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目录1

第一编 代数1

第一章 实数1

一 整数1

§1 因数、倍数、整除3

§2 完全平方数8

§3 质数与合数11

§4 奇数与偶数13

§5 最大公约数、最小公倍数13

二 有理数18

§1 有理数的概念18

§2 有理数的运算19

三 实数23

§1 实数的概念23

§2 实数的相反数和绝对值23

§3 用有理数逼近无理数24

§4 实数的运算27

§5 实数的判定30

§6 实数的性质35

一 整式39

§1 整式的加减法39

第二章 代数式39

§2 整式的乘法40

§3 整式的除法44

1．整式除法44

2．余数定理和因式定理46

3．求被除式48

4．求余式50

§4 因式分解52

1．因式分解的概念52

2．二次式的因式分解53

3．三次式的因式分解57

4．四次式的因式分解58

5．五次及五次以上多项式的因式分解63

6．对称式、交代式的因式分解64

二 分式69

§1 约分和通分69

§2 分式的加减法71

§3 分式的乘除法75

§4 分式的四则混合运算76

§5 繁分的化简77

§1 求有理式的值79

1．给出自变量的值，求有理式的值79

三 关于有理式的几个问题79

2．给出自变量满足的等式，求有理式的值80

3．给出自变量满足的两个等式，求有理式的值84

4．给出自变量满足的对称等式，求对称式的值86

§2 证明绝对恒等式87

1．把等式两边互相转化或证明等式两边等于同量87

2．应用x3+y3+z3-3xyz的因式分解证明89

3．应用交代式、对称式的性质证明91

§3 证明条件等式92

1．应用分析法证明92

2．应用代入法证明93

3．消去某些特殊字母的证明96

4．求证等式是几个等式并集的证明99

5．求证等式是几个等式交集的证明101

6．题设条件是连比或积相等形式的证明103

三 根式107

§1 根式的概念107

§2 算术根的性质108

§3 根式的化简111

1．分母有理化111

2．复合二次根式变形114

3．根式的化简118

§4 求代数式的值121

§5 证明等式127

一 方程和方程组131

§1 方程和方程组的概念131

第三章 方程和方程组131

§2 关于方程的同解性134

§3 关于方程组的同解性138

§1 一元一次方程144

1．一元一次方程144

二 整式方程144

2．含有字母系数的一元一次方程145

§2 一元二次方程147

1．一元二次方程的解法147

2．一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及其应用154

§3 高次方程182

1．应用因式分解法解高次方程182

2．应用换元法解高次方程183

3．有理数集上的代数方程188

§1 二元一次方程组191

1．数字系数的方程组191

三 整式方程组191

2．含有字母系数的方程组195

3．含有绝对值记号的方程组197

§2 多元一次方程组199

1．数字系数的方程组199

2．含有字母系数的方程组203

§3 二元二次方程组205

1．第一类型二元二次方程组205

2．第二类型二元二次方程组210

§4 高次方程组218

1．二元高次方程组218

2．多元高次方程组220

§1 分式方程的基本解法226

1．分式方程的基本解法226

四 分式方程（组）226

2．分式方程基本解法的同解性定理228

§2 特殊分式方程的特殊解法233

1．应用部分分式法233

2．应用合分比定理234

3．应用换元法236

§3 含有字母系数的分式方程239

§4 分式方程组242

1．应用算术根的概念判断无理方程的解244

§1 含有二次根式的无理方程244

2．把方程两边乘以相同次幂244

五 无理方程（组）244

3．共轭因式法245

4．因式分解法246

§2 含有三次根式的无理方程247

1．形如？+？=？的方程247

5．换元法247

2．其它情形249

§3 分式无理方程250

§4 含有二重根号的无理方程254

§5 含有字母系数的无理方程255

§6 无理方程组257

六 列方程（组）解应用题259

§1 数字问题260

§2 行程问题263

§3 航行问题268

§4 工程问题270

§5 混合物问题273

第四章 不等式276

一 不等式的基本性质276

二 解不等式278

§1 关于不等式的同解定理278

§2 一元一次不等式280

1．一元一次不等式280

2．一元一次不等式组282

§3 一元二次不等式284

1．解一元二次不等式的基本方法284

2．一元二次不等式组288

3．含有字母系数的一元二次不等式289

4．含有绝对值符号的一元二次不等式292

§4 高次不等式292

§5 分式不等式296

§6 无理不等式298

§7 二元一次不等式（组）301

§8 列不等式解应用题304

§1 证明不等式的常用方法306

1．比较法和比值法306

三 证明不等式306

2．分析法308

3．应用基本不等式证明310

4．放缩法316

5．数学归纳法319

6．反证法321

§2 几个著名不等式322

§3 证明含有绝对值符号的不等式326

§4 证明条件不等式332

第五章 函数339

一 函数的概念339

二 一次函数340

§1 正比函数的图象340

§2 一次函数的图象341

§3 一次函数图象的应用343

§4 含有绝对值记号的一次函数的图象346

§5 含有高斯记号的函数的图象352

§1 二次函数的图象354

1．轴的方程和顶点坐标354

三 二次函数354

2．抛物线族顶点的轨迹356

3．已知抛物线族顶点的位置，确定抛物线方程中的参数357

§2 二次函数的图形变换361

1．对称361

2．平移363

§3 含有绝对值符号的二次函数的图象366

1．图象366

2．图象在解方程中的应用367

§4 二次函数的极值（最值）370

1．二次函数的最值370

2．二次函数在限制范围内的最值371

§5 根据已知条件确定二次函数378

§1 指数381

1．化简381

四 指数和对数381

2．在给定条件下求代数式的值382

3．证明指数恒等式384

§2 对数387

1．计算对数式的值387

2．在给定条件下计算对数式的值390

3．关于对数的证明题393

§3 常用对数398

五 幂函数、指数函数、对数函数401

§1 幂函数的性质401

§2 指数函数的性质403

§3 对数函数的图象和性质406

§4 根据指数函数、对数函数的单调性研究有关函数的单调性407

§5 关于指数函数、对数函数的图形变换409

§1 指数方程412

1．一元指数方程412

六 指数方程和对数方程412

2．指数方程组414

§2 对数方程416

1．一元对数方程416

2．含有参数的对数方程419

3．对数方程组421

七 指数不等式和对数不等式423

§1 数的大小比较423

§2 指数不等式426

1．解指数不等式（组）426

2．证明指数不等式428

§3 对数不等式430

1．解对数不等式430

3．应用问题430

2．解底数含有字母（参数或未知数）的对数不等式433

3．解对数不等式组434

4．由对数不等式所表示的点的区域436

5．证明对数不等式438

一 反函数和复合函数441

§1 反函数441

第六章 函数的进一步研究441

§2 复合函数446

二 函数性质的讨论451

§1 函数的定义域451

§2 函数的值域453

1．应用值域的定义求函数的值域453

2．应用互反函数的性质求函数的值域455

§3 曲线的对称性456

1．曲线F(x,y)=0的对称性456

3．应用换元法求函数的值域456

2．曲线y=f（x）的对称性462

3．函数的奇偶性466

§4 函数的周期性470

1．周期函数的概念470

2．最小正周期472

3．关于函数周期性的定理474

§5 函数的单调性478

1．应用单调性定义研究函数的单调性478

2．关于函数单调性的定理479

3．应用定理研究函数的单调性483

§6 函数的极值（最值）485

1．三次、四次函数的极值486

2．分式函数的极值488

3．无理函数的极值491

4．函数的条件极值497

§7 曲线的渐近线506

三 函数图象的绘制509

§1 讨论函数的性质描绘其图象509

§2 应用图形变换描绘函数的图象514

1．图形的对称变换514

2．图形的平移变换514

3．图形的伸缩变换515

第七章 数列520

一 等差数列520

§1 等差数列的概念520

§2 等差数列的通项公式521

§3 等差数列的性质523

§4 等差数列的前n项和524

§5 等差数列的判定530

1．等差数列的判定定理530

2．等差数列的判定531

§1 等比数列的概念535

二 等比数列535

§2 等比数列的通项公式536

§3 等比数列的性质537

§4 等比数列的前n项和538

§5 等差数列和等比数列543

1．关于等差数列和等比数列的计算题543

2．等差数列和等比数列的判定和证明546

三 几种数列的和549

§1 幂数列549

§2 等差数列和等比数列对应项的积构成的数列551

§3 各项是二等差数列对应项的乘积构成的数列553

§4 各项是等差数列对应项乘积的倒数构成的数列555

§5 相同数码型数列557

§6 差分数列561

1．差分数列是等差数列的数列561

2．差分数列是等比数列的数列564

§7 群数列565

§8 由递推式给出的数列567

§1 储蓄问题574

1．定期储蓄574

四 数列的应用574

2．零存整取575

§2 分期付款576

§3 堆垛问题577

§1 关于复数的计算580

一 复数580

1．有关i，ω的计算580

第八章 复数580

2．用复数三角式计算583

§2 复数的模、辐角、共轭复数585

§3 复数性质的判定591

§4 与复数有关的最值问题595

§5 关于复数的证明题599

二 复数在几何中的应用608

§1 用复数表示平面上的点608

§2 复数与平面上点的轨迹611

§3 用复数解几何题616

§1 对于复系数方程求实数x,y619

§2 复数集上的一次方程（组）619

三 复数在代数中的应用（复数和解方程）619

§3 复数集上的二次方程620

§4 二项方程622

§5 三项方程626

§6 复数集内的高次方程627

§7 含有复数的模的方程633

一 排列与组合637

§1 加法原理与乘法原理637

第九章 排列、组合、二项式定理、数学归纳法637

§2 排列与组合639

§3 排列、组合的应用题642

1．简单的排列、组合应用题642

2．有限制条件的排列、组合应用题643

3．排列与组合的混合应用题648

二 二项式定理656

§1 二项式定理656

§2 二项展开式的通项公式658

§3 用二项式定理研究整除性问题663

§4 证明组合恒等式665

三 数学归纳法676

§1 数学归纳法的概念676

§2 第一型数学归纳法678

§3 第二型数学归纳法686

一 三角函数式的化简697

第一章 三角函数式的化简和求值697

§1 分式形式三角函数式的化简697

三角公式697

第二编 平面三角697

§2 含有根号的三角函数式的化简701

§3 含有次数较高的三角函数式的化简705

§4 已知三角函数满足的条件，化简三角函数式707

二 关于三角函数式的值的计算708

§1 求已知角的三角函数值708

§2 已知一个或几个三角函数值，求其他三角函数值712

1．已知三角函数值和角所在的象限712

2．仅给出三角函数值而未给出角的范围717

§3 已知某三角函数满足的条件，求有关三角函数式的值720

§4 求几个三角函数值的和、积、和积混合式的值723

1．求积723

2．求和728

3．求和、积混合式的值732

一 证明三角恒等式737

§1 证明三角恒等式737

第二章 证明三角恒等式、证明三角不等式、三角函数的极值737

§2 证明条件三角等式753

1．含有一个三角函数等式条件的754

2．含有两个或两个以上三角函数等式条件的760

§3 证明角相等766

二 证明三角不等式768

三 三角函数的极值780

§1 三角函数的极值780

1．应用基本三角函数的值域780

2．应用二次函数的极值或二次方程根的判别式783

3．应用不等式790

§2 三角函数式的条件极值791

§3 三角函数极值的应用794

第三章 三角函数的性质和图象800

一 三角函数的性质800

§1 三角函数图象的对称性800

§2 三角函数的周期性804

1．基本三角函数的周期性804

2．复合三角函数的周期性809

3．三角函数四则运算构成的三角函数的周期性810

4．函数的非周期性813

§3 三角函数的单调性816

二 三角函数的图象823

§1 基本三角函数的图象823

§2 函数y=Asin（ax+β）的图象826

§3 含有绝对值记号的三角函数的图象831

第四章 解三角形836

一 三角形边角关系公式836

1．已知三边849

§1 解三角形的基本情形849

2．已知两边和它们的夹角849

二 解三角形849

3．已知两角及一边851

4．已知两边及一对角851

§2 解三角形的非基本情形853

三 证明三角形边角关系恒等式、不等式862

§1 三角形边角关系恒等式862

§2 附加条件的三角形边角关系恒等式872

§3 三角形边角关系不等式878

四 三角形内角三角函数的最值885

§1 三角形内角三角函数的极（最）值885

§2 给定三角函数间的关系求角的极值889

五 判定三角形的形状890

§1 反三角函数的概念895

一 反三角函数895

1．反三角函数的概念895

第五章 反三角函数和简单三角方程895

2．求反三角函数值897

3．求一个函数的反函数899

§2 反三角函数的性质901

1．反三角函数的定义域、值域901

2．反三角函数的奇偶性902

3．反三角函数的单调性904

§3 反三角函数的三角运算907

§4 反三角函数间的关系912

1．由余角三角函数关系导出的912

2．由同角三角函数关系导出的916

§5 三角函数的反三角运算920

§6 证明反三角恒等式924

§7 解反三角方程和反三角不等式931

§8 反三角函数的图象933

二 三角方程935

§1 最简单的三角方程935

§2 同名三角函数相等时两角的关系937

§3 解简单三角方程的两种常用方法939

1．换元法939

2．因式分解法947

§4 方程asinx+bcosx=c951

§5 关于三角方程的综合题957

§6 三角方程解集的研究962

1．三角方程的解集962

2．关于三角方程解集的等效性965

三 解三角不等式969

第一章 基本概念978

一 直线、射线和线段978

第三编 平面几何978

二 角979

第二章 相交线、平行线981

一 相交线981

二 平行线982

一 三角形的性质984

§1 三角形三边的关系984

第三章 三角形984

§2 三角形的内角和985

二 全等三角形989

§1 全等三角形的判定989

§2 全等三角形的应用993

三 三角形的主要线段与特殊点996

§1 角平分线、内心996

§2 中线1005

§3 高、垂心1008

四 特殊三角形1013

§1 等腰三角形1013

§2 等边三角形1019

§3 直角三角形1022

五 三角形的边角不等关系1027

§1 关于轴对称的两个图形1032

六 轴对称和轴对称图形1032

§2 轴对称图形1035

一 多边形的性质1037

第四章 四边形1037

1．平行四边形的性质1039

§1 平行四边形1039

二 平行四边形1039

2．平行四边形的判定1040

1．矩形1044

§2 特殊的平行四边形1044

2．菱形1045

3．正方形1047

§1 关于中心对称的两个图形1050

三 中心对称和中心对称图形1050

§2 中心对称图形1051

§1 梯形1052

四 梯形1052

§2 平行线等分线段1055

1．三角形的中位线1056

§3 三角形、梯形的中位线1056

2．梯形的中位线1060

一 面积1064

第五章 面积、勾股定理1064

二 利用面积关系解题1067

三 勾股定理1069

§1 基本性质1074

一 比例的性质1074

第六章 相似形1074

§2 合比性质1076

§3 等比性质1077

§1 平行线分线段成比例1078

二 比例线段1078

§2 三角形内、外角平分线的性质1083

§3 重心定理1088

§4 直角三角形中的比例线段（射影定理）1091

§5 中外比（黄金分割）1093

§1 相似三角形的判定1094

三 相似形的判定及性质1094

§2 相似多边形的判定1097

§3 相似形的性质1099

§1 证明等积式1101

四 应用相似形与比例线段解题1101

§2 证明含和或差的等式1104

§3 证明含幂的等式1108

§4 证明平行1110

§5 证明线段的相等与不等1112

§6 证明角相等1115

§7 证明三点共线1118

§8 证明三线共点1120

§9 证明面积比问题1123

§1 圆的确定1126

一 圆的初步性质1126

第七章 圆1126

§3 垂径定理1127

§2 圆的对称性1127

§4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1128

§5 圆周角1131

§1 切线的判定1134

二 切线1134

§2 切线的性质1138

§3 弦切角1139

§1 圆内接三角形1141

三 圆与三角形1141

§2 圆外切三角形1144

1．垂心1148

§3 三角形的心1148

2．内心和旁心1151

§1 圆内接四边形1152

四 圆与四边形1152

§2 判定四点共圆1154

§3 应用四点共圆解题1157

§4 四边形有内切圆的判定1159

§5 圆外切四边形的性质1160

§1 应用圆幂定理1161

五 圆中的比例线段1161

§2 应用其它性质1165

§1 两圆相切1168

六 两圆的位置关系1168

§2 两圆相交1171

§3 两圆的一般关系1176

七 圆与正多边形1177

§1 圆的周长与弧长1180

八 圆的周长和面积1180

§2 圆、扇形的面积1182

§1 最值问题1185

九 杂题1185

§2 定值问题1187

§3 三点共线问题1189

§4 三线共点问题1190

§5 三圆共点问题1191

§1 逆命题1194

一 命题1194

第八章 命题与轨迹1194

§2 否命题及逆否命题1196

二 轨迹1197

§1 轨迹问题1198

§2 轨迹命题的证明1200

1．定比分点1204

§1 确定点的位置1204

第九章 作图问题1204

2．交轨法1206

3．其它方法1208

1．代数式的作图1209

§2 确定线段的长1209

2．代数分析法1211

§3 直线的作图1213

1．交轨法1217

§4 三角形和四边形的作图1217

2．三角形奠基法1218

4．代数分析法1221

3．相似法或位似法1221

5．其它方法1222

§5 圆的作图1223

§1 对称变换1228

一 合同变换1228

第十章 四种初等几何变换及其应用1228

§2 平移变换1230

§3 旋转变换1232

二 相似变换和位似变换1234

§1 平面的存在性与唯一性1240

一 平面的性质及其应用1240

第四编 立体几何1240

第一章 直线和平面1240

§2 直线共面问题1242

§3 直线共点及点共直线问题1244

§4 确定平面的计数问题1246

§5 空间作图的基本方法1247

§1 平行直线的判定1249

二 空间两条直线1249

§2 异面直线的判定1250

§3 异面直线所成的角1253

§4 异面直线的距离1257

1．直线与平面平行的判定1259

§1 直线和平面平行的判定和性质1259

三 空间直线和平面1259

2．证明直线和直线平行1261

3．画图问题1263

1．直线与平面垂直的判定1264

§2 直线与平面垂直的判定和性质1264

2．直线与平面垂直关系的应用1268

3．斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角1271

1．利用三垂线定理证明垂直关系1277

§3 三垂线定理1277

2．利用三垂线定理证明其它位置关系1280

3．利用三垂线定理作图1282

4．利用三垂线定理求角或距离1284

四 空间两个平面1285

§1 两个平面平行的判定和性质1285

§2 二面角1291

1．如何寻找二面角的平面角1291

2．二面角问题举例1294

§3 两个平面垂直的判定和性质1300

1．两个平面垂直的判定1300

2．两个平面垂直的性质及应用1303

§4 平面图形的射影1306

§2 线面平行法1310

五 求异面直线距离的几种方法1310

§1 线面垂直法1310

§3 面面平行法1311

§4 极值法1312

§5 公式法1312

六 垂足位置的确定方法1318

§1 由基本概念和定理确定1318

§2 通过数量关系的计算确定1320

§3 通过平面图形的分析确定1322

七 折叠问题1323

§1 距离问题1323

§2 角度问题1326

§3 极值问题1328

§4 论证问题1330

一 棱柱与圆柱1333

§1 棱柱与圆柱的性质及其应用1333

第二章 多面体和旋转体1333

§2 棱柱与圆柱的侧面积1336

§3 棱柱与圆柱的体积1338

二 棱锥与圆锥1339

§1 棱锥与圆锥的性质及其应用1339

§2 棱锥与圆锥的侧面积1343

§3 棱锥与圆锥的体积1346

三 棱台与圆台1352

§1 棱台与圆台的性质及其应用1353

§2 棱台与圆台的侧面积1355

§3 棱台与圆台的体积1357

四 球1360

五 结合体与旋转体1364

六 展开图问题1370

七 截面问题1376

第一章 曲线和方程1383

一 平面上点的坐标1383

第五编 平面解析几何1383

§1 点的坐标的确定1384

§2 两点间的距离1388

§3 线段的定比分点1390

§4 解析法证题1396

二 曲线和方程1398

§1 曲线的普通方程1398

§2 曲线的参数方程1402

§3 曲线的参数方程与普通方程的互化1405

1．化曲线的参数方程为普通方程1405

2．化曲线的普通方程为参数方程1408

一 直线的普通方程1412

§1 直线的方程1412

第二章 直线1412

§2 两条直线的位置关系1416

§3 两条直线的夹角1418

§4 点到直线的距离1420

§5 直线系1423

§6 确定直线方程1427

§7 证明题1435

1．证明三点共线问题1435

2．证明三线共点问题1437

3．其它证明题1439

2．直线的参数方程的一般形式1445

1．直线的点斜式参数方程1445

3．直线的两点式参数方程1445

§1 直线参数方程的几种形式1445

二 直线的参数方程1445

§2 直线参数方程的应用1446

一 圆的普通方程1456

§1 圆的方程1456

第三章 圆1456

§2 直线与圆的位置关系1461

1．直线与圆的位置关系1461

2．圆的切线1463

3．圆的弦与割线1467

§3 圆与圆的位置关系、两圆公切线1470

§4 圆系1474

§5 证明题1479

§6 轨迹题1483

二 圆的参数方程及其应用1486

一 椭圆方程1492

§1 椭圆的标准方程1492

第四章 椭圆1492

§2 平行移动1498

§3 无理函数所表示的椭圆1502

§4 椭圆的参数方程1504

二 直线和椭圆的位置关系1506

§1 相交、弦与弦长1506

§2 切线1510

三 专题1512

§1 最大、最小1512

§2 证明题1519

1．定值问题1519

2．其它1525

§3 轨迹题1528

四 杂题1536

第五章 双曲线1548

一 双曲线方程1548

§1 双曲线的标准方程1548

§2 平行移动1553

§3 无理函数所表示的双曲线1556

§4 双曲线的参数方程1557

二 直线与双曲线的位置关系1557

§1 相交、弦与弦长1557

§2 切线、法线1562

三 专题1564

§1 最大、最小1564

§2 证明题1566

1．定值问题1566

2．其它1569

§3 轨迹题1573

一 抛物线方程1585

§1 抛物线的标准方程1585

第六章 抛物线1585

§2 平行移动1586

§3 无理函数所表示的抛物线1590

§4 抛物线的参数方程1591

二 直线与抛物线的位置关系1592

§1 相交、弦与弦长1592

§2 切线、法线1597

三 专题1600

§1 最大、最小1600

§2 证明题1605

1．定值问题1605

2．其它1608

§3 轨迹题1613

第七章 极坐标方程1623

一 极坐标与直角坐标互化1623

二 极坐标方程与直角坐标方程互化1624

三 极坐标方程表示的曲线的交点1624

四 常见曲线的极坐标方程1626

五 轨迹题1629

一 数列的极限1632

第一章 极限1632

§1 数列极限的“ε-N”定义1632

第六编 微积分1632

§2 应用数列极限的四则运算求极限1634

1．有理分式的极限1635

2．无理式的极限1636

3．求无限多项形式的极限1638

4．关于指数式的极限1640

§3 应用相夹原理和单调有界原理求极限1641

1．应用相夹原理求极限1641

2．应用单调有界原理求极限1643

§4 数列极限的应用1645

二 函数的极限1649

§1 函数极限的概念1649

§2 函数极限的求法1652

1．应用函数极限的四则运算法则求极限1652

2．应用函数的连续性求极限1656

3．应用两个重要极限求极限1659

4．应用函数极限存在判别法则求极限1664

第二章 导数和微分1666

一 导数的概念1666

二 导数的计算1672

§1 由基本初等函数的有限次四则运算所构成的初等函数的导数1672

§2 复合函数的导数1675

§3 隐函数的导数1678

§4 应用取对数法则求导数1679

§5 高阶导数1680

三 微分1682

§1 函数的变化率1685

1．求曲线的切线方程1685

四 导数和微分的应用1685

2．求变化率1687

§2 微分中值定理及其应用1690

1．微分中值定理1690

2．微分中值定理的应用1691

§3 研究函数的单调性和极值1697

1．函数的单调性1697

2．函数的极值和最值1699

3．应用函数的单调性和极值证明不等式1705

§4 函数的凸凹性和拐点1706

§5 函数的图象1707

第三章 积分1710

一 不定积分1710

§1 直接积分法1711

§2 换元积分法1713

1．第一换元积分法1713

2．第二换元积分法1717

§3 分部积分法1722

二 定积分及其应用1727

§1 定积分的计算1728

§2 定积分的应用1731

1．平面图形的面积1731

2．旋转体的体积1734

3．平面曲线的弧长1735

4．旋转体的侧面积1736