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第一章 整除理论1

1 自然数与整数2

1.1 基本性质2

1.2 最小自然数原理与数学归纳原理4

习题一7

2 整除的基本知识8

2.1 整除的定义与基本性质8

2.2 素数与合数10

2.3 最大公约数与最小公倍数14

习题二18

3 带余数除法22

3.1 带余数除法及其基本应用22

3.2 辗转相除法27

习题三29

4 最大公约数理论35

4.1 证明的第一个途径36

4.2 证明的第二个途径41

4.3 证明的第三个途径45

习题四46

5 算术基本定理52

5.1 证明的第一个途径52

5.2 证明的第二个途径58

习题五61

6 整除理论小结62

习题六64

7 n！的素因数分解式65

7.1 符号［x］65

7.2 n！的素因数分解式69

习题七72

第二章 不定方程（Ⅰ）76

1 一次不定方程76

1.1 一次不定方程的求解76

1.2 二元一次不定方程的非负解和正解83

习题一87

2x2+y2=z2及其应用91

2.1 x2+y2=x2的求解92

2.2 应用97

习题二100

第三章 同余的基本知识103

1 同余的定义及基本性质103

习题一111

2 同余类与剩余系114

2.1 同余类与剩余系的基本性质115

2.2 剩余系的整体性质及其结构123

习题二136

3 Euler函数？（m）141

3.1 ？（m）的性质141

3.2 公开钥密码系统148

习题三149

4 Wilson定理151

习题四155

第四章 同余方程157

1 同余方程的基本概念157

习题一162

2 一元一次同余方程164

习题二169

3 一元一次同余方程组——孙子定理171

3.1 孙子定理171

3.2 孙子定理与同余类、剩余系的关系175

习题三181

4 一元同余方程的一般解法184

习题四193

5 模为素数的二次剩余195

习题五200

6 Gauss二次互反律204

6.1 Legendre符号204

6.2 Gauss引理205

6.3 二次互反律207

习题六214

7 Jacobi符号219

习题七222

8 模为素数的一元高次同余方程224

8.1 基本知识224

8.2 模为素数的二项同余方程231

习题八235

9 多元同余方程简介、Chevalley定理236

习题九239

第五章 指数与原根241

1 指数241

习题一247

2 原根250

习题二256

3 指标、指标组与既约剩余系的构造257

习题三268

4 二项同余方程269

习题四275

第六章不定方程（Ⅱ）277

1 x2 1+x2 2+x2 3+x2 4=n277

习题一281

2x2+y2=n282

2.1 有解的充分必要条件282

2.2 解数公式287

习题二294

3ax2+by2+cz2=0298

习题三304

4x3+y3=z3305

第七章 连分数311

1 什么是连分数311

习题一321

2 有限简单连分数323

习题二326

3 无限简单连分数327

习题三336

4 无理数的最佳有理逼近338

习题四343

5 二次无理数与循环连分数346

习题五359

6 x2－dy2=±1362

习题六367

第八章 素数分布的初等结果370

1 Eratosthenes筛法与π（N）372

1.1 Eratosthenes筛法的定量分析与π（N）的算法372

1.2 M？bius函数377

1.3 素数的个数与大小的简单估计379

1.4 容斥原理381

习题一389

2 π（x）的上、下界估计393

2.1 Чебышев不等式393

2.2 Betrand假设398

2.3 Чебышев函数θ（x）与？（x）401

习题二405

3 Euler恒等式407

习题三409

第九章 数论函数412

1 积性函数413

习题一417

2 M？bius变换及其反转公式418

习题二426

3 数论函数的均值431

3.1 Dirichlet除数问题432

3.2 Gauss圆问题438

3.3 Euler函数？（n）的均值440

3.4 Mertens定理442

习题三447

4 Dirichlet特征450

4.1 定义、构造与基本性质451

4.2 几个应用463

习题四468

附录一 自然数476

1 Peano公理476

2 加法与乘法478

3 顺序（大小）关系485

习题489

附录二 Z［？］——算术基本定理不成立的例子492

习题496

附录三 初等数论的几个应用505

1 循环比赛的程序表505

2 如何计算星期几507

3 电话电缆的铺设511

4 筹码游戏513

习题517

附录四 与数论有关的IMO试题519

1 第1～53届IMO中与数论有关的试题（共104道题）521

2 典型题的解法举例533

习题的提示与解答585

附表1 素数与最小正原根表654

附表2 ？的连分数与Pell方程的最小正解表661

名词索引665

参考书目673