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第一章 代数学1

1.1 代数运算1

1.1.1 数系1

1.1.2 数的基本运算规律1

1.1.3 指数1

I 初等数学1

1.1.4 对数2

1.1.5 复数2

1.1.6 乘法与因式分解公式4

1.1.7 分式5

1.1.8 比例6

1.1.9 根式7

1.1.10 不等式7

1.2.3 等比级数9

1.2.4 常用的求和公式9

1.2.1 等差数列9

1.2.2 等比数列9

1.2 数列9

1.3 排列、组合与二项式定理10

1.3.1 排列10

1.3.2 组合10

1.3.3 二项式定理11

1.4 一元多项式12

1.4.1 一元多项式的运算12

1.4.2 整除12

1.4.3 最大公因式13

1.4.4 因式分解定理15

1.5 二阶、三阶行列式与代数方程15

1.5.1 二阶、三阶行列式15

1.5.3 一元二次方程16

1.5.2 三元一次方程组的解法16

1.5.4 一元三次方程17

1.5.5 一元四次方程17

1.5.6 根与系数的关系18

第二章 几何学19

2.1 平面几何学19

2.1.1 直线、角19

2.1.2 三角形20

2.1.3 四边形21

2.1.4 正多边形22

2.1.5 圆23

2.2 立体几何学25

2.2.1 直线与平面25

2.2.2 多面体27

2.2.3 旋转体29

2.3.1 命题.命题之间的关系30

2.2.4 立体角30

2.3 证题法概述30

2.3.2 证明方法31

第三章 三角学36

3.1 平面三角36

3.1.1 角的两种度量制36

3.1.2 三角函数的定义和基本关系36

3.1.3 三角函数的诱导公式.三角函数的图形与特性39

3.1.4 两角和的三角函数公式.倍角公式与半角公式43

3.1.5 三角函数的和差与积的关系式45

3.1.6 三角形基本定理45

3.1.7 斜三角形解法46

3.1.8 三角形面积公式47

3.1.9 反三角函数48

3.1.10 三角方程50

3.2.1 球面角.球面二角形.球面三角形53

3.2 球面三角53

3.2.2 球面三角形的性质54

3.2.3 球面三角形的计算公式55

3.2.4 球面直角三角形解法56

3.2.5 球面斜角三角形解法57

II基础数学60

第四章 解析几何学60

4.1 笛卡儿直角坐标系60

4.1.1 笛卡儿直角坐标系60

4.1.2 两点间的距离61

4.1.3 分线段为定比的分点的坐标62

4.1.4 坐标变换63

4.2 曲线方程与曲面方程64

4.2.1 基本概念64

4.2.3 交点与交线65

4.2.2 曲线的参数方程65

4.3 平面上的直线66

4.3.1 平面上的直线方程66

4.3.2 点到直线的距离.直线的法方程67

4.3.3 两直线的夹角及平行、垂直条件67

4.3.4 直线束.三直线共点的条件68

4.4 二次曲线68

4.4.1 圆68

4.4.2 椭圆69

4.4.3 双曲线70

4.4.4 抛物线70

4.4.5 圆锥曲线72

4.4.6 一般二次曲线74

4.5 常用的平面曲线76

4.6 平面、空间中的直线81

4.6.1 平面方程81

4.6.3 空间中的直线方程82

4.6.2 点到平面的距离.平面的法方程82

4.6.4 直线、平面的相互位置83

4.7 二次曲面85

4.7.1 球面85

4.7.2 椭球面86

4.7.3 双曲面87

4.7.4 抛物面88

4.7.5 柱面89

4.7.6 锥面90

4.7.7 一般二次曲面91

第五章 线性代数学95

5.1 行列式95

5.1.1 n阶行列式的定义95

5.1.2 行列式的性质96

5.1.3 行列式的计算98

5.1.4 拉普拉斯展开.行列式的乘法公式99

5.1.5 范德蒙德行列式与格拉姆行列式100

5.1.6 连加号Σ与连乘号Π101

5.2 矩阵101

5.2.1 n维向量空间101

5.2.2 向量组的线性关系102

5.2.3 矩阵及矩阵的秩104

5.2.4 矩阵的运算105

5.2.5 矩阵的逆107

5.2.6 矩阵的分块、初等矩阵108

5.2.7 几种特殊的矩阵110

5.3 线性方程组112

5.3.1 含n个未知量、n个方程的线性方程组112

5.3.2 一般线性方程组113

5.4 线性空间116

5.4.1 线性空间的维数.基与坐标116

5.5 线性变换117

5.5.1 线性变换的定义与运算117

5.4.3 子空间的交、和、直和117

5.4.2 线性子空间117

5.5.2 线性变换的矩阵118

5.5.3 特征值与特征向量119

5.6 若尔当标准形122

5.6.1 最小多项式122

5.6.2 λ矩阵的标准形123

5.6.3 不变因子与初等因子123

5.6.4 若尔当标准形124

5.7 二次型124

5.7.1 二次型及其矩阵表示124

5.7.2 标准形125

5.7.3 二次型的惯性指数126

5.7.4 正(负)定二次型127

5.8.2 正规正交基128

5.8.1 度量矩阵128

5.8 欧几里得空间128

5.8.3 正交变换与对称变换129

5.8.4 实对称矩阵的对角化129

5.8.5 酉空间131

第六章 微积分学132

6.1 分析基础132

6.1.1 实数132

6.1.2 数列的极限134

6.1.3 函数138

6.1.4 函数的极限142

6.1.5 无穷小、无穷大的比较144

6.1.6 函数的连续性145

6.1.7 Rn中的点集147

6.1.8 n元函数的极限148

6.1.9 n元函数的连续性149

6.2.1 函数的导数与微分150

6.2 微分学150

6.2.2 多元函数的偏导数与全微分154

6.2.3 隐函数159

6.2.4 微分学基本定理164

6.3 微分学的应用168

6.3.1 单元函数微分学的应用168

6.3.2 多元函数微分学的应用171

6.4 不定积分175

6.4.1 基本概念与性质175

6.4.2 积分法176

6.4.3 原函数可表为有限形式的几类函数181

6.4.4 不定积分表185

6.5 定积分197

6.5.1 定积分的定义197

6.5.2 可积函数类198

6.5.4 定积分的中值定理199

6.5.3 定积分的性质199

6.5.5 微积分学基本定理200

6.5.6 定积分的计算200

6.6 重积分201

6.6.1 二重积分201

6.6.2 三重积分203

6.6.3 n重积分206

6.7.2 曲面的面积208

6.7.1 平面图形的面积208

6.7 定积分与重积分的应用208

6.7.3 体积209

6.7.4 弧长209

6.7.5 质量210

6.7.6 重心210

6.7.7 转动惯量211

6.8 斯蒂尔杰斯积分211

6.8.1 有界变差函数211

6.8.3 斯蒂尔杰斯积分的定义213

6.8.2 可求长曲线213

6.8.4 斯蒂尔杰斯积分存在的条件214

6.8.5 斯蒂尔杰斯积分的性质214

6.8.6 斯蒂尔杰斯积分的计算216

6.9 曲线积分与曲面积分216

6.9.1 第一型曲线积分216

6.9.2 第二型曲线积分218

6.9.3 第一型曲面积分220

6.9.4 第二型曲面积分222

6.10 级数225

6.10.1 数项级数与无穷乘积225

6.10.2 函数项级数231

6.10.3 幂级数235

6.10.4 傅里叶级数239

6.11 广义积分245

6.11.1 无穷限的广义积分245

6.11.2 无界函数的广义积分246

6.11.3 常用的广义积分公式248

6.12 含参变量积分249

6.12.1 含参变量的常义积分249

6.12.2 含参变量广义积分的一致收敛性250

6.12.3 由含参变量广义积分所确定的函数250

6.12.4 常用的含参变量积分公式251

第七章 复变函数论253

7.1 复平面253

7.1.1 复平面上曲线的方程253

7.1.2 复平面上的点集.区域253

7.1.3 扩张复平面255

7.2 复变函数256

7.2.1 复变函数256

7.2.2 复变函数的极限与连续性257

7.2.3 复数序列与复数项级数257

7.2.4 复函数序列与复函数项级数259

7.3 全纯函数.柯西-黎曼方程260

7.3.1 复变函数的导数260

7.3.2 共轭调和函数261

7.3.3 单叶函数及其反函数261

7.3.4 多值函数.黎曼面262

7.4 初等复函数264

7.4.1 有理函数264

7.4.2 指数函数264

7.4.3 三角函数.双曲函数265

7.4.4 对数函数.幂函数265

7.4.5 反三角函数266

7.4.6 初等复函数266

7.5 复积分.柯西积分定理与柯西积分公式266

7.5.1 复积分的定义与简单性质266

7.5.2 柯西积分定理268

7.5.3 柯西积分公式269

7.5.4 柯西型积分270

7.6 全纯函数的级数表示270

7.6.1 复幂级数270

7.6.2 泰勒展开式271

7.6.3 常用的泰勒展开式272

7.6.4 罗朗展开式274

7.7 孤立奇点与留数275

7.7.1 孤立奇点及其分类275

7.7.2 解析函数在无穷远点的性态277

7.7.3 留数.留数定理277

7.7.4 利用留数计算定积分279

7.7.5 辐角原理280

7.8 亚纯函数.整函数281

7.8.1 亚纯函数281

7.8.2 亚纯函数的部分分式展开281

7.9.1 解析函数元素283

7.9 解析开拓283

7.8.3 整函数的无穷乘积展开283

7.9.2 解析开拓284

7.10 保角映射285

7.10.1 全纯函数与保角映射285

7.10.2 分式线性映射286

7.10.3 某些初等函数的映射特性286

7.10.4 对称原理.上半平面映射为多角形289

7.10.5 黎曼映射定理.边界对应289

7.10.6 常用保角映射表290

7.11 解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用292

7.12 解析函数在流体力学中的应用293

7.13 解析函数在电磁学与热学中的应用295

7.14 解析函数在平面弹性理论中的应用296

8.1.1 有关方程的概念298

8.1 一般概念298

第八章 常微分方程论298

8.1.2 有关方程的解的概念299

8.2 一阶微分方程299

8.2.1 存在和唯一性定理299

8.2.2 一阶微分方程的若干可积类型及其通解300

8.2.3 奇解及其求法305

8.3 高阶微分方程306

8.3.1 n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化306

8.3.2 存在和唯一性定理307

8.3.3 高阶微分方程的若干可积类型及其通解307

8.4 高阶线性微分方程309

8.4.1 朗斯基行列式309

8.4.2 线性微分方程解的结构310

8.4.3 常系数线性微分方程312

8.5 二阶微分方程315

8.5.1 二阶齐次线性微分方程解的定性性质315

8.4.4 欧拉方程315

8.5.2 二阶微分方程的若干可积类型及其通解316

8.5.3 二阶齐次线性微分方程的幂级数解法318

8.6 线性微分方程组320

8.6.1 线性微分方程组解的结构320

8.6.2 常系数线性微分方程组321

8.7 定性理论与稳定性理论初步324

8.7.1 解对初值的连续相依性与可微性324

8.7.2 解对参数的连续相依性与可微性325

8.7.3 动力系统的一般概念325

8.7.4 二维定常系统的极限环326

8.7.5 二维常系数线性微分方程组的奇点328

8.7.6 稳定性的基本概念331

8.7.7 稳定性与不稳定性的基本定理332

8.7.8 齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性333

8.8.1 机械系统的振动334

8.8 微分方程在力学、电学中的应用334

8.8.2 简单电路336

第九章 偏微分方程论339

9.1 一般概念339

9.2 一阶偏微分方程340

9.2.1 一阶线性偏微分方程340

9.2.2 一阶拟线性偏微分方程341

9.2.3 一阶非线性偏微分方程343

9.3.2 两个自变量的一阶线性方程组的分类346

9.3 一阶线性偏微分方程组346

9.3.1 特征方程.特征方向.特征曲线346

9.3.3 狭义双曲型方程组347

9.4 二阶线性偏微分方程的分类349

9.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类349

9.4.2 n个自变量的二阶线性方程的分类350

9.5 三类典型的二阶线性偏微分方程350

9.5.1 一维波动方程与定解条件的提法351

9.5.2 高维波动方程352

9.5.3 热传导方程354

9.5.4 拉普拉斯方程和泊松方程356

9.6 偏微分方程的分离变量法357

9.6.1 线性齐次方程和齐次边界条件358

9.6.2 线性非齐次方程和齐次边界条件361

9.6.3 齐次化原理362

9.6.4 非齐次边界条件的处理364

9.7 拉普拉斯方程的格林函数法364

9.7.1 格林函数及其性质364

9.7.2 利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题365

9.7.3 利用格林函数解泊松方程的第一边值问题369

9.8 拉普拉斯方程的位势方法369

9.8.1 单层位势.双层位势369

9.8.2 用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题372

9.9 偏微分方程的积分变换法373

9.10.1 δ函数及其性质376

9.10 δ函数和基本解376

9.10.2 基本解377

9.11 定解问题的适定性381

9.11.1 一维波动方程的定解问题的适定性381

9.11.2 调和函数的极值原理.狄利克雷问题的适定性382

9.11.3 一维热传导方程定解问题的适定性383

9.11.4 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理383

9.12 偏微分方程的差分解法384

9.12.1 偏导数与差商384

9.12.2 拉普拉斯方程的差分解法385

9.12.3 热传导方程的差分解法388

9.12.4 波动方程的差分解法389

第十章 微分几何学391

10.1 平面曲线391

10.1.1 平面曲线的方程.切线与法线391

10.1.2 平面曲线的曲率393

10.1.3 平面曲线族的包络线395

10.1.4 平面曲线的整体性质396

10.2 空间曲线397

10.2.1 空间曲线的切向量、主法向量与从法向量.曲率与挠率397

10.2.2 弗雷内公式.曲线在一点邻近的性态399

10.2.3 空间曲线论的基本定理401

10.3 曲面的参数表示401

10.3.1 曲面的参数表示401

10.3.2 曲面的切平面与法向量402

10.3.3 常用的曲面402

10.4 曲面的第一、第二基本形式405

10.4.1 第一基本形式405

10.4.2 等距对应.共形对应407

10.4.3 第二基本形式408

10.4.4 迪潘标线.共轭方向.渐近方向409

10.5.1 法曲率410

10.5 曲面上的曲率410

10.5.2 主曲率411

10.5.3 平均曲率.全曲率412

10.6 曲面的球面表示.第三基本形式414

10.6.1 曲面的球面表示414

10.6.2 第三基本形式414

10.7 直纹曲面.可展曲面415

10.7.1 直纹曲面与可展曲面的构造415

10.7.2 直纹曲面与可展曲面的性质417

10.8 曲面论的基本定理417

10.8.1 曲面的基本公式417

10.8.2 曲面论的基本定理418

10.9 测地曲率.测地线419

10.9.1 测地曲率419

10.9.2 测地线420

10.10 曲面上向量的平行移动421

10.9.3 测地坐标系421

10.9.4 测地挠率421

10.11 曲面的一些整体性质422

第十一章 积分方程论424

11.1 一般概念424

11.2 弗雷德霍姆定理426

11.3 退化核的积分方程427

11.3.1 退化核427

11.3.2 退化核的积分方程的解法427

11.4 逐次逼近法.叠核和预解核429

11.4.1 逐次逼近法429

11.4.2 叠核和预解核429

11.5 对于任何λ的弗雷德霍姆方程430

11.6 对称核431

11.6.1 对称核方程的特征值和特征函数431

11.6.2 对称核按特征函数系的展开式432

11.6.4 埃尔米特核和斜对称核433

11.6.3 对称核的分类.梅塞定理433

11.7 ？型无界核.奇异积分方程434

11.7.1 核为？型的积分方程434

11.7.2奇异积分方程435

11.8 沃尔泰拉方程435

11.8.1 第二类沃尔泰拉积分方程和方程组435

11.8.2 特殊形式的沃尔泰拉方程437

11.8.3 第一类沃尔泰拉积分方程.阿贝尔方程438

11.9 积分方程的近似解法439

11.9.1 数值积分方法439

11.9.2 近似核方法440

11.9.3 迭代法440

11.9.4 变分方法440

第十二章 变分法441

12.1 一般概念441

12.2.1 最简单的变分问题.欧拉方程443

12.2 固定边界的变分问题443

12.2.3 含高阶导数的泛函444

12.2.2 含多个未知函数的泛函444

12.2.4 多元函数的泛函445

12.2.5 用参数形式表示的泛函446

12.3 泛函极值的充分条件447

12.3.1 平稳曲线场雅科比条件447

12.3.2 泛函？极值的充分条件448

12.4 可动边界的变分问题449

12.4.1 ？型泛函449

12.4.2 ？型泛函449

12.4.3 ？型泛函450

12.5 条件变分问题450

12.5.1 泛函在约束条件？下的变分问题450

12.5.2 泛函在约束条件？下的变分问题451

12.6.1 直接法和极小化序列452

12.6 变分问题的直接法452

12.6.2 里兹法453

12.6.3 欧拉有限差分法454

12.6.4 康托罗维奇法455

12.7 力学中的变分原理456

12.7.1 哈密顿原理456

12.7.2 最小势能原理457

12.7.3 变分法和数学物理微分方程457

第十三章 概率论459

13.1 基本概念459

13.1.1 事件459

13.1.2 古典概型460

13.1.3 概率空间461

13.1.4 条件概率462

13.2.2 离散型随机变量的概率分布464

13.2.1 随机变量与分布函数的定义464

13.2 一维随机变量及其分布464

13.2.3 几种重要的离散型分布465

13.2.4 连续型随机变量的概率密度466

13.2.5 几种重要的连续型分布466

13.2.6 随机变量的函数468

13.3 多维随机变量及其分布470

13.3.1 多维随机变量与分布函数470

13.3.2 边际分布472

13.3.3 条件分布473

13.3.4 随机变量的相互独立性474

13.3.5 随机向量的函数475

13.3.6 几种重要的随机向量函数的分布477

13.3.7 随机向量的变换479

13.4.1 数学期望481

13.4 一维随机变量的数字特征481

13.4.2 随机变量函数的数学期望482

13.4.3 方差483

13.5 随机向量的数字特征484

13.5.1 一般概念484

13.5.2 协方差矩阵.相关系数484

13.5.3 条件数学期望486

13.6 母函数与特征函数487

13.6.1 母函数487

13.6.2 特征函数的定义及性质489

13.6.3 逆转公式及唯一性定理490

13.6.4 分布函数列的弱收敛490

13.6.5 连续性定理491

13.6.6 博赫纳-辛钦定理491

13.6.7 n维随机向量的特征函数491

13.8 极限定理498

13.8.1 随机变量的收敛性498

13.7 常用分布简表498

13.8.2 大数定律499

13.8.3 加强的大数定律499

13.8.4 中心极限定理500

附录502

数值表1 泊松分布？的数值表502

数值表2 ？数值表（x≥0）504

数值表3 x2分布表507

数值表4 t分布表509

第十四章 纯粹数学选题511

14.1. 集论511

14.1.1 集511

14.1.2 集的运算511

14.1.3 集的关系与运算的图形表示513

14.1.4 关系513

14.1.5 映射514

14.1.7 等价关系与商集515

14.1.6 积集与幂集515

14.1.8 偏序关系516

14.1.9 选择公理及其等价命题517

14.1.10 基数517

14.1.11 布尔代数518

14.1.12 逻辑代数.开关代数518

14.2 代数结构519

14.2.1 半群519

14.2.2 群520

14.2.3 正规子群.商群521

14.2.4 循环群.有限群522

14.2.5 环522

14.2.6 理想.商环523

14.2.7 域524

14.2.8 模.向量空间.代数524

14.3.1 度量空间526

14.3.2 度量空间中的开集和闭集526

14.3 一般拓朴学526

14.3.3 度量空间到度量空间的连续映射527

14.3.4 完备度量空间528

14.3.5 拓扑空间529

14.3.6 拓扑空间到拓朴空间的连续映射.同胚530

14.3.7 分离性530

14.3.8 积拓扑空间531

14.3.9 商拓扑空间531

14.3.10 连通性532

14.3.11 紧性532

14.3.12 可度量化拓扑空间534

14.4 勒贝格积分534

14.4.1 勒贝格外测度534

14.4.2 勒贝格测度534

14.4.3 勒贝格可测函数535

14.4.4 依测度收敛性536

14.4.5 勒贝格积分537

14.4.6 勒贝格积分的性质538

14.4.7 绝对连续函数539

14.4.8 重积分与累次积分539

14.5 泛函分析540

14.5.1 巴拿赫空间的定义与例540

14.5.2 连续线性算子.对偶空间542

14.5.3 巴拿赫空间中的收敛性543

14.5.4 线性泛函分析的基本定理544

14.5.5 巴拿赫空间之间连续映射的导数544

14.5.6 希尔伯特空间的定义与例545

14.5.7 正交投影546

14.5.8 伴随算子546

14.5.9 正交系547

14.5.11 紧算子的谱分析549

14.5.10 谱549

14.5.12 广义函数的定义与例550

14.5.13 广义函数的导数551

14.5.14 广义函数的卷积与傅里叶变换553

14.6 微分流形554

14.6.1 微分流形的定义与例554

14.6.2 可微映射.微分同胚556

14.6.3 切空间557

14.6.4 余切空间557

14.6.5 微分流形之间的映射的微分与切变换558

14.6.6 微分子流形559

14.6.7 定向流形560

14.6.8 向量场.泊松括号积560

14.6.9 张量场.微分形式561

14.6.10 外微分562

14.6.12 黎曼流形563

14.6.11 斯托克斯公式563

第十五章 向量分析.张量分析565

15.1 向量代数565

15.1.1 向量及其运算565

15.1.2 向量的坐标566

15.1.3 向量的数量积567

15.1.4 向量的向量积569

15.2 向量函数的微积分570

15.2.1 单元向量函数的微分法570

15.2.2 单元向量函数的积分法571

15.2.3 多元向量函数的微积分571

15.3 数量场572

15.3.1 场572

15.3.2 数量场的梯度573

15.3.3 哈密顿算子573

15.4.1 向量场的散度574

15.4 向量场574

III应用数学575

15.4.2 向量场的旋度575

15.4.3 场论基本定理576

15.4.4 几种特殊的向量场576

15.5 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式578

15.5.1 正交曲线坐标系578

15.5.2 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式579

15.6 向量分析在运动学中的应用579

15.6.1 质点运动的速度与加速度579

15.6.2 刚体的运动581

15.6.3 质点的相对运动582

15.7 向量分析在动力学中的应用583

15.7.1 牛顿第二定律与达朗贝尔原理583

15.7.3 动量矩定理584

15.7.2 动量定理584

15.7.4 动能定理585

15.8 向量分析在电磁学中的应用586

15.8.1 库伦定律与高斯定理586

15.8.2 安培-毕奥-萨瓦定律与安培定理586

15.8.3 法拉第电磁感应定律.麦克斯韦方程组587

15.9 张量588

15.9.1 张量概念588

15.9.2 张量的分量589

15.9.3 张量的运算590

15.9.4 外代数591

15.10 共变微分592

15.10.1 仿射联络592

15.10.2 共变微分592

15.10.3 曲率张量与挠率张量594

15.11 黎曼空间中的张量分析594

15.11.2 各种算子的表示式595

15.11.1 黎曼联络595

15.11.3 曲率张量的性质596

15.11.4 平行移动.测地线596

15.12 张量分析在离散质点系力学中的应用597

15.12.1 质点的自由运动597

15.12.2 质点的约束运动598

15.12.3 质点系的约束运动599

15.13 张量分析在连续介质力学中的应用600

15.13.1 应力张量600

15.13.2 应变张量600

15.13.3 平衡方程与运动方程601

15.14 张量分析在相对论中的应用602

15.14.1 狭义相对论602

15.14.2 广义相对论602

16.1 傅里叶积分与傅里叶变换604

16.1.1 傅里叶积分604

第十六章 积分变换604

16.1.2 傅里叶变换概念605

16.1.3 傅里叶变换的性质607

16.1.4 卷积与相关函数608

16.1.5 多重傅里叶变换610

16.2 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换611

16.3 傅里叶核612

16.4.1 有限正弦变换与有限余弦变换的定义.反演公式614

16.4 有限傅里叶变换614

16.4.2 函数的导数的有限傅里叶变换公式615

16.4.3 用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例616

16.4.4 多重有限傅里叶变换617

16.5 离散傅里叶变换619

16.5.1 波形采样619

16.5.2 离散傅里叶变换对621

16.5.3 离散卷积与离散相关624

16.6 快速傅里叶变换625

16.6.1 矩阵方程与快速傅里叶变算法625

16.5.4 离散傅里叶变换的性质625

16.6.2 信号流程图628

16.7 拉普拉斯变换629

16.7.1 拉普拉斯变换概念629

16.7.2 拉普拉斯变换的性质630

16.7.3 卷积与杜阿梅尔公式632

16.7.4 拉普拉斯逆变换633

16.7.5 拉普拉斯变换在解微分方程上的应用634

16.7.6 二重拉普拉斯变换635

16.8 汉克尔变换.有限汉克尔变换636

16.8.1 汉克尔变换636

16.8.2 汉克尔变换性质636

16.8.3 有限汉克尔变换637

16.9 梅林变换.希尔伯特变换637

16.9.1 梅林变换637

16.9.2 希尔伯特变换638

16.10 积分变换简表639

16.10.1 傅里叶变换简表639

16.10.2 傅里叶余弦变换简表641

16.10.3 傅里叶正弦变换简表642

16.10.4 有限傅里叶余弦变简表643

16.10.5 有限傅里叶正弦变换简表644

16.10.6 拉普拉斯变换简表645

16.10.7 汉克尔变换简表648

16.10.8 梅林变换简表650

16.10.9 希尔伯特变换简表652

第十七章 特殊函数653

17.1 Γ函数653

17.1.1 Γ函数定义与递推关系653

17.1.2 Γ函数的无穷乘积表达式.Γ函数与三角函数的关系654

17.1.3 Γ函数的积分表达式655

17.1.4 比内公式.渐近展开.斯特林公式656

17.2 B函数657

17.1.5 Γ函数的对数微商.多Γ函数.不完全Γ函数657

17.3 误差函数.菲涅耳积分658

17.4 指数积分.对数积分.正弦积分.余弦积分660

17.5 勒让德函数.勒让德多项式661

17.5.1 勒让德方程与勒让德函数661

17.5.2 勒让德多项式的定义.微商表示与积分表示662

17.5.3 Pn(s)的母函数.Pn(z)的递推公式664

17.5.4 Pn(x)的正交性.傅里叶-勒让德级数665

17.5.5 第二类勒让德函数665

17.5.6 连带勒让德函数及其递推公式666

17.5.7 Pmn(x)的正交性.按{Pmn(x)}∞n=m？展开667

17.5.8 #阶球面调和函数及其正交性668

17.6.1 贝塞尔方程与贝寒尔函数670

17.6.2 第一类贝塞尔函数及其递推公式670

17.6 贝塞尔函数670

17.6.3 半奇数阶贝塞尔函数672

17.6.4 Ｊv(z)的积分表示.整数阶的贝塞尔函数的母函数673

17.6.5 Jv(z)的零点674

17.6.6 贝塞尔函数的正交性.傅里叶-贝塞尔级数675

17.6.7 第二类贝塞尔函数676

17.6.8 第三类贝塞尔函数678

17.6.9 修正贝塞尔函数678

17.6.10 开耳芬函数680

17.6.11 球贝塞尔函数681

17.6.12 各类贝塞尔函数的渐近展开式682

17.7 埃尔米特函数与埃尔米特多项式682

17.8 拉盖尔函数与拉盖尔多项式684

17.9 切比雪夫多项式685

17.9.1 第一类切比雪夫多项式685

17.10 超几何函数687

17.10.1 超几何方程687

17.9.2 第二类切比雪夫多项式687

17.10.2 超几何级数与超几何函数688

17.10.3 雅科比多项式689

17.10.4 超几何函数的积分表示689

17.10.5 用超几何函数表示的富克斯型方程解的例690

17.11 合流超几何函数690

17.11.1 合流超几何方程与合流超几何函数690

17.11.2 合流超几何函数的积分表示691

17.11.3 惠特克方程与惠特克函数691

17.11.4 抛物柱面函数693

17.12 椭圆积分与椭圆函数694

17.12.1 椭圆积分694

17.12.2 不完全椭圆积分与完全椭圆积分695

17.12.3 椭圆函数696

17.12.4 魏尔斯特拉斯椭圆函数，ち函数，σ函数697

17.12.6 雅科比椭圆函数699

17.12.5 θ函数699

第十八章 数值分析702

18.1 误差和有效数字702

18.2 插值法702

18.2.1 拉格朗日插值702

18.2.2 埃特金逐步插值703

18.2.3 牛顿插值703

18.2.4 等距节点插值704

18.2.6 分段线性插值706

18.2.7 分段三次埃尔米特插值706

18.2.8 三次样条插值707

18.3 数值逼近708

18.3.1 引论708

18.3.2 魏尔斯特拉斯定理709

18.3.3 最佳一致逼近多项式709

18.3.4 切比雪夫多项式710

18.3.5 切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例711

18.3.6 线性内积空间的最佳逼近712

18.3.7 函数的最佳平方逼近714

18.3.8 正交多项式714

18.3.9 用勒让德多项式作平方逼近715

18.3.10 函数按切比雪夫多项式展开716

18.3.11 曲线拟合的最小二乘法717

18.3.12 用正交函数作最小二乘拟合718

18.4.1 机械求导方法719

18.4 数值微分719

18.4.2 插值型的求导公式720

18.4.3 样条求导721

18.5 数值积分721

18.5.1 数值积分的基本概念721

18.5.2 牛顿-科茨公式722

18.5.3 复化求积公式723

18.5.4 高斯公式724

18.6.1 一阶方程725

18.6 常微分方程的数值解法725

18.6.2 一阶方程组729

18.6.3 化高阶方程为一阶方程组731

18.6.4 二阶线性方程边值问题的差分方法732

18.7 方程的近似解733

18.7.1 二分法733

18.7.2 弦线法(比例法)733

18.7.3 切线法(牛顿法)734

18.7.4 迭代法735

18.7.5 代数方程求根735

18.8 解线性方程组的直接方法738

18.8.1 高斯消去法738

18.8.2 高斯主元素消去法741

18.8.3 高斯-若尔当消去法741

18.8.4 LU分解法742

18.8.5 LDLT分解法744

18.8.6 平方根法745

18.8.7 追赶法746

18.9 解线性方程组的迭代法747

18.9.1 基本概念747

18.9.2 雅科比迭代法748

18.9.3 高斯-塞德尔迭代法749

18.9.4 超松弛迭代法750

18.10 矩阵的特征值与特征向量计算751

18.10.1 一些代数知识751

18.10.2 幂法752

18.10.3 反幂法754

18.10.4 QR方法755

18.10.5 雅科比方法756

18.10.6 豪斯荷尔德方法758

18.10.7 对称三对角阵的特征值计算761

19.1.1 生成函数的代数运算763

第十九章 组合论763

19.1 生成函数763

19.1.2 生成函数的分析运算770

19.1.3 普生成函数与指数生成函数间的关系772

19.2 复合函数的高阶导数773

19.3 斯特林数与拉赫数775

19.3.1 斯特林数775

19.3.2 拉赫数778

19.4 伯努利数与贝尔数778

19.4.1 伯努利数778

19.4.2 贝尔数779

19.5 伯努利多项式.贝尔多项式.求和公式779

19.5.1 伯努利多项式779

19.5.2 贝尔多项式781

19.5.3 求和公式781

19.6.1 基本概念782

19.6 反演公式782

19.6.2 反演公式784

19.6.3 二项式型多项式列786

19.7 容斥原理788

19.7.1 一些记号788

19.7.2 容斥原理789

19.7.3 容斥原量的应用举例790

19.8 递归关系790

19.8.1 有关递归关系的一些基本概念790

19.8.2 一元线性递归关系791

19.8.3 非线性递归关系792

19.8.4 阿贝尔恒等式792

19.8.5 拉姆齐定理，拉姆齐数及其应用793

19.9 (0，1)矩阵795

19.9.1 基本概念795

19.9.2 积和式与关联矩阵的性质796

19.10 线秩和项秩797

19.10.1 线秩和项秩797

19.10.2 双随机矩阵798

第二十章 图论799

20.1 基本概念799

20.1.1 图与子图799

20.1.2 图的运算801

20.2 通路与回路802

20.2.1 顶点的度802

20.2.2 通路与回路803

20.2.3 赋权图与最短通路804

20.3 E图与H图805

20.3.1 E图805

20.3.2 H图805

20.4 树与割集806

20.4.1 树与生成树806

20.4.2 连枝集与基本回路集807

20.5 图的矩阵表示808

20.5.1 邻接矩阵808

20.4.3 割集与断集808

20.5.2 关联矩阵809

20.5.3 回路矩阵810

20.5.4 割集矩阵812

20.6 平面图813

20.6.1 平面图813

20.6.2 对偶图814

20.7 网络流815

20.7.1 网络与流815

20.7.2 标号算法816

21.1 随机过程的概念818

21.1.1 随机过程的定义818

第二十一章 随机过程论818

21.1.2 随机过程的分布函数819

21.1.3 随机过程的数字特征820

21.1.4 两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征820

21.2 马尔科夫过程821

21.2.1 马尔科夫过程的定义821

21.2.2 马尔科夫链822

21.2.3 时间连续、状态离散的马尔科夫过程825

21.2.4 扩散过程827

21.3 平稳随机过程829

21.3.1 平稳随机过程的定义829

21.3.2 平稳随机过程的数字特征829

21.3.3 各态历经性830

21.3.4 相关函数的性质832

21.3.5 平稳过程的功率谱密度833

22.1 抽样分布836

22.1.1 基本概念836

第二十二章 数理统计836

22.1.2 经验分布837

22.1.3 抽样分布838

22.2 参数估计842

22.2.1 点估计842

22.2.2 点估计的评价标准843

22.2.3 区间估计845

22.2.4 随机参数的估计848

22.3.2 参数假设检验851

22.3 假设检验851

22.3.1 假设检验的原理与基本步骤851

22.3.3 非参数假设检验856

22.4 线性模型859

22.4.1 基本概念859

22.4.2 回归分析860

22.4.3 方差分析864

23.1.2 排队模型的符号表示868

23.1.1 服务系统的分类与特征868

第二十章 运筹学868

23.1 排队论868

23.1.3 服务系统的运行指标869

23.1.4 状态概率及其求解的方法869

23.1.5 排队论中常用的事件流的概率分布870

23.1.6 单通道损失制(M/M/1/0)871

23.1.7 双通道损失制(M/M/n/0)872

23.1.8 单通道等待制(M/M/1)873

23.1.9 双通道等待制(M/M/n)874

23.1.10 单通道混合制(M/M/1/m)876

23.1.11 双通道混合制(M/M/n/m)878

23.1.12 M/G/1模型879

23.1.13 M/D/1模型，M/E4/1模型880

23.1.14 排队系统的最优化881

23.2.1 决策模型883

23.2.2 确定型决策问题883

23.2 决策论883

23.2.3 风险型决策问题884

23.2.4 不确定型决策问题887

23.3 对策论891

23.3.1 基本概念891

23.3.2 矩阵对策的数学模型891

23.3.3 矩阵对策的最优策略892

23.3.4 混合策略与混合扩充893

23.3.5 矩阵对策的求解方法897

23.4 存贮论901

23.4.1 基本概念901

23.4.2 确定性存贮模型901

23.4.3 随机性存贮模型903

24.1.2 系统的方程907

24.1.1 系统的状态907

24.1 基本概念907

第二十四章-控制理论907

24.1.3 最优控制问题909

24.1.4 闭环控制与开环控制911

24.2 线性状态方程的解911

24.2.1 时变系统的解911

24.2.2 转移矩阵912

24.2.3 连续状态方程的离散化912

24.2.4 离散状态方程的解913

24.3 线性系统的完全能控性与完全能观测性915

24.3.1 连续系统的能控性与能观测性915

24.3.2 离散系统的能控性与能观测性917

24.3.3 能控性与能观测性的对偶关系918

24.4 动态规划方法919

24.4.1 用动态规划解离散型最优控制问题的方法919

24.4.2 离散型随机线性二次最优控制问题的解法920

24.4.4 连续型线性二次最优控制问题的解法921

24.4.3 连续系统的哈密顿--雅可比-贝尔曼方程921

24.5.1 连续系统的最小值原理922

24.5 最小值原理922

24.5.2 离散系统的最小值原理923

24.6 随机系统的最优控制924

24.6.1 基本概念924

24.6.2 卡尔曼滤波方法925

24.6.3 随机控制系统的分离定理926

第二十五章 最优化方法929

25.1 线性规划929

25.1.1 线性规划问题的一般形式929

25.1.2 化线性规划的一般形式为标准形式930

25.1.3 线性规划问题解的概念931

25.1.4 线性规划问题的基本理论933

25.1.5 单纯形法934

25.1.6 人工变量求可行基的解法939

25.1.8 对偶单纯形法945

25.1.7 线性规划的对偶理论945

25.2 非线性规划948

25.2.1 非线性规划的标准型948

25.2.2 凸函数949

25.2.3 最优化条件949

25.2.4 无约束最优化问题的解法950

25.2.5 有约束最优化问题的解法954

第二十六章 有限元方法959

26.1 用有限元方法解题的过程959

26.1.1 二阶常微分方程的边值问题959

26.1.2 二维泊松方程第三边值问题962

26.2 插值与基函数965

26.2.1 一维情形966

26.2.2 二维情形(三角形剖分)967

26.2.3 二维情形(矩形剖分)973

26.2.4 三维情形(四面体剖分)976

26.2.5 三维情形(六面体剖分)978

26.3 板的变曲问题980

26.3.1 协调性问题980

26.3.2 板的弯曲方程980

26.3.3 有限元解法982

26.3.4 非协调元984

26.4 非定常问题的有限元解法985

27.1.1 计算机的种类987

27.1 电子计算机原理987

第二十七章 计算机基本知识987

27.1.2 计算机的组成988

27.1.3 计算机中数的表示方法988

27.1.4 计算机系统结构990

27.2 计算机语言991

27.2.1 常用的计算机语言991

27.2.2 语言和文法993

27.3.3 存贮结构994

27.3.2 抽象数据结构994

27.3 数据结构994

27.3.1 基本概念994

27.3.4 对于数据的主要处理或操作995

27.3.5 文件996

27.4 编译原理996

27.4.1 基本概念996

27.4.2 编译过程概述996

27.5.1 基本概念996

27.5 操作系统998

27.5.2 进程及处理机管理998

27.5.3 作业管理999

27.5.4 存贮管理999

27.5.5 设备管理999

27.5.6 文件管理999

27.6.4 DBTG系统1000

27.6.3 数据库系统的构成1000

27.6 数据库1000

27.6.2 数据模型1000

27.6.1 数据库的概念1000

27.6.5 IMS1001

27.6.6 关系数据库1001

27.6.7 数据库的安全性、完整性和并发控制1001

27.6.8 数据库设计1001

27.7 软件工程学1001

27.7.1 基本概念1002

27.7.2 分析阶段(需求分析和说明阶段)1002

27.7.3 设计阶段1002

27.7.4 编写阶段1002

27.7.5 测试阶段1002

27.7.6 运行阶段1003

28.1.1 信源的概念与分类1004

28.1 信源和信息熵1004

第二十八章 信息论1004

28.1.2 离散信源的信息量与熵1005

28.1.3 熵的数学特性1006

28.1.4 两个符号的熵与互信息1007

28.1.5 序列信息的熵1008

28.1.6 连续随机变量的熵与信息1009

28.1.7 最大熵定理1010

28.2 信道与信道容量1011

28.2.1 信道1011

28.2.2 无干扰离散信道1012

28.2.3 单符号信道的容量1015

28.2.4 多符号信道的容量1016

28.2.5 多用户信道1018

数学家译名表1020

索引1024