《代数数论入门》

第一部分 代数理论3

第一章 代数数域和代数整数环3

1 代数数域3

1.1 单扩张定理3

1.2 数域的嵌入4

1.3 范与迹8

1.4 元素的判别式10

1.5 单位根12

2 代数整数环17

2.1 代数整数17

2.2 代数整数环18

2.3 整基，数域的判别式21

第二章 整数环中的素理想分解30

1 分解的存在唯一性30

1.1 Dedekind整环30

1.2 整数环OK是Dedekind整环36

1.3 分式理想，理想的范38

2 分歧指数，剩余类域次数和分裂次数45

2.1 e,f,g45

2.2 素理想分解和多项式分解49

2.3 应用：素数在二次域中的分解，二平方和定理52

2.4 判别式定理55

2.5 应用：纯三次域的整基59

3 伽罗华扩域中的素理想分解63

3.1 n=efg63

3.2 分解群和惯性群65

3.3 Frobenius自同构69

3.4 素数在分圆域中的分解72

4 Kronecker-Weber定理75

4.1 二次域是分圆域的子域75

4.2 分歧群和分歧域79

4.3 Kronecker-Weber定理82

4.4 Abel数域的导子和互反律88

1 类群和类数93

第三章 理想类群和单位群93

1.1 Rn中的格，Minkowski定理94

1.2 类数有限性定理98

2 Dirichlet单位定理106

2.1 Dirichlet单位定理106

2.2 实二次域的基本单位，Pell方程111

2.3 其他例子115

2.4 关于费尔马猜想的Kummer定理122

1 Dirichlet级数的一般理论128

1.1 Dirichlet级数环--形式化理论128

第二部分 解析理论128

第四章 ζ(s),L(s,x)和ζk(s)128

1.2 收敛横坐标--解析工具的引入134

2 Rimann zeta函数ζ(s)和Dirichlet L函数L(s,x)142

2.1 ζ(s)的函数方程，Riemann猜想142

2.2 有限Abel群的特征146

2.3 Dirichlet L函数152

2.4 Dirichlet级数在负整数处的值，Bernoulli数158

3.1 留数公式166

3 Dedekind zeta函数ζk(s)166

3.2 ζk(s)的函数方程173

第五章 密度问题179

1 素数定理和素理想定理180

1.1 素数定理180

1.2 算术级数中的素数定理186

1.3 素理想定理187

2.1 Dirichlet密度189

2 密度定理及其应用189

2.2 素理想的分裂和多项式的分裂192

2.3 Abel L-函数，ЧiooTapeB密度定理195

第六章 Abel数域的类数公式204

1 Hasse类数公式204

2 二次域的类数公式212

3 分圆域的类数公式，Kummer结果217

附录A 进一步阅读的参考书233

附录B 关于群、环、域的一些知识236