《数学解析教程 第1卷》

前言页1

引论1

1.数学解析及其重要性1

1.“初等”及“高等”数学1

2.量的概念·变量及函数依从关系3

3.数学解析与现实5

2.一些历史知识9

4.俄国的伟大数学家：欧拉，罗巴契夫斯基，契伯雪夫9

5.俄罗斯的大应用数学家：茹可夫斯基，贾普利金，克路洛夫11

3.实数12

6.实数·数轴12

7.区间·绝对值15

8.近似计算法18

第一章 函数21

1.函数及其给定法21

9.函数概念21

10.函数表示法22

2.函数的记号及分类26

11.记号26

12.复合函数概念·初等函数28

13.函数的分类30

3.函数的最简研究法34

14.函数的定义域及解析式子的定值域34

15.函数性态的要素37

16.从图形上来研究函数·函数的线性组合41

4.一些最简单的函数43

17.成正比的依从关系及线性函数·增量的概念43

18.二次函数47

19.成反比的依从关系及分式线性函数49

5.反函数，幂函数，指数函数及对数函数52

20.反函数概念52

21.幂函数56

22.指数函数及变曲线函数58

23.对数函数61

24.三角函数63

6.三角函数及反三角函数63

25.简单的及复杂的谐振荡65

26.反三角函数69

第二章 极限72

1.基本定义72

27.整标函数的极限72

28.举例74

29.连续宗量的函数的极限77

2.无穷大量·极限运算法则83

30.无穷大量·有界函数83

84.曲边梯形的面积84

31.无穷小量88

32.极限运算法则90

33.举例95

34.极限存在的准则97

35.函数的连续性100

3.连续函数100

36.函数的不连续点102

37.连续函数的一般性质107

38.施行于连续函数的运算·初等函数的连续性111

4.无穷小的比较·一些值得注意的极限114

39.无穷小的比较·等价无穷小114

40.无穷小比值举例117

41.数e·自然对数120

1.导函数概念·函数的变化率125

42.几个物理上的概念125

第三章 导函数及微分·微分学125

43.导函数131

44.导数的几何解释133

45.抛物线的几个性质135

2.函数的微分法138

46.对于算术运算结果的微分法138

47.复合函数的微分法142

48.基本初等函数的导数145

49.对数微分法·反函数及隐函数的微分法151

50.图解微分法155

3.微分概念·函数的可微分性156

51.微分及其几何意义156

52.微分的性质160

53.微分在近似计算法中的应用163

54.函数的可微分性·曲线的滑溜度166

80.曲率概念167

55.函数对于(另一)函数而言的变化率·函数及曲线的参量表示法170

4.作为变化率来看待的导数(其他的例子)170

56.极坐标中矢径的变化率176

57.曲线弧长的变化率178

58.有极体的增长过程180

5.累次微分法182

59.高阶导函数182

60.莱布尼兹公式185

61.高阶微分188

第四章 函数及曲线的研究191

62.按“元素”作图法191

1.函数“在一点处”的性态191

63.函数“在一点处”的性态·极值192

64.鉴定函数“在一点处”性态的准则196

2.一阶导数的应用199

65.洛勒定理及拉格偷日定理199

66.拉格偷日公式在近似计算上的应用203

67.函数在区间上的性态205

68.举例209

69.原函数的一个性质215

3.二阶导数的应用217

70.有极值的第二个充分准则217

71.曲线的凹性及凹性·拐点220

72.举例224

4.补充问题·方程的解法226

73.柯西定理及罗彼塔法则226

74.函数的渐近变化情形及曲线的渐近线236

75.研究函数的一般程序·举例241

76.方程的解法·重根概念245

77.多项式的台劳公式252

5.台劳公式及其应用252

78.台劳公式255

79.台劳公式的一些应用·举例258

6.曲率267

81.曲率半径、曲率中心及曲率图271

82.渐屈线及渐伸线274

83.举例277

第五章 定积分280

1.定积分概念280

85.物理学上的例子286

86.定积分·存在定理290

87.定积分计算法295

2.定积分的基本性质297

88.定积分的最简单的性质297

89.积分区间的改变方向及分割·积分的几何意义299

90.定积分的估值法302

3.定积分的基本性质(续)·牛顿-莱布尼兹公式307

91.中值定理·函数的中值307

92.积分对其上限的导函数311

93.牛顿-莱布尼兹公式314

94.不定积分·基本积分表319

第六章 不定积分·积分学319

1.不定积分的概念及不定积分法319

95.最简单的积分法则321

96.举例323

2.基本积分方法328

97.分部积分328

98.变量的置换332

3.可积分函数的基本类型337

99.分式有理函数337

100.举例343

101.奥氏法348

102.几种无理函数的积分法351

103.三角函数的积分法356

104.x及？ax2+bx+c的有理函数360

105.总的说明363

第七章 定积分的计算方法·旁义积分366

1.积分计算法366

106.用分部积分法算定积分366

107.定积分中的变量置换法368

2.近似积分法373

108.数值积分法373

109.图解积分法380

110.积分限为无穷大时的积分382

3.旁义积分382

111.无穷型积分限旁义积分的收敛及发散准则386

112.无穷型不连续函数的积分390

113.不连续函数的积分收敛或发散的准则394

第八章 积分的应用398

1.一些最简单的问题及其解法398

114.“元素相加”法398

115.“微分方程”法·用积分解题程序401

116.举例404

2.几何学及静力学上的一些问题·有机增长过程409

117.图形面积409

118.曲线长度412

119.体积417

120.旋转曲面的面积421

121.重心及古尔琴定理423

122.有极增长过程429

第九章 级数432

1.数项级数432

123.级数概念·收敛性432

124.正项级数·收敛的充分准则436

125.任意项级数·绝对收敛444

126.施行于级数的运算447

127.定义·均匀收敛450

2.函数项级数450

128.函数项级数的积分法及微分法455

3.幂级数458

129.台劳级数458

130.举例460

131.收敛区间及收敛半径463

132.幂级数的一般属性467

4.幂级数(续)470

133.把函数展成台劳级数的其他方法470

134.台劳级数的几种用法475

135.复变量函数·欧拉公式481