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第四章解析函数与平面场1

1 复数1

2 复变函数5

一、区域5

二、复变函数6

三、复变函数的极限和连续性7

四、初等函数8

一、解析函数的定义13

3 解析函数13

二、函数解析的必要与充分条件15

三、共轭调和函数20

4 复变函数的积分23

一、复变函数的积分23

二、柯西定理26

三、柯西公式32

四、解析函数的求导公式35

5 复位与复场强41

一、复磁位和复电位的概念42

二、已知复位，分析场及场源的特点44

三、已知场源，计算它所激发的场的复位45

6 平面场的狄利克莱问题58

一、圆内狄利克莱问题58

二、上半平面狄利克莱问题61

三、曲线半平面的柯西积分公式66

[附录]索霍茨基公式71

7 级数75

一、级数的一般理论75

二、泰勒级数79

三、复磁场强度的泰勒展开84

四、罗朗级数88

五、复磁场强度的罗朗展开94

8 留数106

一、零点106

二、奇点107

三、留数的概念110

四、留数定理111

五、留数的计算112

六、应用留数定理计算定积分115

七、应用留数定理推导校正正常场和计算磁矩的公式122

9 保角映射128

一、映射128

二、保角映射130

三、调和性的保持132

四、将边界复杂的狄利克莱问题化为边界较为简单的狄利克莱问题133

五、分式线性映射135

六、幂函数映射145

七、由分式线性映射、幂函数映射，指数函数映射复合而成的映射(举例)149

八、多角形映射160

第五章傅里叶分析172

1 谐波172

2 傅里叶级数174

一、三角函数族的正交性174

二、将周期函数展成傅里叶级数176

三、周期函数的离散谱188

四、周期函数的平均功率191

五、吉布斯现象193

六、实用谐量分析法196

一、傅里叶积分202

3 傅里叶积分202

二、非周期函数的连续谱206

4 傅里叶变换207

一、傅里叶变换207

二、傅里叶变换的基本性质215

三、非周期函数的能量谱密度和平均功率谱密度226

5 褶积232

一、褶积的定义232

二、褶积的基本性质236

三、褶积定理237

6 相关248

一、相关函数248

二、相关定理249

三、相关函数与能量谱密度251

7 有限傅里叶级数255

一、三角函数族的离散正交性255

二、有限傅里叶级数258

8 离散傅里叶变换262

9 快速傅里叶变换269

10 离散褶积275

11 限带函数和抽样定理278

一、限带函数的一般表示式279

二、抽样定理281

12 二维傅里叶分析286

一、二维傅里叶级数286

二、二维傅里叶变换291

三、能量谱密度和平均功率谱密度292

四、二维褶积294

五、二维相关295

六、二维有限傅里叶级数296

七、二维离散傅里叶变换299

八、二维离散褶积301

九、二维抽样定理302

[附录]作为广义函数的δ函数303

一、广义函数的概念304

二、广义函数的运算305

三、广义极限310

1 伽马函数315

一、伽马函数的定义315

第六章特殊函数315

二、伽马函数的基本性质316

三、伽马函数定义域的推广317

四、B函数319

五、应用举例320

2 勒让德函数322

A.勒让德多项式323

一、勒让德多项式323

二、勒让德多项式的正交性325

三、勒让德多项式的递推公式331

四、勒让德多项式的母函数334

五、勒让德方程的通解338

B.连带勒让德函数340

六、连带勒让德方程的通解340

七、Pmn(x)的正交性344

C.球函数346

八、球函数的定义346

九、球函数的正交性346

十、应用举例349

A.贝塞耳方程的解354

一、ν不为整数(包括零)和半奇数时贝塞耳方程的通解354

3 贝塞耳函数354

二、ν为零或整数时贝塞耳方程的通解358

三、ν为半奇数时贝塞耳方程的通解361

四、一般情况下贝塞耳方程的通解(小结)363

五、虚宗量贝塞耳方程的通解363

B.贝塞耳函数的基本性质367

六、贝塞耳函数的母函数367

七、贝塞耳函数之间的关系368

八、贝塞耳函数的积分表示式372

九、含贝塞耳函数的定积分374

十、贝塞耳函数的近似公式376

十一、贝塞耳函数的正交性378

十二、应用举例382

4 拉梅函数394

一、椭球坐标394

二、拉梅函数398

1.二维情况405

A.直角坐标系405

一、一般原理405

第七章拉普拉斯方程405

1 分离变量法405

2.三维情况408

二、释例410

B.球坐标系416

三、一般原理416

四、释例420

C.柱坐标系446

五、一般原理446

六、释例449

七、一般原理485

D.椭球坐标系485

八、释例487

2 镜象法505

3 格林函数法521

一、调和函数的积分表示式522

二、调和函数的基本性质525

三、两类边值问题528

四、拉氏方程第一边值问题的格林函数531

五、拉氏方程第二边值问题的格林函数546

习题答案555