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第一部分数学基础知识1

第一章概述3

（一）数学3

算术、算学与数学3

数学研究的对象3

数学的特点3

数学的分科4

（二）集合与对应4

集合的概念4

集合的表示法5

集合的分类6

集合的运算7

集合的运算律8

对应9

等价集合与集合的基数11

（三）数系11

运算与逆运算11

数系的扩充及其基本原则12

数系13

第二章数与计算15

一、（非负）整数15

（一）整数的认识15

自然数15

自然数列17

零18

扩大的自然数列19

（二）计数与记数20

计数20

记数20

数字21

十进制计数法22

数位的分节25

进位制25

（三）整数的运算26

整数四则运算26

整数加法27

整数减法28

整数乘法28

整数除法29

运算顺序30

基本运算定律与运算性质31

四则运算法则35

和、差、积、商的变化39

速算41

验算43

（四）整数的整除性46

整除的概念46

整除的性质47

约数、倍数47

奇数、偶然48

质数、合数48

质数表49

能被某个自然数整除的数的特征50

能被2、5整除的数的特征51

能被4、25、8、125整除的数的特征51

能被3、9整除的数的特征52

能被7、11、13整除的数的特征53

质因数53

算术基本定理54

分解质因数54

公约数、最大公约数55

互质数55

最大公约数的求法56

公倍数、最小公倍数58

最小公倍数的求法59

最大公约数、最小公倍数知识的应用61

二、分数62

（一）分数的意义与性质62

分数的基本概念62

分数与除法的关系63

分数的大小比较63

真分数、假分数、带分数64

分数的基本性质64

约分65

通分65

（二）分数的四则运算65

分数加法65

分数减法66

分数乘法67

倒数68

分数除法68

分数四则混合运算69

繁分数（式）69

三、小数70

（一）小数的意义和性质70

小数70

小数的性质73

小数的大小比较73

（二）小数的四则运算73

小数加、减法73

小数乘法74

小数除法74

循环小数75

无限不循环小数76

（三）小数与分数76

化普通分数为小数76

化小数为分数78

分数、小数四则混合运算80

四、百分数80

百分数80

千分数、成数81

百分数、分数、小数的互化81

部分常用数据81

五、近似数与近似计算82

准确数与近似数82

近似数的截取方法83

绝对误差84

精确度84

相对误差85

有效数字85

近似数的加、减法87

近似数的乘、除法87

近似数的混合运算88

预定精确度的计算88

六、珠算与现代计算工具89

（一）珠算89

珠算89

算盘89

珠算记数法90

拨珠法90

珠算口诀91

珠算加法91

珠算减法92

珠算乘法93

珠算除法94

九归94

飞归96

趣味珠算练习97

（二）现代计算工具与方法100

计算工具发展概况100

电子计算机101

电脑102

电子计算器102

电脑时代的珠算102

第三章量与计量104

一、量的概念与计量104

量的概念104

量的计量104

主单位、倍数单位、分数单位105

进率105

二、计量制度105

计量制度的发展概况105

国际单位制106

法定计量单位111

常用的法定长度单位112

常用的法定面积单位113

常用的法定体积单位113

常用的法定质量单位114

常用的法定时间单位114

区时、世界时和北京时间116

三、名数118

名数的概念118

高级单位和低级单位119

名数的化法和聚法119

名数的四则运算119

第四章比和比例120

一、比120

比120

反比120

比的性质121

比的化简121

比例尺121

连比122

比例分配122

二、比例123

比例的意义123

比例的基本性质123

比例定理123

解比例124

成正比例的量124

成反比例的量125

第五章应用题127

一、应用题及其解答127

应用题的概念127

应用题的特点127

应用题的分类127

解答应用题的基本方法128

解答应用题的一般步骤128

二、整数四则应用题129

简单应用题及其解法129

分析复合应用题的基本方法130

典型应用题的分类133

平均问题133

归一问题与倍比问题134

行程问题136

还原问题140

植树问题141

和差问题与行船问题143

和倍问题、差倍问题146

按份数分配的问题150

按两个差求未知数的问题151

三、分数、百分数应用题153

分数的基本应用题153

较复杂的分数应用题153

工程问题155

百分数应用题156

四、比和比例应用题158

比和比例应用题158

比例尺应用题158

按比例分配应用题160

正、反比例应用题162

第六章代数初步知识165

一、用字母表示数165

用字母表示数165

代数式165

等式165

等式的基本性质165

不等式166

二、有理数166

正数和负数166

有理数167

数轴168

绝对值168

有理数的大小比较168

有理数的四则运算169

有理数的乘方170

有理数的混合运算170

三、方程与方程组171

（一）方程171

方程171

方程的基本性质171

一元一次方程171

一元一次方程的解法171

简易方程172

（二）方程组172

二元一次方程组172

二元一次方程组的解法173

四、列方程解应用题175

列方程解应用题的特点175

列方程解应用题的一般步骤176

部分复合应用题解题思路的代数分析176

五、其他179

数列179

等差数列179

等比数列182

群数列183

加法原理与乘法原理185

排列186

组合188

一次不定方程189

第七章几何初步知识196

一、基本概念196

（一）几何学与几何图形196

几何学196

几何体196

面196

线196

点196

几何图形196

平面图形与平面几何学197

立体图形与立体几何学197

（二）线与面197

直线197

射线197

线段197

折线198

曲线198

平面199

曲面199

截面、横截面199

（三）角199

角199

周角、平角200

角的度量201

量角器201

直角、锐角、钝角201

周角、平角、直角之间的关系202

邻角202

余角202

补角203

对顶角203

（四）相交与平行203

相交203

垂直和垂线204

斜线204

点到直线的距离205

平行线205

平行线间的距离206

同位角、内（外）错角、同旁内（外）角207

平面上两条直线的位置关系207

二、多边形和圆208

（一）平面图形的若干属性208

周长208

面积与面积单位208

轴对称图形208

中心对称图形209

轴对称图形与中心对称图形的比较210

（二）多边形210

多边形210

凸多边形与凹多边形211

多边形的内角和外角211

正多边形212

多边形的周长和面积213

（三）三角形213

三角形213

三角形的分类213

三角形的高214

三角形的面积215

勾股定理及其逆定理215

三角形的巧合点216

（四）四边形217

四边形217

平行四边形217

平行四边形的面积218

长方形218

长方形的周长和面积219

正方形219

梯形220

等腰梯形与直角梯形220

梯形的面积221

菱形221

四边形之间的关系222

（五）圆223

圆223

弧223

圆心角、圆周角224

圆周长与圆周率224

圆面积226

扇形226

弧长227

弓形227

环形228

（六）分割与割补228

分割法228

割补法229

组合图形问题230

七巧板230

（七）平面作图234

尺规作图234

作图公法234

基本作图十种235

常用的几何作图法240

三、多面体和旋转体244

（一）有关概念244

点到平面的距离244

平行平面间的距离244

侧面积与表面积244

体积和容积（容量）245

（二）多面体246

多面体246

正多面体246

棱柱247

长方体248

长方体的表面积和体积248

正方体248

棱锥249

棱台249

拟柱体250

（三）旋转体251

旋转面251

旋转体253

圆柱253

圆柱的侧面积和表面积253

圆柱的体积254

圆锥254

圆锥的侧面积和表面积255

圆锥的体积255

圆台255

球257

（四）空间作图257

空间作图257

空间基本作图258

直观图中水平放置的平面图形的画法261

几何体的直观图263

第八章统计初步知识265

一、统计学与统计工作265

统计学265

统计工作的一般步骤265

二、数据的收集266

收集数据的方法266

全面调查与部分调查266

总体、个体、样本266

频数与频率266

几种常用的抽样方法267

三、数据的整理267

整理数据的一般步骤267

统计表268

统计表的结构268

单式统计表与复式统计表269

统计表的制作规则269

统计图269

条形统计图269

折线统计图270

扇形统计图271

四、几种重要的统计特征数272

集中量数与差异量数272

平均数273

中位数274

众数275

平均数、中位数、众数的比较275

极差275

方差275

标准差275

第二部分数学发展简史277

第一章概述279

数学史279

数学史的分期280

世界数学史282

中国数学史282

数学史的功能及教育283

第二章各科发展概况285

算术285

代数学285

几何学286

三角学287

解析几何287

微积分288

函数论288

数论289

微分方程289

概率统计290

拓扑学290

数理逻辑和数学基础290

组合数学291

运筹学292

计算数学292

模糊数学293

第三章世界数学史295

计数和记数的历史295

数学符号进步史296

巴比伦数学298

古代埃及数学299

古代希腊数学299

古代印度数学300

阿拉伯数学300

欧洲中世纪数学301

常量数学与变量数学301

近代数学与现代数学302

毕达哥拉斯302

欧几里得和《几何原本》303

阿基米德303

丢番图304

韦达305

笛卡儿305

费马与费马大定理306

牛顿和莱布尼兹306

贝努利数学家族307

欧拉308

哥德巴赫猜想308

高斯309

柯西310

罗巴切夫斯基与非欧几何310

伽罗瓦与群论311

黎曼312

康托尔与集合论312

希尔伯特和他的23个问题312

冯·诺伊曼与电子计算机313

数学史上三次危机314

菲尔兹数学奖315

沃尔夫奖315

“新数学”运动315

第四章中国数学史317

中国数学发展概况317

算筹和筹算321

《算数书》322

《周髀算经》322

周公与商高问答323

赵爽与弦图323

《九章算术》324

算经十书325

刘徽与《九章算术·注》328

祖冲之、祖恒328

沈括与隙积术329

贾宪-杨辉三角330

秦九韶与《数书九章》330

李冶与天元术331

朱世杰与《四元玉鉴》332

程大位和《算法统宗》332

中国古代大数单位332

中国古代小数单位333

纵横图（幻方）333

梅文鼎及其数学家族334

李善兰335

陈建功336

苏步青336

华罗庚337

江泽涵338

陈景润339

中国数学会339

钟家庆数学奖340

中国数学教育发展小史340

第五章世界数学名选题343

分面包问题343

7的倍乘算题344

十兄弟分银问题345

食苗衰偿346

客去忘衣346

凫雁相逢347

五渠注水348

瓜瓠相遇348

宴客洗碗349

孙子问题349

百鸡问题350

几何三大名题351

黄金分割352

丢番图年龄问题353

驴骡驮物问题354

蜂落花间355

婆什迦罗妙算355

兔子繁殖问题356

哥尼斯堡七桥问题356

36个军官问题357

四色问题358

角谷猜想359

第三部分小学数学教学工作的原理与方法361

第一章小学数学教学的目的和内容363

小学数学的地位和作用363

小学数学教学目的与要求363

小学数学的教学内容366

小学数学课本368

小学数学各年级教学要求的用语和层次372

第二章小学数学教学的基本特征、原则和方法374

（一）小学数学教学过程374

教学过程概述374

小学数学教学过程375

小学数学教学中儿童的认识过程376

小学数学教学过程发展的动力378

（二）小学数学教学原则379

教学原则概述379

教育学中的教学原则380

小学数学教学原则体系384

在小学数学教学中贯彻教学原则385

（三）小学数学教学方法387

教学方法概述387

小学数学教学中常用的教学方法388

小学数学教学方法的选择390

小学数学教学方法改革391

第三章小学数学教学的组织394

（一）数学课394

数学课的任务394

数学课堂教学的基本要求395

数学课的类型和结构395

（二）备课397

备课的意义397

备课的过程398

备课的基本要求398

学期教学计划400

单元教学计划401

课时教学计划（教案）402

（三）上课403

教案的运用403

组织教学403

学生学习活动的组织404

教学进程的调控404

小学数学课堂教学的分析405

（四）数学作业406

数学作业的种类406

数学作业的布置406

数学作业的检查与批改407

（五）数学成绩的考查与评定408

数学成绩考查的意义408

数学成绩考查的基本形式与方法408

考查命题的科学性409

数学成绩的评定411

数学考查的质量分析412

（六）数学课外活动414

数学课外活动的意义414

数学课外活动的内容414

数学课外活动的形式415

数学兴趣小组416

数学课外阅读416

数学墙（板）报417

数学园地417

数学讲座418

数学游戏418

数学谜语418

数学文艺会419

数学展览会419

数学参观419

数学竞赛420

附：少年数学竞赛问题七种420

填数问题420

计数问题422

奇偶性问题423

图形变换问题424

推理问题426

抽屉原则问题427

非常规运算问题428

第四章逻辑学及其应用430

（一）思维和逻辑430

思维和逻辑430

形式逻辑和辩证逻辑430

思维的基本形式431

（二）概念432

概念的意义432

概念的内涵和外延432

概念间的关系433

概念的定义435

概念的划分436

（三）判断和命题438

判断（命题）的意义438

命题的结构和形式438

等价命题和充分必要条件439

逆否命题律440

分断式命题律440

同一法则441

（四）推理和证明441

推理441

归纳推理和演绎推理442

三段论式443

完全归纳法443

不完全归纳法444

类比推理444

猜想445

论证（证明）445

直接证法和间接证法445

分析法与综合法446

反证法的步骤447

数学归纳法448

（五）形式逻辑的基本规律450

形式逻辑基本规律450

同一律450

矛盾律451

排中律451

充足理由律452

常见的逻辑错误452

（六）数学问题与解题研究455

常见的数学问题及其分类455

开放性问题456

解题的意义457

解题的一般程序458

解题思考原则459

一题多解研究460

组题与题组460

推广和引伸461

解题思考中的辅助手段463

数学命题法465

数学直觉思维467

科学逻辑与数学发现468

第五章小学数学教学心理470

一、小学数学教师与心理学470

心理现象与心理学470

普通心理学、发展心理学与心理学470

教育心理学、教学心理学与学习心理学471

儿童教育心理学472

数学教学心理学472

小学数学教师与心理学473

小学数学教学中的心理学问题475

二、小学儿童的心理发展与数学教学477

（一）心理发展的基本理论477

发展与心理发展477

儿童心理发展的基本因素477

儿童心理发展的动力478

心理发展的一般规律479

儿童心理发展的年龄阶段性481

小学儿童的心理年龄特征482

儿童心理发展与教育482

（二）小学数学教学与儿童心理发展483

数学教学与数学学习在教学过程中的统一483

小学数学教学与儿童心理发展的关系483

小学数学教学如何促进儿童的心理发展484

数学教学是数学活动的教学486

数学活动教学的基本观点与要求487

数学技能490

数学能力491

数学技能与数学能力的关系492

数学态度492

三、小学数学学习心理494

数学认知结构494

同化和顺应494

数学概念的掌握495

影响概念学习的因素497

数概念的形成与掌握499

自然数概念的掌握499

分数概念的掌握500

形概念的形成与掌握501

法则、定律、性质、公式的理解与掌握502

计算技能的形成504

小学生解题的智力水平特点505

解答应用题的心理学分析506

数学学习的非认知因素507

数学学习的迁移508

第六章小学数学教学论文写作511

（一）概述511

小学数学教学论文的概念511

小学数学教学论文的基本要求511

研究报告与学术论文的异同512

小学数学教学论文撰写的一般过程513

（二）选题513

选题的意义513

选题的一般原则514

选题的范围与内容515

选题与论文的创造性516

选题的通途与技巧518

（三）聚材521

材料的作用及采集材料的重要性521

采集材料的范围、途径与方法522

采集材料的基本要求523

材料的整理与占有523

（四）构思525

构思的意义与任务525

构思的基本内容与要求526

构思中的创造性与新奇性529

论文提纲的编写529

（五）起草530

起草的过程530

教学论文的语言530

教学论文的基本结构形式532

怎样写绪论532

怎样写本论533

怎样写结论534

文气的贯通535

快写初稿的技巧535

（六）修改537

修改的意义537

修改的范围和内容537

主题的变动538

观点的订正538

结构的调整539

材料的更易539

语言的润色540

标题的斟酌540

修改的常用方法与技巧541

附录542

一、常用数学符号表542

二、常用数表546

1.百以内数平方与立方表546

2.1000以内质数表548

3.1000以内质因数分解表548

4.重要数学常数557

三、数学人名表558

四、小学儿童心理发展特点简表567

五、科学技术报告、学位论文和学术论文的编写格式570

音序索引571

主编后记586