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第一章矢量、平行投影1

Ⅰ．线段，轴，矢量1

1．线段1

2．轴1

3．矢量2

4．矢量的相等3

5．矢量：自由矢量，滑动矢量，胶着矢量3

Ⅱ．矢量的和，数量乘矢量的乘积4

6．加法和乘法的运算4

7．矢量的和6

8．特款8

9．矢量的差10

10．数量乘矢量的积10

11．与一已知方向平行的矢量，单位矢量13

12．在轴上的矢量14

Ⅲ．轴上投影和面上投影15

13．轴上的投影15

13a．在同一平面上的图形的投影17

14．平面上的投影18

15．矢量的和与差在轴上的投影19

16．矢量的和与差在平面上的投影20

17．数量乘矢量的积的投影21

Ⅳ．直角投影的计算公式21

18．两方向间的角21

19．矢量在轴上的直角投影的计算公式22

19a．推广23

20．矢量投到平面上的直角投影的长24

21．平面图形在另一平面上的投影的面积25

Ⅴ．两个矢量的数积与矢积27

22．两个矢量的数积27

23．用数积来表示矢量的直角投影30

24．三个方向的右手系和左手系30

25．两个矢量的矢积31

26．三个矢量的混合积34

第二章矢量的坐标，点的坐标37

Ⅰ．笛氏坐标37

27．在直线（或轴）上的坐标37

28．矢量和点在平面上的坐标39

29．平面上的直角坐标42

30．矢量和点在空间的坐标43

31．空间的直角坐标46

32．按给定方向来分解矢量47

33．笛氏坐标的推广48

Ⅱ．表示仿射性质的基本公式51

34．已知矢量的和的坐标51

35．用已知的起点和终点来决定矢量52

36．以数量乘矢量的乘积的坐标53

37．两个矢量平行的条件55

37a．两个矢量平行的条件（补充）56

38．三点共线的条件57

39．三个矢量共面的条件58

40．四点共面的条件61

41．线段的定比分割61

Ⅲ．用直角坐标表示度量性质的基本公式64

42．两个矢量的数积64

43．矢量的长；矢量和坐标轴的夹角；两点间的距离65

44．坐标单位矢量；方向余弦67

45．两个矢量（或两个方向）所成的角68

46．两个矢量（或方向）垂直的条件70

47．平面上旋转方向的定义71

48．平面上两个方向的夹角的定义（在这个角有了正负号之後）74

49．三角形的面积，已知构成两边的两个矢量76

50．三角形的面积，已知三个项点77

51．两个矢量的矢积78

52．三个矢量的混合积，平行六面体的体积80

53．四面体的体积，已知顶点的坐标82

Ⅳ．用广义笛氏坐标表示度量性质的基本公式83

54．协变和逆变的笛氏坐标83

55．协变坐标和逆变坐标的关系84

56．几个主要的表示方式：两个矢量的数积，矢量的长，两点间的距离，两个方向所成的角86

57．在狭义斜角坐标系里的方向坐标和方向余弦88

Ⅴ．各种坐标系90

58．平面上的极坐标系90

59．推广91

60．平面上极坐标和笛氏坐标的变换91

61．空间的极坐标93

62．半极坐标（柱面坐标）94

63．坐标通则95

第三章笛氏坐标的变换，运动和仿射变换98

Ⅰ．笛氏坐标变换的一般公式98

64．原点的移动98

65．坐标矢量的变换99

66．一般情形102

67．补充105

68．协变坐标的变换108

Ⅱ．坐标变换的最重要特款109

69．平面上的直角坐标变换109

70．空间的直角坐标变换112

71．直角坐标变换公式中系数间的关系114

72．正交代换，前节公式的代数证法118

73．欧拉角119

74．平面上狭义斜角坐标的变换123

Ⅲ．运动和仿射变换123

75．运动124

76．仿射变换127

77．相似变换和运动，都是仿射变换的特款134

78．点变换群，几何学科的分类138

第四章平曲线的方程，平面上的直线141

Ⅰ．平曲线的分析表示法141

79．曲线的方程141

80．举例：直线和圆的方程143

81．曲线的参数表示法147

82．不同坐标系的曲线方程148

83．曲线分析表示法的基本问题149

84．各种曲线举例151

85．平曲线的分类157

86．可分解和不可分解的代数曲线159

87．关於两曲线的交点160

Ⅱ．直线方程的各种格式162

88．直线方程的方向系数式，参数表示式162

89．直线方程的简化式165

90．直线方程的一般式168

91．一般式直线方程的特款169

92．三项式Ax+By+C的符号170

93．截距式172

94．已知方程，求作直线的方法173

95．在一般式的方程里，系数A和B的几何意义174

96．直线方程的标准式175

Ⅲ．关於直线的主要问题177

97．问题1．求两已知直线的平行和叠合条件178

98．问题2．求两直线的交点180

99．问题3．求笛氏坐标的？换公式，已知新坐标轴的方程181

100．问题4．求已知直线和已知曲线的交点182

101．问题5．求两条已知直线的夹角186

102．问题6．求两条直线垂直的条件187

103．问题7．求已知点到已知直线的距离188

104．问题8．求联结两已知点的线段为已知直线所分割的比值190

105．在直线方程里独立常数的个数191

106．线束192

107．问题9．求直线的方程，经过已知点又和已知方向平行193

108．问题10．求直线的方程，经过已知两点M1（x1,y1）和M2（x2，y2）193

109．问题11．求直线的方程，经过已知点又和已知直线垂直194

110．问题12．求直线的方程，经过已知点又和已知直线成已知角194

111．直线的一般方程，经过两条已知直线的交点195

112．问题13．求直线，经过两条已知直线的交点又经过另一已知点198

113．三直线相交於一点的条件199

114．问题14．求直线方程，经过已知两直线的交点，并取得已知方向201

115．常数k的几何意义201

第五章空间的直线和平面205

Ⅰ．曲面的方程，曲线的方程系205

116．曲面的方程205

117．在直角坐标系里，球面和圆锥面的方程207

118．柱面的方程209

119．曲面的分类210

120．曲线的方程211

121．曲线和曲面的参数表示212

122．空间曲线和曲面的交点214

Ⅱ．平面的方程215

123．平面方程的一般式，参数表示式215

124．系数A,B,C的几何意义217

125．特款218

126．四项式Ax+By+Cz+D的符号219

127．平面方程的截距式219

128．已知方程，求作平面的图220

129．平面在坐标平面上的截痕221

130．两个平面平行或叠合的条件222

131．平面方程的标准式223

Ⅲ．空间直线的方程系225

132．直线方程系的方向系数式，参数表示式225

133．直线方程系的简化式228

134．两条直线平行和叠合的条件230

135．直线方程系的一般式230

Ⅳ．关於直线和平面的主要问题232

136．问题1．求两个平面的交线233

137．问题2．求三个平面的交点233

138．问题3．求笛氏坐标系的变换公式，已知新坐标平面的方程234

139．题问4．求平面和直线的交点235

140．题问5．求1°已知曲面和已知平面的交线；2°已知曲面和已知直线的交点；3°已知曲线和已知平面的交点236

141．问题6．求已知平面或已知直线所成的角238

142．问题7．求已知直线和已知平面的垂直条件241

143．问题8．求已知点到已知平面的距离242

144．问题9．求联结两已知点的线段被已知平面所分割的比值243

145．决定平面和直线在空间的位置所需的独立常数的数目243

146．线把和面把，面束244

147．问题10．求直线，经过已知点且和已知直线（或矢量）平行248

148．问题11．求直线，经过已知点 M1（x1，y1，z1）且和已知平面Ax+By+Cz+D=0垂直248

149．问题12．求经过两个已知点的直线248

150．问题13．求平面，经过已知点M（x1,y1,z1）且和已知平面平行248

151．问题14．求平面，经过已知点M1（x1,y1,z1）且和已知直线或矢量垂直249

152．问题15．求平面，经过已知直线和已知点249

153．问题16．求平面，经过不共线的三个已知点250

154．问题17．求平面，经过已知直线，且和另一已知直线或矢量平行251

155．问题18．求平面，经过已知直线且和已知平面垂直252

156．问题19．求两已知直线共面（相交）的条件252

157．问题20．求垂线的方程，通过已知点M垂直於已知直线？253

158．问题21．求已知点到已知直线的距离255

159．问题22．求两直线的公共垂线的方程系256

160．问题23．求两直线间的最短距离256

第六章虚元素和假元素，齐次笛氏坐标和投影坐标，投影变换258

Ⅰ．几何上的虚元素258

161．虚点和虚矢量258

162．虚直线和虚平面261

Ⅱ．齐次坐标和假元素，直线坐标和平面坐标262

163．直线上的齐次笛氏坐标262

164．应用於代数方程求根的问题264

165．平面上的齐次笛氏坐标266

166．在平面上用齐次坐标时直线的方程268

167．在平面上用齐次坐标时，直线的参数表示式276

168．空间的齐次笛氏坐标278

169．空间直线的参数表示式284

170．平面上的直线坐标，点和直线的对偶285

171．空间的平面坐标，点和平面的对偶288

172．投影几何的基本形289

173．齐次笛氏坐标的变换289

174．代数曲线和代数曲面的齐次坐标方程，几个一般性的命题292

175．假虚圆点和假虚圆300

Ⅲ．投影坐标和投影变换303

176．分式平直代换（直射代换）303

177．点的投影坐标305

178．代数曲线和曲面的齐次投影坐标方程311

178a．点列和线束用投影坐标的参数表示314

179．投影点变换315

180．四点的交比320

181．调和隔离325

182．交比在直射代换下的不变性325

183．四直线的交比和四平面的交比327

184．投影和截影330

185．一元度基本形间的投影对应331

186．直线上投影坐标的几何意义332

187．直线上四点的交比，用参数来表示334

188．线束（面束）内四条直线（四个平面）的交比，用参数来表示，束内的投影坐标335

189．两个一元度基本形投影对应的分析表示法336

190．叠置的一元度基本形，对合337

191．平面上和空间的投影坐标的几何意义340

192．平面上和空间的投影坐标变换的几何意义344

193．平面上和空间的投影点变换的基本性质345

194．对射（对偶）346

第七章圆锥截线的简化方程和初步性质349

Ⅰ．圆锥截线的标准方程349

195．椭圆的定义和它的标准方程349

196．椭圆形状的研究351

197．双曲线的定义和它的标准方程354

198．双曲线的形状的研究，渐近线356

199．焦距的性质，椭圆和双曲线的准线和这些曲线的新定义359

200．抛物线的定义和它的标准方程363

Ⅱ．椭圆，双曲线，抛物线，作为正圆锥面的截线367

201．正圆锥面和平面的交线367

202．由给定的圆锥面求给定的圆锥截线370

Ⅲ．圆锥截线方程的某些简单形式，相似的圆锥截线371

203．取渐近线为坐标轴的双曲线方程371

204．圆锥截线的参数表示，逐点作图法373

205．圆锥截线的极坐标方程（以焦点为极点）376

206．取顶点为原点的圆锥截线方程379

207．相似的圆锥截线381

第八章二次曲线的投影性质，切线和极线385

Ⅰ．二级曲线的投影分类385

208．记号385

209．二级曲线的可分解和不可分解，二级曲线的叠合389

210．二级曲线可分解的条件390

211．用投影坐标时二级曲线的典型方程，投影的分类391

212．用五点决定二级曲线394

213．二级曲线束397

214．巴斯卡定理399

215．用两个投影线束产生二级曲线401

Ⅱ．二级曲线和直线的交点，切线402

216．在齐次坐标系决定二级曲线和直线的交点的方程402

217．二级曲线的切线403

218．切线作为割线的极限405

Ⅲ．极点和极线，切线坐标方程410

219．从平面上已知点作切线，极点和极线410

220．极点和极线的另一定义，共轭点413

221．二级曲线所决定的配极对应414

222．自配极三角形415

223．共轭直线，二级曲线的切线坐标方程，阶的概念416

224．对偶原则应用於二级曲线的情形418

第九章二次曲线的仿射性质和度量性质420

Ⅰ．仿射分类，中心，直径，渐近线420

225．二级曲线的仿射分类420

225a．抛物类型的可分解曲线422

226．渐近方向425

227．在不齐次笛氏坐标系决定二级曲线和直线的交点的方程425

228．二级曲线的中心427

229．渐近线430

230．二级曲线的直径431

231．直径和切线的关系436

232．直径作为假点的极线437

233．已知二级曲线的图形求作中心和直径，互补的两弦437

234．有中心二级曲线的方程，取共轭直径为坐标轴438

235．抛物类型曲线的简化方程442

236．二级曲线的方程取切线和径过切点的直径为坐标轴443

Ⅱ．主直径，在直角坐标系的标准方程444

237．主直径444

238．圆锥截线在直角笛氏坐标系的标准方程446

239．圆的方程448

Ⅲ．法线，切线的焦性450

240．平曲线的法线450

241．椭圆切线的焦性450

242．双曲线切线的焦性453

243．抛物线切线的焦性455

Ⅵ．椭圆，双曲线，抛物线的直径的研究457

244．椭圆的直径457

245．双曲线的直径459

246．抛物线的直径463

第十章不变量，二次曲线的形状和位置的决定464

Ⅰ．不变量464

247．笛氏坐标变换对於方程的影响464

248．不变量的概念，举例467

249．二级曲线方程的基本不变量469

250．在广义笛氏坐标情形下的度量不变量473

251．应用：阿波罗尼定理475

Ⅱ．二级曲线方程的化简476

252．对於中心的变换476

253．用正交代换，把二元二次方式化为典型式479

254．有中心二级曲线的方程的化简481

255．没有确定中心的曲线方程的化简484

256．一对平行直线的方程的第二化简法，条件不变量488

257．结果的总结，1．二级曲线的仿射分类490

258．结果的总结，2．从二级曲线的方程去决定它的形状和大小492

259．结果的总结，3．化方程为标准式并决定曲线在平面上的位置494

260．两条二级曲线相似的条件499

261．两条二级曲线全等的条件，正交不变量A,A33,S组成完备系的证明503

第十一章二次曲面的基本性质，切面，中心，直径508

Ⅰ．投影分类，切面508

262．记号508

263．二级曲面的分解，叠合条件511

264．二级曲面的投影分类512

265．在齐次坐标系决定直线和二级曲面的交点的方程518

266．切线，切面519

267．具有椭圆点，双曲点，抛物点的曲面520

268．切锥面，极面和极点，切面坐标方程524

Ⅱ．二级曲面的仿射性质，中心，直径526

269．曲面和假平面的交线，仿射分类526

270．在不齐次笛氏坐标系，决定二级曲面和直线的交点的方程530

271．中心530

272．直径面532

273．有中心曲面的直径面和直径534

274．直径面作为假点的极面535

275．渐近线535

Ⅲ．度量性质，主直径面，化方程为标准式536

276．主直径面和主方向536

277．关於三元二次方式变换的某些一般命题538

278．方程D(λ)=0的根以及和它们对应的主方向的性质541

279．笛氏坐标变换对於曲面方程的影响547

280．正交不变量547

281．化二级曲面方程为标准式，1．有中心曲面549

282．化二级曲面方程为标准式，2．没有确定中心的曲面552

283．化二级曲面的方程为标准式，3．结果的总结555

283a．笛卡儿符号法则557

第十二章个别二次曲面形状的探求，母直线，圆截口558

Ⅰ．个别二级曲面形状的探求558

284．个别曲面的标准方程一览表558

285．平行平面和二级曲面的截口559

286．二级锥面559

287．椭圆面561

288．单叶双曲面564

289．双叶双曲面568

290．椭圆抛物面570

291．双曲抛物面573

Ⅱ．二级曲面的母直线576

292．一般的说明576

293．单叶双曲面的母直线578

294．双曲抛物面的母直线585

295．已知三条母线，求作二级直纹曲面的方法589

Ⅲ．二级曲面的圆截口590

296．引言590

297．有中心二级曲面的圆截口592

298．椭圆抛物面和椭圆柱面的圆截口596

附录关於一次方式和二次方式的基本知识599

Ⅰ．行列式和表（矩阵）599

1．行列式的某些性质599

2．行列式或表的秩602

3．行列式不为零的一次方程系的解答603

Ⅱ．一次方式604

4．代数方式，一次方式604

5．一次方式系，一次方式的相关或无关605

6．应用於在一般情形下，求解一次齐次方程系的问题609

6a．特款613

7．不齐次方程系的解答614

8．平直代换616

9．平直代换的继续进行619

Ⅲ．双一次方式和二次方式619

10．双一次方式与二次方式619

11．二次方式的变换621

12．化二次方式为典型式624

13．二次方式可分解为两个一次因子的条件628

14．正交代换630

15．关於利用正交代换，化二次方式为典型式的方法633