《近现代数学发展概论》

绪言1

第一章 17世纪：近代数学的创立--解析几何与微积分的诞生1

Ⅰ.变量数学发展的第一个决定性步骤2

(1)解析几何产生的背景2

(2)费尔马--具有古典色彩的工作4

(3)笛卡尔--超越传统希腊几何学最重要的一步6

Ⅱ.变量数学发展的第二个决定性步骤9

(1)一百年的微积分孕育期9

(2)牛顿的流数术微积分12

(3)莱布尼兹的无穷小微积分15

(4)牛顿与莱布尼兹特点比较19

(5)中国古代解析几何与微积分思想萌芽20

第二章 18世纪：近代数学的发展期--分析学的兴起32

Ⅰ.分析的主要成就33

(1)贝努里家族对微积分的传播、发展33

(2)欧拉在分析学方面的卓越贡献35

(3)达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯对分析学的贡献37

Ⅱ.微积分基础的内在矛盾导致“第二次数学危机”44

Ⅲ.微积分基础概念的演化--先驱者的探索46

(1)洛必塔的无穷小量分析46

(2)达朗贝尔“理性的”极限观念46

(3)欧拉形式化代数方法的微积分47

(4)拉格朗日的代数化微积分48

(5)罗伊里埃、拉克鲁阿用极限理论奠基微积分的思想49

第三章 19世纪：近代数学的成熟期--数学的飞跃发展52

(1)极限与无穷小的综合--柯西奠基现代分析体系54

Ⅰ.微积分基础概念的进一步演化--数学分析严密化体系确立54

(2)波尔察诺的е-δ思想58

(3)维尔斯特拉斯--“数学分析之父”60

(4)黎曼积分建立61

(5)实数理论和集合论最终完善经典分析63

Ⅱ.分析学的蓬勃发展71

Ⅲ.抽象代数学的先驱业绩75

(1)伽罗瓦理论的全新刺激75

(2)群论进入数学中心78

(3)高等代数系统化与“早产儿”逻辑代数、超复数79

Ⅳ.非欧几何--几何学复兴的黄金时代81

(1)曲线、曲面论几何学的进展81

(2)罗氏几何、黎曼几何--影响数学本性的发现83

(3)克莱茵统一几何学到希尔伯特“五群公理”89

附：希尔伯特23个数学问题及其解决情况92

第四章 数学基础的哲学论战97

Ⅰ.悖论震撼了数学大厦98

Ⅱ.数学基础的哲学流派100

(1)逻辑主义102

(2)直觉主义105

(3)形式主义112

Ⅲ.关于数学相容性及公理集合论117

(1)哥德尔的两大发现117

(2)根茨对纯数论的相容性证明119

(3)公理集合论的产生120

(4)选择公理和连续统假设的相容性、独立性121

(5)公理集合论的新进展125

Ⅰ.综述128

第五章 现代数学发展概观之一：数论128

Ⅱ.数论中的六颗明珠134

(1)素数定理135

(2)黎曼假设136

(3)费尔马小定理138

(4)费尔马大定理与莫德尔猜想139

(5)华林问题140

(6)哥德巴赫猜想143

第六章 现代数学发展观之二：微分方程论146

Ⅰ.偏微分议程146

Ⅱ.常微分方程156

第七章 现代数学发展概观之三：函数论164

Ⅰ.复变函数论164

(1)奠基性工作164

(2)单复变函数论的发展171

(3)多复变函数论的发展183

(4)华罗庚等对多复变函数论的贡献192

(1)积分学的革命195

Ⅱ.实变函数论195

(2)苏联函数论学派及鲁津猜想198

(3)多元傅里叶级数202

(4)新的函数空间204

(5)多线性算子理论与加权理论206

(6)利特伍德猜想和卡尔德隆猜想207

(7)抽象调和分析与实函逼近论209

(8)陈建功对实变函数论的贡献211

(1)群论214

第八章 现代数学发展概观之四：抽象代数学214

Ⅰ.20世纪的抽象代数学214

(2)域论219

(3)环论220

(4)格论224

(5)同调代数224

(6)代数K理论224

(7)线性代数225

Ⅱ.代数几何学的进展226

Ⅲ.中国的抽象代数学234

第九章 现代数学发展概观之五：微分几何学244

Ⅰ.微分几何学的形成和发展244

Ⅱ.微分几何学在中国255

第十章 现代数学发展概观之六：拓扑学263

Ⅰ.拓扑学的早期阶段263

Ⅱ.代数拓扑学266

Ⅲ.微分拓扑学269

Ⅳ.一般(点集)拓扑学275

Ⅴ.不分明拓扑学282

Ⅵ.生机蓬勃的中国拓扑学研究287

第十一章 现代数学发展概观之七：泛函分析293

Ⅰ.泛函分析的起源294

Ⅱ.泛函分析的创立295

Ⅲ.泛函分析的成熟期298

Ⅳ.泛函分析的最新进展300

Ⅰ.概率论305

(1)概率论基础305

第十二章 现代数学发展概观之八：概率论与数理统计305

(2)极限理论308

(3)随机过程的经典工作312

(4)马尔可夫过程新进展315

(5)抽象空间与无穷质点的随机过程317

(6)鞅论与随机分析319

Ⅱ.数理统计学323

第十三章 现代数学发展概观之九：运筹学336

Ⅰ.规划论337

Ⅱ.对策论343

Ⅲ.排队论344

Ⅳ.优选法346

Ⅴ.图论和组合学347

第十四章 现代数学发展概观之十：电子计算机348

Ⅰ.先驱者的探索348

Ⅱ.现代计算机的奠基性工作350

Ⅲ.现代计算机的演变及发展方向354

Ⅰ.第一代控制论360

第十五章 现代数学发展概观之十一：控制论360

Ⅱ.第二代控制论362

Ⅲ.第三代控制论365

Ⅳ.走向世界的中国控制论研究368

第十六章 现代数学中的新学说371

Ⅰ.非标准分析371

Ⅱ.突变理论375

Ⅲ.模糊数学378

Ⅳ.制约逻辑388

第十七章 历史留下的启示393

Ⅰ.哥廷根的兴衰与美国的胜利394

Ⅱ.波兰数学的中兴--独树一帜，异军突起400

Ⅲ.布尔巴基学派--年轻开拓者重建数学406

Ⅳ.尖端发展与基础教育--苏联数学称雄世界412

Ⅴ.中国--向世界主流数学挺进417

附录一：国际数学家大会与菲尔兹奖获得者425

附录二：国际沃尔夫(Wolf)奖获得者431

主要参考文献436

人名索引441