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1．历史介绍1

1.1 动机1

1.2 一些历史实例2

1.2.1 布朗运动2

1.2.2 郎之万方程6

1.3 生灭过程9

1.4 电子系统中的噪声12

1.4.1 散粒噪声12

1.4.2 自相关函数与谱17

1.4.3 涨落函数的傅里叶分析：平稳系统19

1.4.4 约翰逊噪声与尼奎斯定理20

2．概率概念23

2.1 事件和事件集23

2.2.1 概率公理24

2.2 概率24

2.2.2 P（A）的意义25

2.2.3 公理的意义26

2.2.4 随机变量26

2.3 联合概率和条件概率：独立性27

2.3.1 联合概率27

2.3.2 条件概率28

2.3.3 不同次序的联合概率间的关系29

2.3.4 独立性29

2.4 均值和概率密度30

2.4.1 由任意函数的均值确定概率密度31

2.4.2 零概率集32

2.5 均值32

2.5.1 矩、相关和协方差33

2.5.2 大数法则34

2.6 特征函数35

2.7 累积母函数：相关函数和累积量36

2.7.1 例：4阶累积量：《X1X2X3X4》38

2.7.2 累积量的意义39

2.8 高斯和泊松概率分布39

2.8.1 高斯分布39

2.8.2 中心极限定理41

2.8.3 泊松分布42

2.9 随机变量序列的极限43

2.9.1 几乎必然极限44

2.9.2 均方极限（依均方收敛）44

2.9.3 随机极限（依概率收敛）44

2.9.4 依分布收敛45

2.9.5 各极限之间的关系45

3．马尔可夫过程46

3.1 随机过程46

3.2 马尔可夫过程47

3.2.1 相容性——查普曼-柯尔莫哥洛夫方程48

3.2.2 离散状态空间49

3.2.3 更一般的测度49

3.3 随机过程连续性49

3.3.1 连续马尔可夫过程的数学定义51

3.4 微分查普曼-柯尔莫哥洛夫方程52

3.4.1 微分查普曼-柯尔莫哥洛夫方程的推导53

3.4.2 微分查普曼-柯尔莫哥洛夫方程的地位57

3.5 条件和结论的解释58

3.5.1 跳过程：主方程58

3.5.2 扩散过程——福克-普朗克方程59

3.5.3 确定性过程——刘维方程60

3.5.4 一般过程61

3.6 初始时刻的时间发展方程——后向方程62

3.7 平稳齐次马尔可夫过程64

3.7.1 遍历性质65

3.7.2 齐次过程67

3.7.3 趋向于平稳过程69

3.7.4 马尔可夫过程的自相关函数73

3.8 马尔可夫过程的例子75

3.8.1 维纳过程76

3.8.2 一维随机游动80

3.8.3 泊松过程83

3.8.4 奥恩斯坦-乌伦贝克过程85

3.8.5 随机电报过程88

4．伊藤分析和随机微分方程91

4.1 动机91

4.2 随机积分94

4.2.1 随机积分的定义94

4.2.2 例子？W（t′）dW（t′）96

4.2.3 斯特拉托诺维奇积分97

4.2.4 非可料函数98

4.2.5 dW（t）2＝dt和dW（t）2＋N＝0的证明99

4.2.6 伊藤随机积分的性质101

4.3 随机微分方程（SDE）105

4.3.1 伊藤随机微分方程：定义106

4.3.2 伊藤随机微分方程的解的马尔可夫性质108

4.3.3 变量代换：伊藤公式108

4.3.4 福克-普朗克方程和随机微分方程之间的联系110

4.3.5 多变量系统111

4.3.6 斯特拉托诺维奇随机微分方程112

4.3.7 对初始条件和参数的依赖性117

4.4 一些例子和解118

4.4.1 不依赖于x的系数118

4.4.2 乘积线性白噪声过程119

4.4.3 具有噪声频率的复振子121

4.4.4 奥恩斯坦-乌伦贝克过程122

4.4.5 从直角坐标到极坐标的转换124

4.4.6 多变量奥恩斯坦-乌伦贝克过程126

4.4.7 一般的单变量线性方程129

4.4.8 多变量线性方程131

4.4.9 与时间有关的奥恩斯坦-乌伦贝克过程133

5．福克-普朗克方程135

5.1 背景135

5.2 一维福克-普朗克方程136

5.2.1 边界条件137

5.2.2 齐次福克-普朗克方程的平稳解143

5.2.3 一些平稳解的例子145

5.2.4 后向福克-普朗克方程的边界条件147

5.2.5 本征函数方法（齐次过程）149

5.2.6 一些例子151

5.2.7 齐次过程的首次通过时间156

5.2.8 经由区间的一特定端点出口的概率162

5.3 多维福克-普朗克方程164

5.3.1 变量的代换164

5.3.2 边界条件167

5.3.3 平稳解：位势条件168

5.3.4 细致平衡169

5.3.5 细致平衡的推论172

5.3.6 福克-普朗克方程中的若干细致平衡例子178

5.3.7 多变量齐次过程情况下的本征函数方法188

5.4 区域的首次出口时间（齐次过程）194

5.4.1 平均出口时间问题的解195

5.4.2 出口点的分布198

6．扩散过程的近似方法201

6.1 小噪声摄动理论201

6.2 随机微分方程的小噪声展开204

6.2.1 展开的有效性207

6.2.2 （齐次过程的）平稳解208

6.2.3 均值、方差与时间相关函数209

6.2.4 小噪声摄动理论的失效210

6.3 福克-普朗克方程的小噪声展开213

6.3.1 矩方程及自相关函数215

6.3.2 例子218

6.3.3 平稳分布的渐近方法220

6.4 快变变量的绝热消去221

6.4.1 利用算子及投影算子的抽象表述224

6.4.2 使用拉普拉斯变换的解法227

6.4.3 短期行为229

6.4.4 边界条件231

6.4.5 系统的摄动分析233

6.5 白噪声过程作为非白噪声过程的极限237

6.5.2 更一般的涨落方程242

6.5.1 结果的一般性242

6.5.3 非齐次系统243

6.5.4 算子L1与时间相依的后果244

6.6 快变变量的绝热消去：一般情况245

6.6.1 例子：短寿命中间化合物的消去245

6.6.2 哈肯模型中的绝热消去法251

6.6.3 快变变量的绝热消去：非线性情况255

6.6.4 任意非线性耦合的例子260

7．主方程与跳过程263

7.1 生灭主方程——单变量情况264

7.1.1 平稳解264

7.1.2 例子：化学反应X？A266

7.1.3 一个化学双稳系统270

7.2 用福克-普朗克方程逼近主方程274

7.2.1 扩散过程的跳过程近似274

7.2.2 克雷默斯-莫耶尔展开278

7.2.3 范坎彭的系统大小展开279

7.2.4 库尔茨定理284

7.2.5 临界涨落285

7.3 生灭过程的边界条件287

7.4 平均首次通过时间289

7.4.1 吸收概率291

7.4.2 与福克-普朗克方程的比较291

7.5 多变量生灭系统292

7.5.1 细致平衡成立时的平稳解294

7.5.2 没有细致平衡时的平稳解296

7.5.3 系统大小展开与有关的展开296

7.6 某些例子298

7.6.1 X＋A？2X298

7.6.2 X？Y？A（＊）298

7.6.3 被捕食-捕食系统299

7.6.4 母函数方程305

7.7 泊松表示309

7.7.1 泊松表示的种类314

7.7.2 实泊松表示314

7.7.3 复泊松表示315

7.7.4 正泊松表示319

7.7.5 时间相关函数323

7.7.6 三分子反应330

7.7.7 三阶噪声335

8．空间分布系统340

8.1 背景340

8.1.1 泛函福克-普朗克方程343

8.2 多变量主方程的描述344

8.2.1 扩散344

8.2.2 扩散主方程的连续形式346

8.2.3 反应与扩散的结合351

8.3 空间和时间相关结构353

8.2.4 泊松表示法353

8.3.1 反应X？Y354

8.3.2 反应B＋X？C，A＋X？2X358

8.3.3 两级相变的非线性模型364

8.4 局部和整体描述之间的关系369

8.4.1 非均匀模式的明显绝热消去法369

8.5 相空间的主方程372

8.5.1 流动的处理方法372

8.5.2 作为生灭过程的流373

8.5.3 包含碰撞在内的情况——玻耳兹曼主方程377

8.5.4 碰撞和流同时存在380

9．双稳定性、亚稳定性和逃逸问题385

9.1 在双井势中的扩散（单变量）385

9.1.1 D＝0时的行为386

9.1.2 D非常小时的行为387

9.1.3 出口时间388

9.1.4 分裂概率389

9.1.5 来自非稳态的衰变391

9.2 在每个势井中的粒子数平衡392

9.2.1 克雷默斯方法393

9.2.2 例子：糜蛋白酶的可逆质变397

9.2.3 生灭主方程（单变量）的双稳定性399

9.3 多变量系统中的双稳定性402

9.3.1 出口点的分布403

9.3.2 平均出口时间的渐近分析408

9.3.3 多维空间中的克雷默斯方法409

9.3.4 例子：双势井中的布朗运动412

10．量子力学马尔可夫过程419

10.1 谐振子的量子力学420

10.1.1 与外场的相互作用421

10.1.2 相干态的性质422

10.2 密度矩阵和概率426

10.2.1 冯·诺伊曼方程428

10.2.2 格劳伯-苏达香P表示429

10.2.3 算子对应430

10.2.4 对受迫谐振子的应用431

10.2.5 量子特征函数433

10.3 量子马尔可夫过程435

10.3.1 热槽435

10.3.2 槽算子平滑函数的相关437

10.3.3 与热槽发生相互作用的系统的量子主方程438

10.4 量子马尔可夫过程的例子及应用442

10.4.1 谐振子442

10.4.2 被驱动的双能级原子447

10.5 量子马尔可夫过程中的时间相关函数452

10.5.1 量子回归定理454

10.5.2 P表示对谐振子的应用455

10.5.3 双能级原子的时间相关458

10.6 广义的P表示459

10.6.1 广义P表示的定义460

10.6.2 存在性定理462

10.6.3 关于泊松表示464

10.6.4 算子恒等式465

10.7 广义P表示对时间演化方程的应用466

10.7.1 复P表示467

10.7.2 正P表示468

10.7.3 例子470

参考文献472

参考书目478

符号索引482

作者索引486

论题索引489