《近代分析数学概要》

序言1

符号说明1

第一章 集与映射1

1 集及集的运算1

1.1 集的概念1

1.2 并集与交集4

1.3 差集与余集5

1.4 积集与投影7

2 映射10

2.1 映射与逆映射10

2.2 映射的图象16

2.3 映射的延拓与限制17

2.4 映射的复合17

2.5 集的特征函数18

3 可列集与不可列集20

3.1 可列集的概念20

3.2 可列集的基本性质21

3.3 不可列集举例23

4 实数直线上的点集25

4.1 上确界与下确界25

4.2 实数点列的基本性质31

4.3 闭区间的紧性35

4.4 几个常用的不等式37

4.5 上极限与下极限40

习题42

第二章 空间结构和抽象空间48

1 集与空间48

1.1 空间结构48

1.2 Euclid空间50

1.3 酉空间55

2 线性运算 线性空间57

2.1 线性运算57

2.2 线性空间60

2.3 线性子空间61

2.4 线性相关与线性无关64

2.5 维数与基66

3 距离 度量空间73

3.1 距离73

3.2 度量空间75

3.3 开集与闭集77

3.4 聚点与闭包82

3.5 极限与收敛83

3.6 连续映射85

3.7 Cauchy序列与完备度量空间89

3.8 列紧性与紧性93

3.9 压缩映射与不动点原理98

4 范数 赋范线性空间102

4.1 范数和半范数102

4.2 赋范线性空间106

4.3 强收敛108

4.4 Banach空间110

4.5 连续函数空间112

5 内积 内积空间115

5.1 内积115

5.2 内积空间116

5.3 Hilbert空间119

5.4 正交与投影120

5.5 正交集126

6 拓扑 拓扑空间135

6.1 拓扑135

6.2 拓扑空间136

6.3 拓扑空间的基本概念与性质138

习题142

第三章 LebcsgUe积分与Lp空间155

1 积分概念的推广155

1.1 Riemann积分的回顾155

1.2 Lebesgue积分的基本思想157

2.1 从区间的长度到集的测度160

2 测度160

2.2 外测度与内测度166

2.3 可测集170

2.4 Rn中的测度179

3 可测函数180

3.1 可测函数的定义180

3.2 可测函数的基本性质184

3.3 可测函数的结构187

3.4 函数列依测度收剑的概念188

4 Lebesgue积分189

4.1 Lebesgue积分的定义189

4.2 Lebesgue积分的基本性质195

4.3 控制收剑定理201

4.4 不可积的例子205

4.5 重积分与累次积分206

4.6 不定积分208

5 Lp空间211

5.1 定义与几个重要不等式211

5.2 平均收敛215

5.3 Lp空间的完备性218

5.4 Lp空间的可分性220

习题221

1 算子与泛函的一般概念225

1.1 算子与泛函225

第四章 线性算子与线性泛函225

1.2 线性算子与线性泛函227

2 连续线性算子231

2.1 有界线性算子及其范数231

2.2 连续性与有界性236

2.3 线性算子空间与对偶空间239

3 连续线性泛函的表示与延拓241

3.1 保范算子与同构241

3.2 连续线性泛函的表示243

3.3 连续线性泛函的延拓248

3.4 二次对偶空间254

4 Banach空间的几个基本定理255

4.1 开映射定理255

4.2 逆算子定理255

4.3 闭图象定理257

4.4 共鸣定理259

5 几种收敛性266

5.1 强收敛与一致收敛266

5.2 弱收敛268

5.3 弱?收敛270

6 Hilbert空间的几种算子273

6.1 伴随算子273

6.2 自伴算子277

6.3 投影算子282

6.4 正算子285

6.5 正规算子289

6.6 酉算子291

7 谱论简介292

7.1 什么是谱论292

7.2 有限维空间的谱论295

7.3 自伴算子的谱298

7.4 具有纯点谱的自伴算子302

7.5 全连续算子的谱305

7.6 关于一般有界线性算子的谱308

习题310

第五章 广义函数315

1 广义函数论的发展315

1.1 物理背景315

1.2 广义函数大意319

2 基本概念321

2.1 基本函数与基本函数空间321

2.2 广义函数与广义函数空间323

2.3 广义函数的支集328

3 广义函数的运算329

3.1 广义函数的导数329

3.2 广义函数的原函数334

3.3 广义函数列的极限337

3.4 广义函数的直积341

3.5 关于广义函数的乘法运算344

4 卷积345

4.1 函数的卷积与磨光函数345

4.2 广义函数的卷积353

4.3 卷积的基本性质355

4.4 基本解358

5 Fourier变换361

5.1 函数的Fourier变换361

5.2 缓增广义函数的Fourier变换369

5.3 几类缓增广义函数的Fourier变换375

5.4 急增函数的Fourier变换381

6 Sobolev空间383

6.1 空间Wm,P(Ω)383

6.2 空间Hm(Ω)387

6.3 嵌入定理390

习题394

第六章 变分法与变分原理397

1 变分法的问题397

1.1 古典变分学问题397

1.2 变分法的内容与意义400

2.1 ？F(x,y,y′)dx型不动边界问题401

2 Euler方程401

2.2 ？F(x,y1,…,yn,y1′,…,yn′)dx型不动边界问题406

2.3 ？F(x,y,y′,…,y(n))dx型不动边界问题408

2.4 依赖多元函数的泛函409

2.5 可动边界问题411

2.6 条件极值问题415

3 变分问题的直接法418

3.1 Euler有限差分法418

3.2 Ritz法420

3.3 Канторович法424

4.1 二次函数的极值426

4 数学物理中的变分原理426

4.2 能量法430

4.3 虚功原理436

4.4 广义解439

5 Ritz-Galerkin方法445

5.1 变分原理常用的近似解法445

5.2 Ritz法的应用及Galerkin法447

5.3 Ritz-Galerkin法的收敛性451

习题456

索引460

集和空间的符号471

有关外国数学家译名472

参考书目474