的结构306

二、常系数齐次线性微分方程312

三、常系数非齐次线性微分方程315

四、欧拉方程321

习题7-4322

一、微分方程的幂级数解法324

第五节 幂级数解法与常系数线性微分方程组324

二、常系数线性微分方程组解法举例328

习题7-5331

第六节 微分方程的差分方法332

一、初值问题数值解的基本概念332

二、线性差分方程333

三、欧拉方法334

四、欧拉方法的变形和改进336

五、尤格-库塔方法339

习题7-6341

附录 积分表343

习题答案355