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大学数学教程第一册1

目录1

1．分析基础1

1.1实数集函数1

1．集合1

2．实数集2

3．数集的界与确界3

4．逻辑符号4

5．常用的等式与不等式6

6．映射函数数列8

1.1习题13

1.2极限的概念15

1．数列的极限15

2．函数的极限20

3．左极限右极限25

4．数列极限与函数极限的关系27

1.2习题29

1.3极限的性质和运算法则30

1．存在有限极限的函数之局部性质31

2．极限的四则运算34

3．无穷小量及其性质36

4．复合函数的极限37

1.3习题41

1.4极限的存在准则44

1．实数系的连续性44

2．确界定理单调有界定理45

3．两个重要极限48

1.4习题53

1.5连续54

1．连续与间断54

2．连续函数的局部性质与运算法则57

3．严格单调连续函数的反函数的连续性58

4．初等函数的连续性60

5．闭区间上连续函数的性质63

1.5习题68

1.6无穷小量的阶不定型的极限70

1．无穷小（大）量的比较70

2．无穷小量的阶73

3．不定型的极限76

1.6习题80

2．一元函数的微分学82

2.1导数与微分的概念82

1．引出导数的例子82

2．导数的概念83

3．微分的概念88

2.1习题90

1．导数与微分的四则运算91

2.2导数与微分的计算91

2．复合函数的导数93

3．反函数的导数96

4．导数基本公式98

2.2习题102

2.3高阶导数与高价微分103

1．高阶导数103

2．高阶微分106

2.3习题107

2.4微分中值定理108

1．两个引理108

2．中值定理110

2.4习题113

2.5罗必达法则114

1．求“？”型不定型极限的法则114

2．求“？”型不定型极限的法则117

3．求其他五种不定型极限118

2.5习题119

2.6泰勒公式120

1．泰勒公式120

2．基本初等函数的麦克劳林公式122

3．利用有限展开式求不定型极限125

2.6习题127

2.7利用导数研究函数的性质127

1．函数的增减性127

2．函数的极值129

3．最大值与最小值131

4．函数的凸性133

2.7习题136

2.8利用导数作函数的图形137

1．曲线的渐近线137

2．作函数的图形139

2.8习题143

2.9参数方程所确定的函数的导数144

1．平面曲线的参数方程144

2．参数方程所确定的函数的导数及作图例150

2.9习题153

2.10方程的近似解154

2.10习题*156。154

3．一元函数的积分学157

3.1定积分的概念可积函数157

1．引出定积分的两个例子157

2．定积分的定义159

3．函数的R可积性161

3.1习题166

3.2定积分的性质166

3.2习题171

2．变上限的积分172

3.3原函数与不定积分172

1．原函数172

3．不定积分174

4．牛顿-莱布尼兹公式175

5．基本积分公式175

3.3习题179

3.4换元积分法181

1．不定积分的凑微分法182

2．不定积分的变量变换法185

3．定积分的情况187

3.4习题189

3.5分部积分法杂例191

1．分部积分法191

2．杂例195

1．有理函数的积分199

3.6有理函数与三角函数有理式的积分199

3.5习题199

2．三角函数有理式的积分203

3.6习题207

3.7简单无理函数的积分及其他208

1．？dx型积分（ad－bc≠0）208

2．？dx型积分209

3．？dx型积分（b2－4ac≠0）209

4．其他211

3.7习题212

3.8定积分的近似计算213

1．梯形公式213

2．辛普生公式（抛物线公式）214

3.8习题216

3.9定积分在几何上的应用217

1．平面图形的面积217

2．已知横截面面积的立体体积221

3．平面曲线的弧长与弧微分224

4．旋转面的面积230

5．平面曲线的曲率233

3.9习题235

3.10定积分在物理上的应用236

1．质心坐标236

2．变力作功240

3．水压力242

3.10习题244

4．空间解析几何向量245

4.1向量直角坐标245

1．向量的概念245

2．向量的线性运算246

3．向量在数轴上的投影249

4．空间直角坐标系250

4.1习题256

4.2向量的数量积向量积混合积257

1．数量积257

2．向量积261

3．混合积265

4.2习题267

4.3平面268

1．平面方程268

2．特殊位置的平面方程270

3．点到平面的距离271

4．平面的相互位置272

4.3习题274

4.4直线275

1．直线的方程275

2．直线与平面的关系278

3．直线间的关系280

4．距离281

5．有轴平面束283

4.4习题285

4.5几种常见的曲面287

1．曲面、曲线的方程287

2．柱面方程290

3．旋转面292

4．锥面294

5．直角坐标变换常用二次曲面的图形296

4.5习题305

4.6向量函数与空间曲线的参数方程306

1．空间曲线的参数方程306

2．向量函数的导数307

3．向量函数导数的物理意义与几何意义310

4．空间曲线论的基本公式313

4.6习题319

5．矩阵行列式线性代数方程组320

5.1矩阵及其运称320

1．矩阵的概念320

2．矩阵的线性运算323

3．矩阵的乘法324

4．转置矩阵330

5.1习题332

5.2矩阵的分块333

5.2习题340

5.3逆阵与初等变换341

1．逆阵341

2．初等变换与初等阵344

3．矩阵可逆的充要条件351

4．用初等变换求逆阵352

5.3习题354

1．n阶行列式356

5.4行列式及其性质356

2行列式的性质362

5.4习题366

5.5行列式按行（列）展开368

1．行列式按一行（列）展开368

2．拉普拉斯展开定理375

5.5习题377

5.6用行列式求逆阵克莱姆法则380

1．用行列式求逆阵380

2．克莱姆法则382

5.6习题386

5.7向量组的线性无关387

1．n维向量387

2．线性相关与线性无关388

3．等价向量组393

4．向量组的极大无关组与秩396

5.7习题398

5.8矩阵的秩399

1．矩阵的行秩、列秩与秩399

2．秩的求法402

5.8习题408

5.9线性代数方程组409

1．高斯消元法409

2．线性代数方程组解的结构413

5.9习题421

6．多元函数的微分学424

6.1多元函数极限连继424

1．n维欧几里得空间424

2．Rn→Rm的映射428

3．多元函数的极限430

4．多元函数的连续性437

6.1习题439

6.2偏导数全微分441

1．偏导数441

2．全微分444

3．复合函数微分法449

4．曲面的切平面与法线452

6.2习题454

6.3高阶偏导数泰勒公式455

1．高阶偏导数455

2．高阶微分459

3．泰勒公式461

6.3习题464

6.4隐函数及其微分法464

1．由一个方程确定的隐函数464

2．由方程组所确定的隐函数（向量值隐函数）468

3．空间曲线的切线与法平面474

6.4习题476

6.5向量值函数的微分法函数的相关性477

1．向量值函数的微分法477

2．函数的相关性482

6.5习题484

6.6二元函数的极值484

1．二元函数的极值484

2．条件极值——拉格朗日乘数法489

3．最大值与最小值493

4．最小二乘法494

6.6习题498

6.7曲面的参数方程499

1．曲面的参数方程499

2．切平面502

3．曲面的第一、第二基本形式504

6.7习题507

习题答案509