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14．距离空间1

14.1 集合与映射1

1．集合1

2．映射6

3．集的对等、可列集、基数9

14.1习题17

14.2 距离空间19

1．空间结构19

2．距离空间21

3．数直线R上的点集27

4．距离空间中的点集32

5．连续映射36

14.2习题38

14.3 数直线R上的极限理论41

1．引言41

2．数直线R上的极限理论43

3．闭区间上连续函数四个性质定理的证明49

14.3习题53

14.4 距离空间的完备性 紧集与列紧集55

1．距离空间的可分性55

2．距离空间的完备性57

3．距离空间中集合的列紧与紧62

4．拓扑空间的概念66

14.4习题69

14.5 压缩映射原理70

14.5习题76

15．算子与泛函77

15.1 勒贝格积分大意77

1．引言77

2．勒贝格测度与勒贝格可测函数79

3．勒贝格积分大意93

15.1习题107

15.2 赋范线性空间110

1．线性空间111

2．赋范线性空间113

3．空间lp与Lp116

4．有限维赋范线性空间119

15.2习题123

15.3 内积空间124

1．内积空间与希尔伯特空间124

2．直交性与投影定理128

3．希尔伯特空间中的傅里叶级数131

15.3习题138

15.4 算子与泛函的概念139

1．算子与泛函的概念139

2．算子与泛函的例143

3．希尔伯特—施密特积分算子的全连续性148

4．线性算子空间150

15.4习题152

15.5 希尔伯特空间上的自伴算子154

1．希尔伯特空间上的自伴算子154

2．希尔伯特空间上自伴全连续算子的特征展开161

15.5习题167

16．变分法169

16.1 变分的基本概念169

16.2 固定边界的变分问题173

1．最简泛函的欧拉方程173

2．含多个函数的泛函179

3．含高阶导数的泛函181

4．含多元函数的泛函184

16.2习题188

16.3 可动边界变分问题的自然边界条件188

16.3习题193

16.4 泛函的条件极值问题193

1．短程线问题194

2．等周问题199

16.4习题202

16.5 变分问题的直接法203

1．里兹法203

2．坎托罗维奇法206

16.5习题208

16.6 变分原理209

16.6习题216

17．积分方程217

17.1 积分方程的基本概念217

17.1习题218

17.2 迭代法218

1．压缩算子218

2．第二种弗雷德霍姆方程219

3．第二种沃尔泰拉Volterra方程222

4．例题224

5．具有弱奇性核的积分方程225

17.2习题227

17.3 弗雷德霍姆理论228

1．有退化核的积分方程230

2．连续核与L2核的情形234

17.3习题237

17.4 弗雷德霍姆积分方程解的表达式237

1．退化核的情形237

2．连续核的情形238

3．例题239

17.4习题243

17.5 埃尔米特积分方程243

17.5习题255

18．群论256

18.1 群的概念256

1．群的定义256

2．群的简单性质258

3．群的例子260

4．循环群264

5．置换群265

18.1习题269

18.2 子群与陪集270

1．子群270

2．陪集272

18.2习题274

18.3 共轭类与不变子群274

1．共轭类275

2．不变子群277

3．商群279

18.3习题280

18.4 群的直积280

1．内部直积280

2．外部直积283

18.5 同构与同态284

1．同构284

2．同态287

18.5习题290

18.6 群的线性表示291

1．线性表示291

2．诱导变换群给出的表示293

18.7 等价表示与可约表示297

1．等价表示297

2．可约表示299

18.8 群表示的特征标302

18.9 群的正则表示305

1．群代数305

2．正则表示307

18.9习题308

18.10 局部李群309

1．局部李群的定义309

2．无穷小变换311

3．结构常数314

18.10习题315

19．张量与外代数316

19.1 对偶向量空间316

1．对偶向量空间的概念316

2．逆变向量与协变向量319

19.1习题320

19.2 张量321

1．张量的定义321

2．张量的分量322

3．对称张量与反对称张量325

19.2习题327

19.3 张量的代数运算328

1．张量的线性运算328

2．张量的乘积、缩短、积和329

3．张量的商定律331

4．指标置换、对称化、反对称化332

19.3 习题334

19.4 欧几里得向量空间335

1．欧几里得向量空间的概念335

2．张量的指标下降、上升337

19.4习题338

19.5 外代数338

1．外形式339

2．外乘积、外代数340

19.5习题342

20．微分流形概要343

20.1 微分流形的定义343

20.1习题347

20.2 切空间与余切空间348

1．切空间348

2．余切空间350

3．向量场与张量场351

20.2习题353

20.3 外微分354

1．外微分形式354

2．外微分354

20.3习题359

20.4 流形上的积分360

1．单位分解定理360

2．流形上的积分363

3．斯托克斯定理364

20.4习题369

20.5 黎曼流形的概念369

1．黎曼流形的定义369

2．黎曼流形的线素370

3．测地线371

20.5习题373

20.6 仿射联络 协变导数374

1．平行移动、仿射联络374

2．协变导数377

3．仿射联络系数的变换规律378

20.6习题380

20.7 黎曼联络380

1．度量仿射联络380

2．黎曼联络382

3．梯度、旋度与散度的表达式385

20.7习题387

20.8 曲率387

1．曲率张量与李西恒等式387

2．曲率张量的性质389

3．断面曲率392

4．常曲率空间393

20.8习题394