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第一章γ－函数1

1-1．γ函数的定义1

1-2．？（z）所满足的函数方程2

1-3．用γ函数表示的某些无穷乘积的表达式5

1-4．与γ函数有关的某些无穷和7

1-5．β函数8

1-5-1．可以β函数来表示的定积分9

1-6．表示为围线积分的γ及β函数13

1-7．ψ函数15

1-7-1．ψ（z）的函数方程16

1-7-2．ψ（z）的积分表示式17

1-7-3．高斯定理19

1-7-4．与ψ函数有关的一些无穷级数20

1-8．函数G（z）21

1-9．函数？n？（z）的表达式22

1-9-1．？n？（z）的康曼尔级数24

1-10．广义ζ函数26

1-11．函数Ф（z,s,v）＝？（v+n）-sZn29

1-11-1．欧拉重对数33

1-12．黎曼的ζ函数33

1-13．柏努利数与柏努利多项式38

1-13-1．高阶柏努利多项式41

1-14．欧拉数及欧拉多项式43

1-14-1．高阶欧拉多项式45

1-15．某些与柏努利及欧拉多项式有关的积分公式46

1-16．高γ函数47

1-17．？n？（？＋z），ψ（？＋z），G（？＋z）及？（z）的几个展开式48

1-18．渐近展开式50

1-19．米林－巴尼斯积分52

1-20．几个三角函数的幂级数54

1-21．几种另外的记法及符号55

参考文献57

第二章超比函数59

第一部分：理论部分59

2-1．超比级数59

2-1-1．超比方程59

2-1-2．基本关系60

2-1-3．基本积分表示式62

2-1-4．超比级数的解析开拓66

2-1-5．二次及三次变换68

2-2．超比方程的退化情形72

2-2-1．一个特殊解72

2-1-6．F（a,b;c;z）作为参数的函数72

2-2-2．退化情形下的全解74

2-3．一般情形下的全解和渐近展开式76

2-3-1．非退化情形下超比方程的线性独立解76

2-3-2．渐近展开式78

2-4．表示超比级数或包含超比级数的积分80

2-5．各种结果84

2-5-1．母函数84

2-5-2．超比级数的积85

2-5-3．包含二项式系数及不完全β－函数的关系式88

2-5-4．连分式90

2-5-5．超比函数的特殊情形91

2-6．黎曼方程92

2-6-1．化为超比方程92

2-6-2．二次及三次变换95

2-7．保形表示95

2-7-1．超比方程的群95

2-7-2．许瓦兹函数98

2-7-3．均匀化101

第二部分：公式部分102

2-8．超比级数102

2-7-4．零点102

2-9．康曼尔级数及其相互间的关系110

2-10．解析开拓110

2-11．二次及高次变换113

2-12．积分式116

参考文献118

第三章勒上特函数121

3-1．引言121

3-2．勒上特微分方程的解122

3-3-1．勒上特函数之间的关系134

3-3-2．与超比级数的其他一些关系135

3-4．在剖割上的勒上特函数137

3-5．P？（cosθ）及Q？（cosθ）的三角展开式140

3-6-1．μ及v的特殊值142

3-6-2．勒上特多项式145

3-7．积分表示式149

3-8．邻接勒上特函数间的关系155

3-9-1．渐近展开式157

3-9-2．勒上特函数邻近奇点的性态158

3-10．以勒上特函数表示的展开式160

3-11．加法定理163

3-12．包含勒上特函数的积分式164

3-13．环函数或圆环函数168

3-14．圆锥函数169

3-15．盖根堡函数171

3-15-1．盖根堡多项式171

3-15-2．盖根堡函数174

3-16．其他的一些记法175

参考文献176

第四章广义超比级数179

4-1．引言179

4-2．微分方程180

4-3．恒等关系及递推关系182

4-4．自变量等于1、p=q+1情形下的广义超比级数185

4-5．自变量值不等于1的？＋1F？的变换187

4-6．积分189

4-7．各种特殊结果189

4-8．基础超比级数192

参考文献195

第五章超比级数的进一步推广198

5-1．各种推广198

麦克罗勃特E－函数199

5-2．E－函数的定义199

5-2-2．积分式201

5-2-1．递推关系201

5-3．G－函数的定义202

梅杰G－函数202

5-3-1．简单的恒等式205

5-4．微分方程206

5-4-1．渐近展开式207

5-5．级数和积分208

5-5-1．G－函数的级数209

5-5-2．具有G－函数的积分式210

5-6．G－函数的特殊情形211

5-7．函变量的超比级数218

多变量超比函数218

5-7-1．贺恩公式表219

5-7-2．级数的收敛性222

5-8．积分表示式224

5-8-1．欧拉型重积分225

5-8-2．欧拉型单积分226

5-8-3．米林－巴尼斯型重积分227

5-9．偏微方程组227

5-9-1．印斯的研究232

参数特殊值下的可约性233

5-10．简约公式233

变量特殊值下的可约性234

5-11．交换234

解析开拓236

5-12．符号形式及展开式238

5-13．特殊情形239

5-14．其他级数240

参考文献240

第六章合流超比函数243

6-1．定向243

6-2．微分方程244

6-3．合流方程在接近原点处的通解247

6-4．Ф－函数的初等关系249

6-5．基础积分表示式250

6-6．Ψ－函数的基本关系252

6-7．合流方程的基本解组253

6-7-1．对数情形255

6-8．Ψ－函数的其他性质257

6-9．魏塔克耳函数259

6-9-1．贝塞尔函数260

6-9-2．其他特殊的合流超比函数261

6-10．拉普拉斯变换及合流超比函数264

6-11-1．Ф－函数266

6-11．积分表示式266

6-11-2．Ψ－函数268

6-14．乘法定理268

6-11-3．魏塔克耳函数270

6-12．以拉甘尔多项式及贝塞尔函数表示的展开式270

6-13．渐近性态273

6-13-1．大丨x丨的性态273

6-13-2．大的参数274

6-13-3．变数及参数均大的情形276

6-15-1．级数279

6-15．级数及积分公式279

6-15-2．积分280

6-15-3．合流超比函数的积282

6-16．实数a,c的实零点285

6-17．a,c,x为实数时的摹给性质287

参考文献289

索引293

记法表298

人名对照表（1）300

人各对照表（2）303