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目 录2

第一章极限理论2

§1解决极限问题的若干方法2

§2实数连续性的等价命题30

§3上、下极限51

一 数列的上、下极限51

*二 当x→t时f（x）的上、下极限57

附录极限的一般理论63

第二章函数及其连续性73

§1函数73

§ 2函数的连续性76

一 定义76

二 闭区间上连续函数的性质77

§ 3函数的一致连续性88

第三章微分中值定理·凸函数97

§1导数的计算及导函数的性质97

一导数的计算97

二导函数的性质99

§2微分中值定理及其应用103

一微分中值定理的推广104

二微分中值定理的应用108

§3 凸函数119

一 凸函数概念119

二 凸函数的性质122

三 凸函数的判定127

一 原函数135

§1不定积分135

第四章一元函数的积分学135

二不定积分137

三不定积分的计算138

§2定积分的概念和函数的可积性163

一 定积分的概念163

二可积函数类167

三利用定积分求极限174

§3定积分的计算181

一 牛顿——莱布尼兹公式181

二 定积分的换元积分法183

三 定积分的分部积分法187

§4积分中值定理193

一 关于积分不等式的证明203

§5积分不等式与积分等式的证明203

二 关于积分等式的证明210

三 含有定积分的极限问题213

第五章无穷级数与广义积分225

§1数项级数225

一 级数的敛散性及其基本性质225

二正项级数228

三一般项级数233

§2函数项级数250

一 收敛性及一致收敛性250

二一致收敛的判别法255

三幂级数259

§3广义积分271

§1多元函数的极限与连续性287

一 n维欧氏空间与n元函数287

第六章多元函数的微分学287

二 多元函数的极限与累次极限288

三求多元函数极限的方法290

四 判定函数极限不存在的方法294

五多元函数的连续性297

§2偏导数、全微分及方向导数303

一偏导数303

二 全微分303

三 复合函数微分法305

四微分中值定理313

五方向导数与梯度315

六连续、偏导数存在、可微和方向导数存在316

之间的关系316

一 隐函数定理321

§3隐函数定理、换元法、条件极值321

二 隐函数微分法322

三 偏导数或全微分的换元法329

四条件极值——拉格朗日乘数法336

第七章含参变量积分347

§1含参变量的正常积分347

一性质348

二例题354

§2含参变量的无穷限积分的一致收敛性362

一 一致收敛的定义363

二一致收敛原理365

三 一致收敛的判别法369

3含参变量无穷限积分的性质与应用372

一性质372

二例题377

三 一些常见的积分384

第八章多元函数积分学406

§1重积分406

一二重积分406

二 三重积分415

§2曲线积分423

一 曲线积分的基本算法423

二 两类曲线积分的联系424

三格林公式425

§3曲面积分429

一 曲面积分的基本算法429

二两类曲面积分的联系431

三 奥—高公式与斯托克斯公式434

§4综合性例题选讲437

第九章实数理论459

§1扩充有理数域的必要性459

一 无理数发展简史459

二 有理数域的缺陷460

三 扩充有理数域的原则460

§2实数的构造462

一 有理数基本数列462

二实数的定义466

三 实数的四则运算469

四 实数域的序与阿基米德性质472

五 实数域的稠密性与完备性474

§3代德金的实数构造法简介479

一 实数的定义479

二 实数的大小顺序与四则运算480