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第1章笛卡儿坐标系1

1.1一维数学1

1.2二维笛卡儿空间4

1.2.1示例：假设的Cartesia城市5

1.2.2任意二维坐标空间6

1.2.3使用笛卡儿坐标指定二维中的位置10

1.3三维笛卡儿空间11

1.3.1新增维度和轴12

1.3.2在三维中指定位置13

1.3.3左手与右手坐标空间13

1.3.4本书中使用的一些重要约定16

1.4一些零散的基础知识介绍17

1.4.1求和与求积的表示法17

1.4.2区间符号18

1.4.3角度、度数和弧度19

1.4.4三角函数20

1.4.5三角函数的恒等式23

1.5练习25

第2章矢量29

2.1向量和其他无聊东西的数学定义29

2.2矢量的几何定义32

2.3使用笛卡儿坐标指定矢量33

2.3.1作为位移序列的矢量34

2.3.2零矢量35

2.4矢量与点36

2.4.1相对位置36

2.4.2点与矢量之间的关系37

2.4.3一切都是相对的38

2.5负矢量40

2.5.1正式线性代数规则40

2.5.2几何解释41

2.6标量和矢量的乘法42

2.6.1正式线性代数规则42

2.6.2几何解释43

2.7矢量的加法和减法43

2.7.1正式线性代数规则44

2.7.2几何解释45

2.7.3从一点到另一点的位移矢量47

2.8矢量大小47

2.8.1正式线性代数规则47

2.8.2几何解释48

2.9单位矢量49

2.9.1正式线性代数规则50

2.9.2几何解释50

2.10距离公式51

2.11矢量点积52

2.11.1正式线性代数规则52

2.11.2几何解释53

2.12矢量叉积60

2.12.1正式线性代数规则60

2.12.2几何解释61

2.13线性代数恒等式63

2.14练习64

第3章多个坐标空间71

3.1为什么需要多个坐标空间？71

3.2一些有用的坐标空间73

3.2.1世界空间73

3.2.2对象空间74

3.2.3相机空间75

3.2.4直立空间75

3.3基矢量和坐标空间转换77

3.3.1双重视角78

3.3.2指定坐标空间85

3.3.3基矢量86

3.4嵌套坐标空间93

3.5针对直立空间的再解释94

3.6练习95

第4章矩阵简介99

4.1矩阵的数学定义99

4.1.1矩阵维度和表示法100

4.1.2方形矩阵100

4.1.3作为矩阵的矢量101

4.1.4矩阵转置102

4.1.5矩阵与标量相乘103

4.1.6两个矩阵相乘103

4.1.7矢量和矩阵相乘106

4.1.8行与列矢量108

4.2矩阵的几何解释109

4.3线性代数的宏大图景113

4.4练习115

第5章矩阵和线性变换121

5.1旋转122

5.1.1在二维中的旋转122

5.1.2围绕主轴的三维旋转122

5.1.3围绕任意轴的三维旋转124

5.2缩放126

5.2.1沿主轴缩放127

5.2.2任意方向的缩放128

5.3正交投影130

5.3.1投影到主轴或主平面上131

5.3.2投影到任意线或平面上132

5.4反射133

5.5错切134

5.6组合变换135

5.7变换的分类136

5.7.1线性变换137

5.7.2仿射变换138

5.7.3可逆变换138

5.7.4保持角度的变换139

5.7.5正交变换139

5.7.6刚体变换140

5.7.7变换类型总结140

5.8练习141

第6章矩阵详解143

6.1矩阵的行列式143

6.1.1关于2×2和3×3矩阵的行列式143

6.1.2子矩阵行列式和余子式145

6.1.3任意n×n矩阵的行列式146

6.1.4行列式的几何解释149

6.2逆矩阵149

6.2.1经典伴随矩阵150

6.2.2逆矩阵——正式线性代数规则151

6.2.3逆矩阵——几何解释152

6.3正交矩阵152

6.3.1正交矩阵——正式线性代数规则153

6.3.2正交矩阵——几何解释153

6.3.3矩阵的正交化155

6.4关于4×4齐次矩阵157

6.4.1关于四维齐次空间157

6.4.2关于4×4平移矩阵158

6.4.3一般仿射变换161

6.5关于4×4矩阵和透视投影162

6.5.1针孔相机164

6.5.2透视投影矩阵167

6.6练习168

第7章极坐标系171

7.1关于二维极坐标空间171

7.1.1使用二维极坐标定位点171

7.1.2别名174

7.1.3关于二维中笛卡儿坐标和极坐标之间的变换177

7.2为什么有人会使用极坐标？180

7.3关于三维极坐标空间182

7.3.1圆柱坐标182

7.3.2球面坐标183

7.3.3在三维虚拟世界中有用的一些极坐标约定184

7.3.4球面坐标的别名186

7.3.5球面坐标和笛卡儿坐标之间的转换189

7.4使用极坐标指定矢量192

7.5练习193

第8章三维旋转197

8.1“定向”含义探微197

8.2矩阵形式199

8.2.1矩阵的选择199

8.2.2方向余弦矩阵202

8.2.3矩阵形式的优点203

8.2.4矩阵形式的缺点204

8.2.5矩阵形式小结205

8.3欧拉角206

8.3.1欧拉角约定206

8.3.2其他欧拉角约定208

8.3.3欧拉角的优点212

8.3.4欧拉角的缺点213

8.3.5欧拉角小结217

8.4轴-角和指数映射表示方式218

8.5四元数220

8.5.1四元数表示法221

8.5.2这四个数字的意思222

8.5.3四元数变负222

8.5.4单位四元数223

8.5.5四元数的大小223

8.5.6四元数的共轭和逆224

8.5.7四元数乘法225

8.5.8四元数的“差”228

8.5.9四元数点积228

8.5.10四元数的对数、指数和标量乘法229

8.5.11四元数指数230

8.5.12四元数插值232

8.5.13四元数的优缺点236

8.5.14作为复数的四元数237

8.5.15四元数概要244

8.6方法比较245

8.7表示方式之间的转换247

8.7.1将欧拉角转换为矩阵247

8.7.2将矩阵转换为欧拉角250

8.7.3将四元数转换为矩阵253

8.7.4将矩阵转换为四元数255

8.7.5将欧拉角转换为四元数259

8.7.6将四元数转换为欧拉角260

8.8练习262

第9章几何图元267

9.1表示技术267

9.2直线和光线269

9.2.1光线270

9.2.2直线的特殊二维表示271

9.2.3表示方式之间的转换274

9.3球体和圆形275

9.4包围盒276

9.4.1关于AABB的表示方式277

9.4.2计算AABB278

9.4.3关于AABB与包围球279

9.4.4变换AABB280

9.5平面283

9.5.1平面方程：平面的隐式定义284

9.5.2使用3个点定义一个平面285

9.5.3超过3个点的“最佳拟合”平面286

9.5.4点到平面的距离288

9.6三角形289

9.6.1表示法290

9.6.2三角形的面积291

9.6.3重心空间293

9.6.4计算重心坐标296

9.6.5特殊点302

9.7多边形304

9.7.1简单多边形和复杂多边形304

9.7.2凸多边形和凹多边形306

9.7.3三角剖分和扇形分割310

9.8练习311

第10章三维图形的数学主题313

10.1图形工作原理314

10.1.1两种主要的渲染方法315

10.1.2描述表面特性：BRDF320

10.1.3颜色和辐射度测量简介322

10.1.4渲染方程327

10.2关于三维视图330

10.2.1指定输出窗口330

10.2.2像素宽高比331

10.2.3视锥体332

10.2.4视野和缩放333

10.2.5正交投影336

10.3坐标空间337

10.3.1模型、世界和相机空间337

10.3.2裁剪空间和裁剪矩阵338

10.3.3裁剪矩阵：准备投影339

10.3.4裁剪矩阵：应用缩放并准备裁剪342

10.3.5屏幕空间345

10.3.6坐标空间概述346

10.4多边形网格348

10.4.1索引三角网格350

10.4.2表面法线353

10.5纹理映射360

10.6标准局部照明模型363

10.6.1标准照明公式：概述363

10.6.2镜面反射分量364

10.6.3漫反射分量369

10.6.4环境光和发光分量371

10.6.5照明方程：综合考虑各分量372

10.6.6标准模型的局限性374

10.6.7平面着色和Gouraud着色375

10.7光源378

10.7.1标准抽象光类型378

10.7.2光衰减381

10.7.3关于Doom风格体积光383

10.7.4预先计算的照明386

10.8骷髅动画387

10.9凹凸映射394

10.9.1切线空间396

10.9.2计算切线空间基矢量397

10.10实时图形管道401

10.10.1缓冲区408

10.10.2传递几何体409

10.10.3顶点级别的操作413

10.10.4裁剪414

10.10.5背面剔除417

10.10.6光栅化、着色和输出418

10.11一些HLSL示例420

10.11.1贴花着色和HLSL基础知识420

10.11.2基础的每个像素Blinn-Phong照明422

10.11.3使用Gouraud着色算法431

10.11.4凹凸映射436

10.11.5蒙皮网格439

10.12深入阅读建议443

10.13练习444

第11章力学1：线性运动学和微积分449

11.1概述449

11.1.1忽略的东西449

11.1.2关于宇宙的一些有用的谎言450

11.2基本数量和单位452

11.3平均速度455

11.4瞬时速度和导数458

11.4.1极限参数和导数的定义459

11.4.2导数示例463

11.4.3通过定义计算导数465

11.4.4导数的表示法469

11.4.5一些求导法则和快捷方式471

11.4.6泰勒级数的一些特殊函数的导数474

11.4.7链式法则476

11.5加速度478

11.6恒定加速度下的运动480

11.7积分493

11.7.1积分的例子495

11.7.2导数与积分之间的关系497

11.7.3微积分小结501

11.8匀速圆周运动502

11.8.1平面内的匀速圆周运动503

11.8.2三维中的匀速圆周运动507

11.9练习509

第12章力学2：线性和旋转动力学513

12.1牛顿的3个基本定律513

12.1.1牛顿的前两个定律：力与质量514

12.1.2惯性参考系517

12.1.3牛顿第三定律518

12.2一些简单的力定律521

12.2.1重力521

12.2.2摩擦力524

12.2.3弹簧力528

12.3动量536

12.3.1动量守恒539

12.3.2质心540

12.4冲击力和碰撞543

12.4.1完全非弹性碰撞545

12.4.2一般碰撞响应547

12.4.3关于Dirac Delta554

12.5旋转动力学555

12.5.1旋转运动学556

12.5.2关于二维旋转动力学558

12.5.3关于三维旋转动力学565

12.5.4与旋转的碰撞响应568

12.6实时刚体模拟器570

12.6.1物理引擎状态变量571

12.6.2高级概述576

12.6.3欧拉积分581

12.6.4旋转的积分584

12.7深入阅读建议586

12.8练习588

第13章三维曲线591

13.1参数多项式曲线591

13.1.1参数曲线592

13.1.2多项式曲线592

13.1.3矩阵表示法594

13.1.4两种简单的曲线595

13.1.5单项式端点595

13.1.6速度和切线596

13.2多项式插值598

13.2.1艾特肯的算法600

13.2.2拉格朗日基多项式603

13.2.3多项式插值汇总607

13.3埃尔米特曲线608

13.4贝塞尔曲线613

13.4.1关于de Casteljau算法614

13.4.2伯恩斯坦基多项式619

13.4.3贝塞尔导数及其与埃尔米特形式的关系624

13.5细分627

13.5.1细分单项式曲线628

13.5.2细分贝塞尔曲线629

13.6样条曲线631

13.6.1游戏规则633

13.6.2节点634

13.7埃尔米特和贝塞尔样条曲线635

13.8连续性638

13.8.1参数连续性639

13.8.2几何连续性641

13.8.3曲线平滑度642

13.9自动切线控制642

13.9.1Catmull-Rom样条643

13.9.2 TCB样条645

13.9.3端点条件649

13.10练习650

第14章后记653

14.1接下来做什么653

14.2练习653

附录A几何测试655

A.1在二维隐式直线上的最近点655

A.2参数化光线上的最近点656

A.3平面上的最近点657

A.4圆或球体上的最近点657

A.5轴向对齐的包围盒中的最近点658

A.6相交测试659

A.7在二维中两条隐式直线的交点659

A.8在三维中两条光线的交点660

A.9光线和平面的交点662

A.10轴向对齐的包围盒与平面的交点663

A.11 3个平面的交点664

A.12光线与圆或球体的交点665

A.13两个圆或球的交点667

A.14球体与轴向对齐的包围盒的交点669

A.15 球体与平面的交点669

A.16光线与三角形的交点671

A.17两个AABB的交点676

A.18光线与AABB的交点679

附录B练习答案683

B.1第1章683

B.2第2章684

B.3第3章696

B.4第4章697

B.5第5章701

B.6第6章703

B.7第7章705

B.8第8章710

B.9第9章712

B.10第10章717

B.11第11章719

B.12第12章722

B.13第13章729

参考文献737