《几何学通论》

第一章古代的几何学1

Ⅰ 几何学的发源1

Ⅱ希腊的几何学2

1 毕达哥拉斯学派3

2 诡辩学派3

3 初等几何作图三大难题4

4 柏拉图学派5

第二章欧氏几何学6

Ⅰ 亚力山大大学城6

Ⅱ欧几里德的贡献6

1 几何学要义的体系7

2 定义8

3 公理、公设和定理8

4 欧氏作图法8

Ⅲ 圆锥截线9

第三章非欧几何学13

Ⅰ 非欧几何学小史13

Ⅱ三种几何学公设的异同14

1 欧氏及罗氏的平行公设14

2 黎氏公设15

Ⅲ三种几何学的异同15

1 三种几何学中相同的定理16

2 三种几何学中不同的定理16

Ⅳ 三种几何学与真理的问题17

第四章解析几何学20

Ⅰ解析几何学的基本概念20

1 直线上的点与实数的对应20

2 平面上的点与实数组的对应21

3 直线与一次方程式22

4 圆的方程式25

5 初等几何学作图问题26

6 二次曲线31

Ⅱ坐标几何学32

1 无限远直线33

2 直线坐标34

3 二阶曲线36

Ⅲ虚元素38

1 虚点与虚线38

2 虚圆40

第五章射影几何学42

Ⅰ 射影几何学小史42

Ⅱ 对偶原理42

Ⅲ透视图形47

1 完全多点形与完全多线形47

2 透视中心和透视轴48

Ⅳ透视和射影51

1 点列和线束的透视关系51

2 射影53

Ⅴ 巴斯卡定理与布良雄定理56

Ⅵ 空间的射影59

Ⅶ 仿射几何学61

Ⅷ 画法几何学61

Ⅸ非欧几何学62

1 罗氏几何学62

2 黎氏几何学65

3 三种几何学的统一性67

第六章微分几何学69

Ⅰ 微分几何学的对象69

Ⅱ曲线的几何学69

1 平面上的曲线69

2 空间的曲线73

Ⅲ曲面的几何学74

1 曲面上的距离与角74

2 高斯曲率76

3 非欧几何学79

第七章几何学的基础81

Ⅰ 几何学的公理化81

Ⅱ公理系统82

1 结合公理82

2 次序公理83

3 叠合公理85

4 平行公理——欧氏公理87

5 连续公理——德得金公理87

6 公理的讨论87

Ⅲ 非欧几何学88

Ⅳ 有限几何学89

第八章几何学的分类90

Ⅰ 群论观点下的几何学90

Ⅱ刚体变换群90

1 移动90

2 转动92

3 刚体变换93

4 图形的不变性质94

5 空间的刚体变换群95

Ⅲ 仿射变换群95

Ⅳ 射影变换群96

Ⅴ 变换群97

第九章拓扑学(连续几何学)99

Ⅰ 拓扑学简述99

Ⅱ 一维拓扑学99

Ⅲ二维拓扑学101

1 约当曲线101

2 四色定理102

Ⅳ二维曲面的拓扑学104

1 三角形分割105

2 欧拉——庞卡莱数106

3 单面曲面110

4 二维闭曲面112

Ⅴ 拓扑学与微分几何学的联系114

Ⅵ 三维拓扑学115

Ⅶ 一对一的对应117

Ⅷ 一对一的连续变换群119

Ⅸ其他的问题119

1 空间的维数119

2 路径问题120

3 绳子问题120

4 定点问题120

第十章空时四元几何学122

Ⅰ 空时观点的发展122

Ⅱ古典的空时观点123

1 我国古代的空时观点123

2 伽利略的空时观点123

Ⅲ爱因斯坦的狭义相对论的空时观点124

1 光速不变实验导出时间相对性概念124

2 空时距离及尺缩、钟慢126

3 洛伦兹变换127

Ⅳ爱因斯坦的广义相对论的空时观点128

1 物质的存在对空时结构的影响128

2 变形空时结构中的物理效应130

Ⅴ 简短的小结132