《高级超越函数》

前言1

第十四章 自守函数1

14-1. 间断群和对应变换1

14-1-1. 对应变换1

14-1-2. 不变点，变换的分类3

14-1-3. 间断群5

14-1-4. 基本区域5

14-2. 自守函数的定义8

14-3. 二十面体群9

14-4. 抛物代换12

14-5. 具有二个不变点的无限循环群14

14-6. 椭圆模函数16

14-6-1. 模群16

14-6-2. 模函数J(z)17

14-6-3. 模群的子群21

14-6-4. 模方程25

14-6-5. 在数论上的应用25

14-7. 自守函数的一般理论26

14-7-1. 群的分类26

14-7-2. 自守函数的一般定理27

14-8. 自守函数的存在与构作29

14-8-1. 一般说明29

14-8-2. 黎曼曲面29

14-8-3. 自同构型。普英卡亚θ级数30

14-9. 单值化33

14-10. 特殊自守函数34

14-10-1. 黎曼-许瓦兹三角形函数34

14-10-2. 贝沙特自守函数35

14-11. 希耳伯模群36

14-12. 西格耳函数37

参考文献41

第十五章 拉美函数45

15-1. 引言45

15-1-1. 共焦二次曲面坐标45

15-1-2. 共焦锥面坐标49

15-1-3. 回转共焦四次圆纹曲面坐标51

15-2. 拉美方程56

15-3. 熊氏方程59

15-4. 一般拉美方程的解63

15-5. 拉美函数64

15-5-1. 实周期的拉美函数65

15-5-2. 虚周期的拉美函数。变换公式71

15-5-3. 拉美函数的积分方程73

15-5-4. 退化情形76

15-6. 拉美--黄格林函数77

15-7. 椭球与球锥调和函数82

15-8. 回转四次圆纹曲面的连带调和函数86

参考文献89

第十六章 马蒂安函数球体及椭球波函数91

16-1. 引言91

16-1-1. 椭圆柱坐标91

16-1-2. 长球面坐标93

16-1-3. 扁球面坐标95

16-1-4. 椭球坐标96

马蒂安函数97

16-2. 一般马蒂安方程及其解97

16-3. 一般马蒂安方程解的近似式，积分关系式及积分方程105

16-4. 周期马蒂安函数110

16-5. 马蒂安函数的展开式及第二类函数115

16-6. 修正马蒂安函数119

16-7. 近似式和渐近形式124

16-8. 级数，积分式，展开问题127

球体波函数134

16-9. 球体波函数的微分方程及其解134

16-10. 其他展开式。近似式，积分关系141

16-11. 球体波函数145

16-12. 球体波函数的近似式及渐近形式151

16-13. 包含球体波函数的级数与积分156

椭球波函数159

16-14. 拉美波动方程159

参考文献164

第十七章 数论函数导引166

绪论166

17-1 由黎曼ζ-函数生成的数论初等函数166

17-1-1. 记法及定义166

17-1-2. 显表达式与母函数168

17-1-3. 关系及性质170

17-2. 分拆(Partition)174

17-2-1. 记法和定义174

17-2-2. 分拆和母函数175

17-2-3. 同余性质178

17-2-4. 渐近公式及有关问题179

17-3. 平方和表示式180

17-3-1. 定义与记法180

17-3-2. rk(n)的公式182

17-4. 雷门尼强函数184

17-5. 勃上特-雅可比符号186

17-6. 三角和及有关问题187

17-7. 黎曼ζ-函数与质数的分布189

17-8. 特征与L-级数193

17-9. 爱泼司丁ζ-函数195

17-10. 格点197

17-11. 贝塞尔函数恒等式198

参考文献200

第十八章 各种函数206

18-1. 米塔格-李弗勒函数Ea(z)及有关函数206

18-2. n阶三角函数与双曲线函数212

18-3. 函数v(x)及有关函数216

参考文献222

第十九章 母函数225

第一部分：概论225

19-1. 引言225

19-2. 母函数应用范例226

19-3. 一般定理232

19-4. 符号关系237

19-5. 渐近表示式240

第二部分：公式241

19-6. 有理函数与代数函数。一般羃242

19-7. 指数函数245

19-8. 对数函数，三角函数，反三角函数，其他初等函数及其积分254

19-9. 贝塞尔函数，合流超比函数(包括其特殊情形如抛物柱函数等)257

19-10. γ-函数，勒上特函数及高斯超比函数，广义超比函数259

19-11. 多变数生成函数263

某些多变量母函数265

19-12. 与正交多项式有关的若干母函数266

19-13. 某些连续正交系的母函数270

参考文献274

索引278

记法表286

人名对照表(1)289

人名对照表(2)292