《有限域》

第一章 代数的回顾1

1.1 群1

1.2 元素的阶2

1.3 循环群2

1.4 子群3

1.5 环4

1.6 理想5

1.7 极大理想5

1.8 商环5

1.10 域7

1.9 同态7

1.11 域的特征8

1.12 向量空间8

1.13 代数9

1.14 交换环上的多项式10

1.15 环Z上的分圆多项式10

1.16 特征为p的域K上的分圆多项式12

1.17 中国剩余定理12

习题13

第二章 有限域的基本性质16

2.1 Wedderburn定理16

2.3 有限域的乘法群19

2.2 Fermat小定理19

2.4 有限域的加法群21

2.5 具有相同元素个数的有限域的同构21

2.6 有限域的比较与存在性22

习题26

第三章 Galois理论观点下的有限域28

3.1 Galois扩张28

3.2 Galois扩张的基本性质29

3.3 迹函数与范函数32

3.4 广义迹多项式33

4.2 命题35

4.1 定义与命题35

第四章 有限域中恒等元的n次根35

4.3 命题36

第五章 有限域上的不可约多项式37

5.1 基本定理37

5.2 分圆多项式的不可约性43

5.3 多项式f（xp-x-b）的不可约性45

5.4 多项式f（xp+x）的不可约性46

5.5 扩域中的不可约性47

5.6 用不可约多项式构造新的不可约多项式48

5.7 二项式的不可约性50

5.8 不可约多项式为本原多项式的情况57

5.9 非明显复合的不可约多项式59

习题61

第六章 有限域上多项式的因式分解65

6.1 Berlekamp定理65

6.2 分圆多项式既约因子的次数68

6.3 xn-1的因式分解69

6.4 一个多项式为既约多项式幂的充要条件72

习题74

第七章 次正规多项式77

7.1 基本概念77

7.2 多项式xm-a的次正规性79

7.3 多项式f（xp r-ax）的次正规性及推论83

7.4 Fps上多项式f（xp 2r-axp r-bx）的既约性102

7.5 多项式f（？aixp？）当m≥3时的可约性106

7.6 有限域Fps上多项式f（？aixp？）的次正规性113

7.7 多项式f（(xpr-ax)m）当m｜pr-1时在Fps上的次正规性115

7.8 关于多项式f（xp2r-axpr-bx）在Fps的因式分解119

习题130

第八章 置换多项式133

8.1 简单的例子133

8.2 Dickson多项式134

8.3 Fp的Hermite定理及Fq的Dickson定理136

8.4 Fqr的q-置换多项式139

习题141

9.1 多项式互反律143

第九章 互反律143

9.2 Legendre-Gauss二次互反律146

习题152

第十章 有限域的特征标，Gauss和与Jacobi和154

10.1 Abel有限群的特征标154

10.2 有限域的加法和乘法特征标157

10.3 Gauss和159

10.4 两个特征标的Jacobi和162

10.5 n个特征标的Jacobi和164

习题168

11.1 基本定理170

第十一章 有限域上的方程，Weil估计170

11.2 定理174

习题175

第十二章 离散对数函数与离散指数函数177

12.1 离散对数函数177

12.2 离散指数函数179

习题181

第十三章 线性可分多项式183

13.1 定义183

13.2 命题（Carlitz）183

13.3 命题（Agou）184

习题186