《表1 高阶形函数特性对比表(Willberg et al.2012)》

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《有限单元法在超声导波检测技术中的应用》

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相对于h-FEM，高阶有限单元法采用高阶正交多项式构建单元形函数.相同自由度数目下的高阶有限元比低阶有限元有更高的计算精确度（Mulder 1996），而且高阶单元较低阶单元可以在较粗网格情况下获得相同等级的精度.目前高阶有限元形函数主要包括:（1）基于勒让德（Legendre）多项式归一化积分构建的阶谱积分函数（Duczek&Gabbert 2013），称为p-FEM.勒让德多项式归一化积分函数和勒让德多项式形函数见式（11）和式（12）.（2）定义在高斯–洛巴托–勒让德（Gauss-Lobatto-Legendre，GLL）（Schmicker 2011，Kudela&Ostachowicz 2009）或切比雪夫–高斯–洛巴托（ChebyshevGauss-Lobatto，CGL）网格节点（Komatitsch et al.2009，Moll et al.2010，Rucka 2010，Sridhar et al.2006）上的高阶拉格朗日多项式或高斯–勒让德节点上的切比雪夫多项式（Dauksher&Emery 1999），即谱元法（spectral element method，SEM）.拉格朗日形函数和GLL网格点见式（13）和式（14）.（3）非均匀有理B样条（non-uniform rational B-splines，NURBS）形函数（Kumar&Pandit 2012，Li&Chen 2014，Mitra&Gopalakrishnan2005，Ostachowicz 2008，Lucena 2016），即N-FEM.对应插值形函数和基函数见式（16）和式（17）.相较于C0型低阶拉格朗日插值形函数，高阶谱单元中的节点参数不一定都代表节点函数值.p-FEM中低阶形函数是高阶形函数的子集，前面形成的单元刚度矩阵是阶数增加后单元刚度矩阵的子块，原有低阶单元构造的质量矩阵和刚度矩阵可以继续使用，可以有效降低网格划分对计算结果的影响，大大节省编程和运算时间.SEM的基本理论由Patera （1984）在进行流体动力学分析时提出，所采用的形函数是近似解展开成的正交多项式，具有质量矩阵对角化的优势，又称为空间域谱元法，其理论的发展依赖于函数插值和正交多项式理论的研究.NURBS是为了弥补有限元和计算机辅助设计工具之间的缝隙而提出的一种形函数，之后被用于动力学问题的计算（Hughes2005）.表1为高阶形函数特性对比表.p-FEM和SEM中单元标准定义域为[-1，1]，单元插值节点为定义域上一类适当选取的正交多项式的零点，坐标满足强制条件以保证单元展开式具有C0连续性；而N-FEM标准单元域定义在[0，0.5]或[0.5，1]上，单元间连续性为Cp-1，即单元间的连续性随着形函数阶数的提高而增加；p-FEM和SEM中相邻单元自由度均为1，而N-FEM中相邻单元自由度与形函数阶数相关