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第七章贝塞尔函数1

第一部分：理论部分1

7-1．引言1

7-2．贝塞尔微分方程4

7-2-1．一般阶的贝塞尔函数4

7-2-2．一般阶的修正贝塞尔函数5

7-2-3．开尔芬函数及有关函数6

7-2-4．整数阶的贝塞尔函数7

7-2-6．球面贝塞尔函数10

7-2-5．整数阶的修正贝塞尔函数10

7-2-7．贝塞尔函数的积12

7-2-8．各种结果12

7-3．积分表示式15

7-3-1．贝塞尔系数15

7-3-2．泊松型的积分表示式16

7-3-3．回线积分表示式16

7-3-4．许拉弗里，古勃勒，沙湼及有关积分表示式19

7-3-5．松牟费尔特积分式21

7-3-6．巴尼斯积分式24

7-3-7．爱里积分式25

7-4-1．大的变数26

7-4．渐近展开式26

7-4-2．大的阶27

7-4-3．过渡域32

7-4-4．均匀渐近展开式微分方程法34

7-5．有关函数36

7-5-1．纽孟多项式及有关多项式36

7-5-2．隆美耳多项式38

7-5-3．恩乔－韦勃函数40

7-5-4．斯特拉夫函数42

7-5-5．隆美耳函数45

7-6．加法定理48

7-5-6．几种别的记法及有关函数48

7-6-1．盖根堡加法定理49

7-6-2．格喇夫加法定理49

7-7．积分公式51

7-7-1．不定积分51

7-7-2．定积分51

7-7-3．具有指数函数的无穷积分55

7-7-4．韦勃及谢希特林的间断积分58

7-7-5．沙湼及盖根堡积分式及推广式59

7-7-6．麦唐纳及聂却尔生公式61

7-7-7．关于阶的积分62

7-8．贝塞尔函数与勒上特函数间的关系64

7-9．贝塞尔函数的零点67

7-10．任意函数的级数与积分表示式72

7-10-1．纽孟级数72

7-10-2．卡普顿级数76

7-10-3．许洛米耳级数78

7-10-4．富里哀－贝塞尔及狄尼级数81

7-10-5．任意函数的积分表示式84

第二部分：公式89

7-11．初等关系及各种公式89

7-12．积分表示式92

7-13-1．大的变数97

7-13．渐近展开式97

7-13-2．大的阶98

7-13-3．过渡成101

7-13-4．均匀渐近公式102

7-14．积分公式102

7-14-1．有限积分102

7-14-2．无穷积分105

7-15．贝塞尔函数的级数113

参考文献121

第八章抛物柱函数及回转抛物面函数130

8-1．引言130

8-2．定义和基本性质131

抛物柱函数131

8-3．积分表示式及积分式134

8-4．渐近展开式138

8-5．用Dv（x）表示的函数表示式139

8-5-1．级数139

8-5-2．关于参数的积分表示式140

8-6．零点及摹绘性质142

回转抛物面函数142

8-7．特殊合流超比方程的解143

8-8．包含回转抛物面函数的积分和级数145

参考文献147

9-1．引言149

第九章不完全γ函数及有关函数149

不完全γ函数150

9-2．定义和基本性质150

9-2-1．整数α的情形152

9-3．积分表示式及积分公式153

9-4．级数155

9-5．渐近表示式156

9-6．零点及摹绘性质158

特殊不完全γ函数160

9-7．指数积分及对数积分160

9-8．正弦及余弦积分162

9-9．误差函数164

9-10．弗列司纳耳积分及其推广166

参考文献168

第十章正交多项式170

10-1．正交函数系170

10-2．逼近问题173

10-3．正交多项式的一般性质175

10-4．仪器积分178

10-5．连分式180

10-6．经典多项式181

10-7．经典正交多项式的一般性质183

10-8．雅可比多项式186

10-9．盖根堡多项式192

10-10．勒上特多项式197

10-11．车比雪夫多项式202

10-12．拉甘尔多项式206

10-13．汉米特多项式211

10-14．雅可比，盖根堡，勒上特多项式的渐近性态215

10-15．拉甘尔及汉米特多项式的渐近性态218

10-16．雅可比及有关多项式的零点222

10-17．拉甘尔及汉米特多项式的零点224

10-18．经典多项式的不等式225

10-19．展开问题230

10-20．展开例子232

10-21．正交多项式的某些类238

10-22．离散变量的正交多项式243

10-23．一离散变量的车比雪夫多项式及其推广244

10-24．克罗却克及有关多项式246

10-25．查莱多项式248

参考文献249

第十一章球面及超球面调和多项式253

11-1．前言253

11-1-1．矢量253

11-1-2．盖根堡多项式256

11-2．调和多项式258

11-3．面调和函数262

11-4．加法定理265

11-5．p＝1,h(n,p)=2n+1的情形271

11-5-1．三维空间的面调和函数的母函数271

11-5-2．马克斯威极论274

11-6．p＝2,h(n,p)=(n+1)2的情形276

11-7．球面调和函数的变换公式279

11-8．汉米特－康拜·特·范利多项式282

参考文献285

第十二章多变量正交多项式287

12-1．引言287

12-2．二变量正交多项式的一般性质288

12-3．二变量正交多项式的其他性质291

三角形中的正交多项式292

12-4．阿贝尔多项式292

圆及球中的正交多项式296

12-5．多项式V296

12-6．多项式U300

12-7．展开问题及其他研究302

多变数汉米特多项式305

12-8．汉米特多项式的定义305

12-9．汉米特多项式的基础性质308

12-10．其他研究311

参考文献313

第十三章椭圆函数与椭圆积分315

13-1．引言315

第一部分：椭圆积分315

13-2．椭圆积分315

13-3．椭圆积分的简化317

13-4．椭圆积分的周期和奇点322

13-5．简化G（x）为范式325

13-6．勒上特椭圆积分的计值法332

13-7．勒上特椭圆典范积分的其他性质334

13-8．完全椭圆积分337

13-9．椭圆积分的反演341

第二部分：椭圆函数341

13-10．双周期函数343

13-11．椭圆函数的一般性质345

13-12．韦尔司特拉斯函数348

13-13．韦尔司特拉斯函数的其他性质351

13-14．用韦尔司特拉斯函数表示椭圆函数及椭圆积分的表达式355

13-15．韦尔司特拉斯函数的摹绘性质及退化情形358

13-16．雅可比椭圆函数360

13-17．雅可比椭圆函数的其他性质364

13-18．雅可比椭圆函数的摹绘性质及退化情形368

13-19．θ函数372

13-20．用θ函数表示的椭圆函数及椭圆积分的表达式，反演问题378

13-21．椭圆函数的变换理论383

13-22．一阶变换384

13-23．二阶变换388

13-24．椭圆模函数391

13-25．保形映射393

参考文献399

索引401

记法表411

人名对照表（1）414

人名对照表（2）417