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第一章 集合与函数1

第一节 集合1

一、逻辑量词和符号1

二、集合的概念1

三、集合的运算3

习题1-15

第二节 映射6

一、映射的概念6

二、映射的运算7

三、集合的有限与无限10

一、函数的概念13

第三节 函数13

习题1-213

二、函数的代数运算14

三、反函数15

四、初等函数15

五、函数的基本特性19

六、双曲函数21

习题1-324

第二章 极限与连续27

第一节 数列的极限27

一、数列的概念27

二、数列的性质28

三、数列极限的定义29

四、数列极限的性质31

五、收敛准则33

习题2-135

第二节 函数的极限35

一、当x→∞时，函数f(x)的极限35

二、当x→x0时，函数f(x)的极限38

三、函数极限的性质41

习题2-244

第三节 无穷小量与无穷大量44

一、无穷小量及其运算44

二、无穷大量47

习题2-349

第四节 极限的运算法则49

第七节 函数的连续性54

习题2-454

一、夹逼定理55

第五节 夹逼定理、两个重要极限55

二、重要极限56

三、重要极限58

习题2-560

第六节 无穷小量的比较61

一、无穷小量比较的概念61

二、关于等价无穷小的性质和定理62

习题2-664

一、函数连续性的概念64

二、函数的间断点67

三、连续函数的运算及其基本性质69

四、初等函数的连续性73

习题2-773

第八节 闭区间上连续函数的性质74

习题2-878

第九节 常数项级数的概念和性质78

一、无穷级数的概念78

二、级数收敛的必要条件80

三、级数的基本性质81

习题2-982

第十节 常数项级数敛散性判别法83

一、正项级数敛散性的判别法83

二、交错级数及其敛散性判别法88

三、任意项级数及其敛散性判别法89

习题2-1091

第三章 导数与微分93

第一节 导数的概念93

一、导数概念的引入93

二、导数的定义94

三、导数的几何意义97

四、可导与连续的关系98

习题3-199

第二节 求导法则99

一、函数四则运算的求导法则100

二、复合函数的求导法则(链导法则)102

三、反函数的求导法则104

四、基本导数公式105

五、隐函数的求导法则106

六、参数方程的求导法则107

七、取对数求导法108

习题3-2109

第三节 高阶导数110

习题3-3114

第四节 微分及其运算115

一、微分的概念115

二、微分与导数的关系116

三、微分的几何意义116

四、微分的运算法则及高阶微分117

一、罗尔中值定理119

习题3-4119

第五节 微分中值定理119

二、拉格朗日中值定理120

三、柯西中值定理123

四、泰勒中值定理124

习题3-5128

第六节 幂级数129

一、函数项级数129

二、幂级数及其收敛性130

三、函数展开成幂级数135

习题3-6140

一、函数的单调性141

第一节 函数的单调性和曲线的凹凸性141

第四章 导数的应用141

二、曲线的凹凸性142

习题4-1146

第二节 函数的极值和最值147

一、函数的极值147

二、函数的最值149

习题4-2152

第三节 函数图形的描绘153

一、渐近线153

二、函数图形的描绘154

习题4-3157

一、0/0型不定式158

第四节 罗必达法则158

二、∞/∞型不定式160

习题4-4162

第五节 相关变化率、弧微分、曲率163

一、相关变化率163

二、弧微分164

三、曲率165

习题4-5169

第五章 积分170

第一节 定积分的概念和性质170

一、定积分的概念170

二、定积分的性质173

习题5-1177

第二节 定积分的基本定理178

一、原函数与积分上限函数178

二、微积分的基本公式181

习题5-2182

第三节 原函数的求法与不定积分183

一、不定积分的概念和性质183

二、求不定积分的方法186

习题5-3200

第四节 定积分的计算201

一、换元法202

二、分部积分法204

三、部分分式法206

习题5-4208

第五节 广义积分209

一、无穷积分209

二、瑕积分211

三、广义积分的收敛原理215

四、广义积分的柯西主值216

习题5-5217

第六章 定积分的应用219

第一节 建立定积分数学模型的微元法219

第二节 平面图形的面积220

一、直角坐标情形220

二、极坐标情形223

习题6-2223

第三节 平面曲线的弧长225

习题6-3229

第四节 立体体积和旋转体侧面积230

一、平行截面面积为已知的立体体积230

二、旋转体的体积231

三、旋转体的侧面积232

习题6-4233

第五节 功和静压力234

一、变力作功234

二、液体静压力236

习题6-5237

第六节 幂级数的和238

一、质心241

第七节 其它方面的应用241

习题6-6241

二、连续函数的平均值243

习题6-7246

第七章 常微分方程248

第一节 微分方程的基本概念248

一、微分方程及其模型248

二、微分方程的基本概念250

习题7-1253

第二节 一阶微分方程253

一、变量可分离方程253

二、齐次方程255

三、可化为齐次方程的方程257

四、一阶线性微分方程259

五、伯努利方程261

习题7-2263

第三节 可降阶的高阶微分方程264

一、y~(n)＝f(x)型的微分方程264

二、y~ ＝f(x，y~ )型的微分方程265

三、y ＝f(y，y~ )型的微分方程266

习题7-3268

第四节 高阶线性微分方程269

一、线性微分方程解的结构269

二、常系数齐次线性微分方程273

三、常系数非齐次线性微分方程275

四、欧拉方程279

习题7-4280

第五节 幂级数解法与常系数线性微分方程组282

一、微分方程的幂级数解法282

二、常系数线性微分方程组解法举例285

习题7-5287

第六节 微分方程的差分方法288

一、初值问题数值解的基本概念288

二、欧拉方法289

三、欧拉方法的变形和改进290

四、龙格-库塔方法291

习题7-6293

附录 积分表295

习题答案305