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第一章函数概念1

14．函数概念的定义1

§1．函数及其表示法1

目次（上册）1

序1

原序1

15．函数表示法2

引论4

§1．数学解析及其意义4

1．“初等”及“高等”数学4

16．记号5

§2．函数的记号及分类5

2．量的概念。变量及函数依从关系6

17．复合函数概念。初等函数8

3．数学解析与现实8

18．＊标有星号的全是用小字排的。函数的分类10

§2．一些历史知识11

4．大数学家：欧拉，罗巴契夫斯基，契伯雪夫11

19．函数的定义域及解析式子的定义域14

§3．函数的简略研究14

5．伟大的应用数学家：茹可夫斯基，贾普利金，克路洛夫14

20．函数性质的要素17

预篇。实数及近似值的四则计算法17

§1．实数17

6．实数。数轴17

7．区间。绝对值20

21．从图形上来研究函数21

§2．近似计算法22

8．计算法综述22

22．成正比的依从关系及线性函数23

§4．一些最简单的函数23

9．近似值。误差25

23．＊线性插值法26

24．二次函数28

25．＊三次函数30

10．＊四则运算30

26．成反比的依从关系及线性分式函数33

11．数学计算机综述36

§3．＊计算机36

§5．幂函数。指数函数及对数函数37

27．反函数概念37

12．四则计算机38

13．解析计算机及自动操纵计算机40

28．幂函数40

29．指数函数及双曲线函数42

30．对数函数45

§6．三角函数及反三角函数47

31．三角函数47

32．简单的与复杂的谐振荡49

33．反三角函数53

第二章极限概念57

§1．基本定义57

34．整标函数的极限57

35．＊举例60

36．连续宗标的函数的极限62

§2．无穷大量。极限运算法则68

37．无穷大量。有界函数68

38．无穷小量73

39．极限运算法则75

40．＊例题79

41．极限存在的准则81

§3．连续函数84

42．函数的连续性84

43．函数的不连续点86

44．连续函数的普遍性质89

45．施行于连续函数的运算92

46．初等函数的连续性95

§4．无穷小的比较。一些值得注意的极限99

47．无穷小的比较。相当无穷小99

48．无穷小比值的例题103

49．数？。自然对数107

§1．导函数的概念。函数的变化率113

50．几个物理上的概念113

第三章导函数与微分·微分法113

51．导函数117

52．导函数的几何解释122

53．＊抛物线的几个性质126

§2．函数的微分法127

54．微分法则127

55．复合函数的微分法131

56．基本初等函数的导函数135

57．对数微分法141

58．图解微分法144

§3．微分概念。函数的可微分性147

59．微分及其几何意义147

60．微分的性质152

61．微分在近似计算法上的应用154

62．函数的可微分性158

§4．作为变化率的导数（其他的例子）161

63．函数对于函数的变化率161

64．曲线矢径的变化率166

65．曲线弧长的变化率170

66．＊有机体增长过程174

§5．累次微分法176

67．高阶导函数176

69．高阶微分184

68．莱布尼兹公式186

70．按“元素”作图法190

§1．函数“在一点处”的性态190

第四章函数的研究及曲线的研究190

71．函数“在一点处”的性态191

72．函数“在一点处”性态的鉴定准则195

§2．一阶导数的应用198

73．洛勒定理及拉格伦日定理198

74．拉格伦日公式在近似计算上的应用202

75．函数在区间上的性态205

76．举例209

77．原函数215

§3．二阶导数的应用217

78．极值点的第二种充分条件217

79．曲线的凸性及四性220

80．举例225

§4．函数研究中的补充问题。方程解法229

81．柯西定理229

82．罗彼塔法则231

83．函数的渐近变化情形及曲线的渐近线238

84．函数研究的一般程序244

85．方程解法248

§5．台劳公式及其应用255

86．多项式的台劳公式255

87．台劳公式258

88．台劳公式的一些应用。举例262

89．多项式近似问题的提法。契伯雪夫近似法269

90．曲线间的接触度277

§6．曲线间的接触度。曲率277

91．曲率279

92．曲率半径及曲率中心。曲线的滑溜度286

93．渐屈线及渐伸线289

94．＊举例292

目次（上册Ⅱ）297

第五章定积分297

§1．定积分概念297

95．曲边梯形的面积297

96．物理学中的例子305

97．定积分存在定理308

98．定积分计算法313

§2．定积分的基本性质313

99．定积分的最简单性质及其几何意义317

100．积分区间的变向及分割法319

101．定积分估值法322

§3．定积分的基本性质（续）·牛顿-莱布尼兹公式327

102．中值定理。函数的中值327

103．积分对其上限的导函数332

104．牛顿-莱布尼兹公式336

第六章不定积分。积分法341

§1．不定积分的概念及不定积分法341

105．不定积分。基本积分表341

106．最简单的积分法则343

107．＊举例345

108．分部积分法350

§2．基本积分方法350

109．变量置换法353

§3．可积分函数的基本类型359

110．＊备用的代数知识359

111．分式有理函数363

112．＊举例368

113．＊奥氏法371

114．几种无理函数的积分法374

115．三角函数的积分法379

116．x及？的有理函数383

117．总的说明386

118．用分部积分法算定积分391

第七章定积分（续）。旁义积分391

§1．积分计算法391

119．定积分中的变量置换法394

§2．近似积分法398

120．数值积分法398

121．图解积分法。积分制图器404

§3．旁义积分409

122．积分限为无穷大时的积分409

123．无穷型积分限旁义积分的存在准则412

124．无穷型不连续函数的积分416

125．不连续函数的积分存在的准则419

126．“元素相加”法425

第八章积分的应用425

§1．一些最简单的问题及其解法425

127．“微分方程”法。解题程序432

128．＊举例432

§2．几何学及静力学上的一些问题437

129．图形面积437

130．＊测面器及积分器440

131．曲线长度443

132．体积448

134．＊重心及古尔琴定理455

§3．其他例子462

135．＊物理问题462

136．＊化学反应465

第九章级数469

§1．数项级数469

137．级数概念。收敛性469

133．旋转曲面的面积473

138．正项级数。收敛的充分准则474

139．任意项级数。绝对收敛482

140．＊施行于级数的运算485

§2．函数项级数490

141．定义。均匀收敛490

142．函数项级数的积分法及微分法496

§3．幂级数499