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第1章极限与连续1

1.1 微积分的起源1

1.2 数列的极限5

1.3 连续函数与函数的极限16

1.4极限的严格定义30

1.4.1 极限的定义30

1.4.2 用极限定义作证明35

1.5 连续函数的性质40

1.6自然指数与自然对数45

1.6.1 自然指数45

1.6.2 自然对数48

1.6.3 利用e的定义解极限49

1.6.4 e之趣谈52

1.7等价无穷小代换56

1.7.1 动机介绍56

1.7.2 无穷小的分阶57

1.7.3 等价无穷小代换58

1.8渐近线63

1.8.1 水平渐近线64

1.8.2 铅直渐近线66

1.8.3 斜渐近线67

第2章微分学73

2.1 导数的定义73

2.2 导数的性质与幂函数的导函数80

2.3 三角函数与指对数函数的导函数91

2.4 高阶导数96

2.5 链式法则99

2.6 单侧导数103

2.7 隐函数的求导111

2.8 反函数的求导117

2.9 取对数求导法122

2.10 参数式求导125

2.11 微分131

第3章微分学的应用135

3.1 切线与法线135

3.2 变率问题140

3.3函数的单调性与凹凸性143

3.3.1 函数的单调性143

3.3.2 函数的凹凸性147

3.4极值问题153

3.4.1 一阶检定法155

3.4.2 二阶检定法157

3.5 绘制函数图形160

3.6 微分中值定理165

3.7洛必达法则170

3.7.1 洛必达法则的使用介绍170

3.7.2 洛必达法则的误用探讨176

第4章积分学181

4.1 积分的定义181

4.2 积分的基本性质191

4.3微积分基本定理196

4.3.1 微积分基本定理第一部分196

4.3.2 微积分基本定理第二部分200

4.4 不定积分202

4.5 曲线间所围面积206

第5章积分技巧211

5.1 分部积分211

5.2变量代换217

5.2.1 第一换元法217

5.2.2 第二换元法223

5.3 三角代换225

5.4 有理函数的积分：部分分式法232

5.5三角函数的积分243

5.5.1 三角函数的幂次243

5.5.2 含有sin（x）及cos（x）的有理式252

5.5.3 巧妙的换元254

5.6反常积分256

5.6.1 第一类反常积分（积分范围无界）256

5.6.2 第二类反常积分（函数无界）259

5.6.3 反常积分的敛散性261

5.7 积分技巧杂谈265

第6章积分学的应用276

6.1 曲线弧长276

6.2 求体积283

6.3旋转体体积287

6.3.1 圆盘法287

6.3.2 剥壳法291

6.4 旋转体的表面积295

第7章特殊函数299

7.1双曲函数299

7.1.1 双曲函数的定义299

7.1.2 双曲函数的基本公式302

7.1.3 双曲函数的导函数306

7.1.4 反双曲函数306

7.1.5 反双曲函数的导函数308

7.1.6 双曲函数在大一微积分中的应用309

7.2 伽马函数310

第8章无穷级数313

8.1 无穷级数的收敛与发散313

8.2 积分审敛法321

8.3 比较审敛法326

8.4 比值审敛法与根值审敛法331

8.5 交错级数审敛法335

8.6 条件收敛与绝对收敛341

8.7 幂级数349

第9章泰勒展开356

9.1泰勒展开：多项式逼近函数356

9.1.1 泰勒展开式356

9.1.2 间接展开法360

9.2 多项式逼近的应用368

9.3 泰勒定理与余项373

9.4 幂级数的和函数381

第10章极坐标390

10.1 极坐标简介390

10.2 极坐标中的常见曲线399

10.3 极坐标求面积402

10.4 极坐标求弧长409

第11章多元函数的微分学413

11.1 多元函数简介413

11.2 多元函数的极限416

11.3 偏导数422

11.4全微分429

11.4.1 通俗不严谨的讨论429

11.4.2 理论探讨431

11.5 多元函数的链式法则434

11.6 多元函数的隐函数求导439

11.7梯度、方向导数与切平面443

11.7.1 梯度的定义443

11.7.2 方向导数443

11.7.3 切平面449

11.8 多元函数的极值问题450

11.9 条件极值：拉格朗日乘数法456

第12章重积分466

12.1 二重积分466

12.2 三重积分480

12.3 重积分的换元法488

12.4 极坐标代换499

12.5 圆柱坐标代换504

12.6 球坐标代换508