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目录622

（下册）622

第四篇 现代数学和科学思潮评介622

第一章 现代数学的鸟瞰622

一、现代的“数学科学”623

二、纯粹数学与应用数学625

三、计算机科学、离散数学628

四、数学、物理理论的统一629

五、数学的统一631

第二章 模糊数学评介633

第一节 模糊数学的提出634

一、集合的特征函数、函数的图634

二、模糊集、程度函数635

三、观念和方法的重大变革637

第二节 基本内容、方法和应用638

一、模糊集的距离、模糊度（熵）638

二、分解定理及其方法论意义639

三、模糊数640

四、模糊点642

五、模糊函数和扩张原理643

六、乘积模糊集、模糊关系、模糊图、模糊矩阵644

七、模糊集的推广：L模糊集、高阶模糊集647

八、概率性、模糊性、可能性及其在认识论上的意义649

九、应用举例——“他山之石，可以攻玉”654

第二节 理论基础和哲学分析655

一、模糊性的客观性与主观性问题655

二、隶属度与落影空间657

三、模糊数学的基础问题659

第三章 非标准分析及其在认识论上的意义662

第二节 计算机发展概况663

第一节 非标准分析的提出与现状663

第二节 基本概念和方法665

一、数学结构和形式语言665

二、紧致性定理、分析的非标准模型＊R667

三、＊R的单子结构669

四、＊R中数的种类，单子显微镜670

五、关于？＝1672

六、微分、连续、积分673

七、微分三角形；（sinθ）′＝cosθ之证明674

第三节 应用和意义676

一、δ——函数与无穷小分析676

二、在数学物理中的若干应用677

三、非标准实数域的一个实现680

四、非标准数学的方法论意义682

附：微积分与辩证法——试论非标准分析和《数学手稿》的关系及其在认识论上的启发684

一、无穷小的演变685

二、《数学手稿》、标准分析、非标准分析的关系688

三、数学的量子化——＊R的单子结构691

四、非标准数学理论在方法论上的启发695

第四章 突变理论707

第一节 系统稳定性与拉普拉斯决定论708

第二节 突变模型的分类710

一、折叠曲面和吸引子710

二、芽空间与稳定奇点711

三、分类定理713

第三节 应用714

第四节 突变理论的数学基础716

第五节 突变理论与量变和质变721

一、连续和离散721

二、质变的方式723

三、决定质变方式的条件与“矫枉过正”724

第五章 泛系理论评介727

第一节 泛系理论的前身——逼进转化论729

第二节 泛系理论的基本概念、形成和进展730

第三节 泛系理论与数学的关系733

第四节 泛系理论与泛系科学观的应用——电磁介质动力学、强度理论和场论736

三、泛系方法论与哲学741

第五节 开发运筹的泛系十法742

第六节 泛系方法论的现代背景与传统渊源746

二、“四古源”747

第七节 认识论、方法论诸范畴数学化问题752

一、辩证逻辑与形式化752

二、异同观——等价与半等价类755

三、否定之否定——泛系重演律、泛系全息律757

四、对立统一——科学的起点、过程和现实758

第六章 悖论及其科学意义762

第一节 悖论的意义、起源和现状762

第二节 常见的一些悖论765

一、布拉利—福尔蒂悖论766

二、康托尔最大基数（势）悖论766

三、罗素悖论767

四、理查德悖论767

五、格雷林悖论767

六、说谎者悖论768

七、理发师悖论与理发师定理770

八、斯各伦悖论772

九、贡塞斯悖论773

十、基础集合悖论775

十一、选举悖论777

十二、“独裁者”悖论778

十三、对角线悖论781

十四、“整体性悖论”与现代系统论782

十五、其他悖论783

第三节 悖论与数学、物理的发展787

一、悖论与数学“危机”787

二、科学革命与悖论，热情与追求789

三、“悖论逃逸”与物理学革命792

一、现代科学背景796

四、“互补原理”、“概念重建”及爱因斯坦—波尔的科学论战的意义796

第四节 “白痴的问题”——宇宙论及其佯谬804

一、牛顿理论与无限宇宙模型的矛盾——宇宙学佯谬804

二、热力学佯谬与耗散理论807

三、静态有限无边的宇宙模型814

四、宇宙膨胀与爱因斯坦“一生中最大的错事”814

五、哈勃宇宙与大爆炸理论及其认识论、方法论意义815

六、大数假说、人择原理——数和宇宙的和谐819

第五节 悖论性质的探求825

一、悖论的分类及其关系825

二、悖论的性质、成因826

第六节 出路何在？831

一、罗素的分支类型论831

一、历史上的计算器833

二、塔尔斯基的语言层次834

四、“逻辑悖论”与“悖论逻辑”841

五、悖论与禅宗844

第七章 哥德尔理论846

一、形式算术系统（TNT系统）847

第一节 基本内容和方法847

二、哥德尔不完全性定理849

三、递归种种和哥德尔理论850

四、哥德尔数、系统的自我相关、自我认识856

第二节 最大的缺感，最高的光荣859

一、现实、思维、符号与同构859

二、康托尔对角线方法与无法弥补的漏洞860

三、自我复制、自我超脱864

一、思维层次的缠绕——无限的循环866

第三节 “绝对的追求”866

二、整体与个体——思维过程中的无穷摆动868

三、逻辑学史上的两座丰碑869

第八章 人工智能与思维科学871

第一节 人·机器·计算873

一、从“动物是机器”到控制论873

二、从“人是机器”到“机器是人”875

三、公理集合论、ZFC系统876

三、图灵机与可计算性879

二、电子计算机的出现和发展884

三、计算机科学的出现886

第三节 大脑、机器和智能888

一、智能的图灵准则888

二、思维层次与机器的语言层次891

三、脑模型种种892

第四节 “人——机对话”与数理语言学896

一、语言学与计算机896

二、数理语言学发展的几个阶段897

三、“人——机对话”及其发展899

四、下棋机器人——计算与启发901

五、计算和算法中的随机性、自我相关性903

第五节 四色问题与机器证明906

一、简单而困难的问题906

二、可约构形和不可避免组907

三、“放电过程”与计算机的使用909

四、阿佩尔、黑肯的突破910

五、机器证明四色问题的意义911

六、裂缝定理与例证法——洪加威理论912

第六节 智能机和思维科学914

一、日本的“计算机武士”们的挑战914

二、非诺依曼结构与数据流方法916

三、专家系统与知识工程917

四、计算理论、拓扑性质与形象思维921

五、思维科学和智能革命924

附录：数学教育的美育价值927

一、科学、艺术与美学927

二、数学、音乐和美学930

三、数学的美育价值，数学审美能力的培养933

外国数学家译名对照表942

主要参考书目959

后记964