《高等数学自学及解题指导 第2版》求取 ⇩

第一章 函数1

1．1 函数的概念1

一、函数的定义1

二、反函数、复合函数、初等函数3

1．2 函数的几种特性9

第二章 极限与连续14

2．1 极限的概念14

一、极限定义的使用14

二、有关极限的几个重要定理21

2．2 极限的计算23

一、极限的运算法则23

二、两个重要极限27

三、无穷小的性质28

四、两个极限存在的准则31

五、幂指函数的极限33

六、已知极限值求极限中的某些常数35

2．3 连续36

一、连续的定义和充要条件，间断点的分类36

二、闭区间上连续函数的性质40

2．4 证题方法综述42

第三章 导数和微分46

3．1 导数的概念46

一、利用导数的定义求极限47

二、利用定义和充要条件研究函数的可导性48

三、综合举例54

3．2 求导方法56

一、导数的四则运算56

二、复合函数的导数57

三、高阶导数60

四、隐函数的导数63

五、由参数方程所确定的函数的导数65

六、幂指函数的导数和对数求导法67

七、导数的几何、物理意义及其应用71

3．3 微分75

一、微分的定义和计算75

二、微分的应用76

第四章 中值定理与罗必塔法则80

4．1 罗尔、拉格朗日、柯西中值定理80

一、定理条件的验证80

二、定理的基本应用82

三、综合举例92

4．2 罗必塔法则98

一、罗必塔法则98

二、其他未定式107

4．3 泰勒公式110

一、求函数的泰勒公式110

二、利用泰勒公式作近似计算112

三、用泰勒公式证明不等式114

四、用泰勒公式求极限115

第五章 导数的应用117

5．1 利用导数研究函数的性态117

一、函数的单调性117

二、函数的极值与最值119

三、函数的凹性和拐点122

四、函数图形的描绘124

五、曲线的曲率126

5．2 综合例题127

一、不定积分的概念和基本性质139

6．1 最简单的不定积分139

第六章 不定积分139

二、最简单的不定积分的计算142

6．2 换元积分法和分部积分法145

一、换元积分法145

二、分部积分法153

三、换元积分法与分部积分法的综合应用165

6．3 有理函数的积分172

6．4 三角函数有理式的积分180

6．5 简单的无理函数的积分195

6．6 综合举例203

第七章 定积分217

7．1 定积分的概念和性质217

一、定义和它的应用217

二、性质220

一、基本计算方法225

7．2 定积分的计算方法225

二、分段函数的积分231

三、特殊类型的积分233

7．3 积分上限(下限)的函数及其导数239

7．4 广义积分247

一、函数在无穷区间上的积分247

二、积分区间内或区间端点被积函数有无穷间断点的积分253

三、积分区间为无穷与积分区间上被积函数有无穷间断点的混合情况258

7．5 综合举例260

第八章 定积分的应用269

8．1 元素法269

8．2 定积分在几何上的应用272

一、求平面图形的面积272

二、体积281

三、平面曲线的弧长288

8．3 定积分在物理、力学上的应用293

一、变力沿直线所作的功293

二、水压力296

三、其他应用299

四、平均值和均方根303

第九章 向量代数306

9．1 向量的概念及其几何运算306

一、向量的概念306

二、向量的几何运算及其运算规律306

9．2 向量的坐标表示式310

一、向量的投影310

二、向量的坐标表示式310

三、向量的线性运算的坐标表示312

一、两向量的数量积314

9．3 两向量的数量积与向量积314

二、两向量的向量积315

三、两向量的夹角、垂直与平行条件315

第十章 空间解析几何327

10．1 空间平面及其方程327

一、平面方程327

二、两平面之间的相互关系328

三、点到平面的距离328

10．2 空间直线及其方程333

一、空间的直线方程333

二、两直线间的关系333

三、直线与平面的夹角334

10．3 空间的曲面与曲线351

一、空间的曲面及其方程351

三、空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程353

二、空间的曲线及其方程353

第十一章 多元函数微分法及其应用364

11．1 多元函数的基本概念364

一、二元函数的定义364

二、二元函数的极限367

三、二元函数的连续性373

11．2 偏导数374

一、偏导数的定义374

二、偏导数的求法375

三、偏导数的几何意义376

四、偏导数存在与函数连续性的关系377

五、方向导数与梯度379

六、高阶偏导数383

一、全微分386

11．3 全微分及其应用386

二、全微分的应用389

11．4 多元复合函数的导数392

一、多元复合函数的求导法则(链式法则)392

二、几种推广的情形393

三、利用多元复合函数求导法则求高阶偏导数396

11．5 隐函数求导法404

11．6 偏导数的几何应用414

一、空间曲线的切线与法平面414

二、空间曲面的切平面与法线414

11．7 多元函数极值问题的解法421

一、二元函数无条件极值的求法421

二、最大值与最小值的求法426

三、二元函数条件极值的求法428

一、二重积分的概念434

12．1 二重积分的概念与性质434

第十二章 重积分434

二、二重积分的性质435

12．2 利用直角坐标计算二重积分437

12．3 利用极坐标计算二重积分448

12．4 二重积分换元法456

12．5 三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法459

一、三重积分的概念459

二、三重积分在直角坐标系中的计算方法459

12．6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分466

一、利用柱面坐标计算三重积分466

二、利用球面坐标计算三重积分467

12．7 重积分的应用477

一、曲面的面积477

三、静力矩和重心478

二、质量478

四、转动惯量479

12．8 含参变量的积分492

第十三章 曲线积分与曲面积分496

13．1 对弧长的曲线积分496

一、对弧长的曲线积分的定义和性质496

二、对弧长的曲线积分的计算方法497

13．2 对坐标的曲线积分509

一、对坐标的曲线积分的定义和性质509

二、对坐标的曲线积分的计算方法510

三、两类曲线积分之间的联系515

13．3 格林公式及其应用516

一、格林公式516

二、与路径无关的曲线积分523

一、对面积的曲面积分的定义和性质531

13．4 对面积的曲面积分531

二、对面积的曲面积分的计算方法532

13．5 对坐标的曲面积分538

一、对坐标的曲面积分的定义和性质538

二、对坐标的曲面积分的计算方法540

三、两类曲面积分之间的联系545

13．6 高斯公式和斯托克斯公式547

一、高斯公式和斯托克斯公式547

二、与曲面无关的曲面积分和与曲线无关的曲线积分554

三、场论初步557

13．7 曲线积分和曲面积分的应用560

一、对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的应用560

二、对坐标的曲线和曲面积分的应用567

一、常数项级数的概念572

14．1 常数项级数的概念和性质572

第十四章 常数项级数与幂级数572

二、级数的基本性质573

三、级数收敛的必要条件573

14．2 正项级数的审敛法577

一、比较审敛法577

二、比值审敛法[达朗贝尔(D Alembert)判别法]578

三、根值审敛法[柯西(CaUChy)判别法]579

14．3 任意项级数的审敛法590

一、交错级数审敛法[莱布尼茨(Leibniz)准则]590

二、任意项级数的收敛性——绝对收敛与条件收敛591

14．4 函数项级数的概念与幂级数602

一、函数项级数的概念602

二、幂级数及其收敛性602

三、幂级数的运算604

二、把函数展开成幂级数620

14．5 把函数展开成幂级数620

一、泰勒级数620

14．6 函数的幂级数展开式的应用630

第十五章 傅立叶级数636

15．1 周期为2π的函数的傅立叶级数636

一、三角级数及三角函数系的正交性636

二、周期为2π的函数的傅立叶级数及其收敛性637

三、周期为2π的函数展开为傅立叶级数637

四、定义在[-π,π]上的函数展开为傅立叶级数637

15．2 正弦级数和余弦级数649

一、正弦级数和余弦级数649

二、定义在[0,π]上的函数展开为正弦(余弦)级数649

15．3 周期为2l的周期函数的傅立叶级数660

16．1 微分方程的基本概念670

第十六章 微分方程670

16．2 一阶微分方程672

一、可分离变量方程和齐次方程672

二、线性微分方程与贝努里方程673

三、全微分方程674

16．3 可降价的高阶微分方程692

16．4 二阶线性微分方程698

一、二阶线性微分方程及其解的结构698

二、二阶常系数线性微分方程702

三、可化为常系数线性方程的方程——欧拉方程710

四、幂级数解法与常数变易法711

16．5 微分方程应用举例715

一、物理问题应用715

二、几何问题应用724

三、微小量分析法应用729