《分岔理论和耗散结构的计算方法》

第一章 引言1

1.1 综合引论1

1.2 物理、化学和生物系统中的耗散结构2

1.2.1 弹性稳定性问题3

1.2.2 流动诱发振荡中发散和抖动的分岔5

1.2.3 滚动轮系统的非线性摆动问题5

1.2.4 扁弹性拱的屈曲6

1.2.5 流体力学中的耗散结构6

1.2.6 生物系统11

1.2.7 反应-扩散问题16

1.3 非线性系统的基本概念和性质20

1.3.1 稳态解21

1.3.2 解的稳定性26

1.3.3 演化系统30

1.4 例子31

第二章 集总参数系统(LPS)的多样性和稳定性40

2.1 稳态解40

2.2 稳态解与参数的依赖关系--解图43

2.3 稳态解的稳定性51

2.4 分支点--实分岔54

2.4.1 极限点和分岔点的计算56

2.4.2 分岔点处各分支的方向62

2.4.2.1 延拓方法开始点的选择66

2.4.2.2 用以说明的例子68

2.4.2.3 高阶退化的分岔点70

2.4.3 孤立点的出现、孤立中心的形成72

2.5 分支点--复分岔76

2.5.1 Hopf分岔定理77

2.5.2 确定复分岔点位置的直接分解方法79

2.5.3 直接迭代方法84

2.6 分岔图89

2.7 LPS的瞬变状态--数值方法92

2.7.1 Runge-Kutta法93

2.7.2 多步方法94

2.7.3 沿解弧线的积分95

2.7.4 自治系统相轨迹的积分96

2.7.5 常微分方程刚性系统的数值方法96

2.7.6 微分方程和代数方程系统100

2.7.7 时间延迟微分方程组的积分101

2.8 周期解的计算103

2.8.1 转换为初值问题--打靶法104

2.8.2 周期解的稳定性107

2.8.3 周期解的延拓107

2.8.4 周期解的分岔111

2.9 浑沌吸引子112

2.9.1 浑吨吸引子的特征114

2.9.2 Liapunov指数114

2.9.3 功率谱121

2.9.4 Poincaré映射124

第三章 分布参数系统(DPS)的多样性和稳定性126

3.1 稳态解--求解非线性边值问题的方法128

3.1.1 有限差分法129

3.1.2 拟线性法132

3.1.3 打靶法132

3.2 稳态解与参数的依赖关系136

3.3 分支点--计算实分岔点和复分岔点的方法148

3.3.1 主分岔148

3.3.2 次实分岔153

3.3.3 次复分岔161

3.4 抛物型方程组的瞬变模拟方法--有限差分法167

3.4.1 非线性近似169

3.4.2 时间步长k的自动控制171

3.4.3 空间步长h的自动控制，等距离网格172

3.4.4 自适应非等距离网格173

第四章 可变参数准稳态模型的研究177

4.1 在LPS中的准稳态--例子180

4.2 在DPS中的准稳态--例子186

第五章 展望195

附录A DERPAR--一种延拓算法202

附录B 用打靶法求解非线性边值问题的一种算法206

附录C 分岔理论和稳定性理论216

C.1 不变流型和中心流型定理(维数的化简)217

C.2 标准形式218

C.3 向量场奇点的分岔229

C.4 向量场的余维数，向量场的扩展230

C.5 一个完全变形的构造237

C.6 余维数为2的分岔240

C.7 来自极限环的分岔243

参考文献259

索引268