《常用数学公式大全》求取 ⇩

(3)分配律1

(1)虚单位乘方1

1.1.3. 复数1

1.1.2. 实数的绝对值1

第一章 初等数学1

(2)结合律1

(1)交换律1

1.1.1. 数的基本运算1

1.1. 初等代数1

(2)虚单位开方2

(3)复数的运算2

1.1.4. 乘法及因式分解3

1.1.5. 比例4

1.1.6. 分式5

(1)基本性质5

(2)分式运算5

(3)分项分式5

1.1.7. 不等式6

(1)指数、根式8

1.1.8. 指数、根式、对数8

(2)对数9

1.1.9. 多项式展开与多项式除法9

(1)多项式展开9

(2)多项式除法9

(1)等差数列10

(2)等比数列10

1.1.10. 数列10

(3)某些数列的前n项和11

1.1.11. 阶乘、排列、组合、二项式定理12

(1)阶乘12

(2)排列13

(3)组合13

(4)二项式定理14

(5)多项式公式14

1.1.12. 一次方程组15

(3)一元三次方程16

(2)一元二次方程16

1.1.13. 线性方程16

(1)一次方程16

(4)一元四次方程18

1.2. 初等几何18

1.2.1. 任意三角形18

(1)面积18

(2)外接圆半径18

(2)平行四边形19

(4)梯形19

(3)菱形19

1.2.2. 四边形19

(1)矩形19

(3)内切圆半径19

(5)任意四边形20

1.2.3. 正多边形20

(1)正三角形20

(5)正n边形21

(4)正六边形21

(2)正方形21

(3)正五边形21

1.2.4. 圆22

(1)圆周长22

(2)圆弧长22

(3)圆面积22

(4)扇形面积22

(5)弓形22

(1)圆柱23

(2)圆锥23

1.2.5. 旋转体23

(6)环形面积23

(3)圆台24

(4)球24

(5)球缺(球冠)24

(6)球台24

(7)球扇形24

(6)棱锥25

(5)正棱锥25

(4)斜棱柱25

(2)长方体25

(1)正方体25

1.2.6. 棱柱、棱锥25

(3)直棱柱25

(7)棱台26

1.3. 平面三角26

1.3.1. 基本关系26

(1)基本关系26

1.3.2. 和角、倍角、半角的三角公式26

(1)和角公式26

(2)各三角函数用某一个三角函数表示27

(2)倍角公式28

(3)半角公式29

1.3.3. 和差与积关系公式30

1.3.4. 反三角函数的公式33

(3)射影定理34

(5)半角定理34

(4)正切定理34

(1)正弦定理34

1.3.5. 斜三角形的边角关系34

(2)余弦定理34

1.3.6. 三角方程的解36

1.4 球面三角36

1.4.1. 球面三角形基本性质36

1.4.2. 球面三角形的边角关系36

(1)正弦定理36

(5)角的正弦与相邻边余弦的乘积定理37

(6)余切定理37

(3)角的余弦定理37

(4)边的正弦与其邻角余弦的乘积定理37

(2)边的余弦定理37

1.4.3. 解球面直角三角形的公式38

1.4.4. 解球面斜三角形的公式38

(1)半角函数公式38

(2)半边函数公式39

(3)二角和、差之半的正弦公式40

(4)二角(边)和、差之半的正切公式40

(1)角超41

(5)正切定理41

1.4.5. 球面三角形的角超与面积41

(2)球面三角形的面积42

(2)旋转43

(5)直角坐标(x1,y1)与斜角坐标(x2，y2)的关系43

(3)平移同时旋转43

(4)直角坐标与极坐标的关系43

(1)平移43

2.1.1. 坐标变换43

2.1. 平面解析几何43

第二章 解析几何43

(6)斜角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系44

2.1.2. 三个基本公式44

(1)两点距离44

(2)定比分点44

(3)三角形及多边形面积45

2.1.3. 直线45

(1)直线的斜率45

(2)直线方程46

(3)点线距离47

(4)两平行直线间的距离47

(5)两直线间的关系48

(6)三点共线与三线共点48

2.1.4. 圆锥曲线49

(1)圆49

(2)椭圆50

(3)双曲线52

(4)抛物线(P>0)53

2.1.5. 一般二次方程的图形56

(1)二次曲线的分类56

(2)二次曲线的切线与法线57

2.1.6. 重要平面曲线方程57

(1)立方抛物线57

(2)半立方抛物线57

(3)抛物线x？+y？=a？57

(8)环索线58

(7)蔓叶线58

(9)摆线58

(4)箕舌线58

(5)叶形线58

(6)双纽线58

(10)内摆线59

(11)外摆线60

(12)心脏线60

(13)星形线60

(14)悬链线60

(15)概率曲线61

(16)圆的渐开线61

(17)曳物线61

(18)阿基米得螺线62

(19)等角螺线(对数螺线)62

(20)三叶玫瑰线62

(22)ρ=αsin？62

2.2.1. 空间直角坐标变换63

(2)旋转63

(1)平移63

2.2. 空间解析几何63

(21)四叶玫瑰线63

(3)平移同时旋转64

(4)空间直角坐标(x，y，z，)与柱坐标(ρ，φ，z＇，)的关系64

(5)空间直角坐标(x，y,z)与球坐标(ρ，θ，φ)的关系64

(6)球坐标(ρ，θ，φ)与柱坐标(ρ＇，φ1＇，z＇)的关系64

(4)法线式65

(3)截距式65

(2)点法式65

(1)一般式65

2.2.3. 平面方程65

2.2.2. 射影定理65

(5)三点式66

(6)过两点F1=(x1,y1,z1,)，F2=(x2,y2,z2)，且平行于向量？=(a,b,c)66

(7)过点F0=(x0,y0,z0)，且平行两个向量？1=(a1,b1,c1)，？2=(a2,b2,c2)66

(8)参数式66

(5)两点式67

(4)射影式67

(3)对称式67

(2)参数式67

2.2.4. 空间直线方程67

(1)交面式67

2.2.5. 点、直线、平面间的距离、位置关系68

(1)距离68

(2)交角α69

(3)平行、垂直、重合的条件70

(4)其他71

2.2.6. 空间三角形面积和四面体体积公式71

(1)三角形面积71

(2)四面体体积72

(3)平行六面体体积72

(4)双叶双曲面方程73

(7)椭圆柱面方程73

(5)椭圆抛物面方程73

(6)双曲抛物面方程73

(2)椭球面方程73

(1)球面方程73

2.2.7. 重要的曲面方程73

(3)单叶双曲面方程73

(8)双曲柱面方程74

(9)抛物柱面方程74

(10)圆环面方程74

(11)一般旋转面方程74

(12)锥面方程74

(2)参数方程75

(3)圆柱螺线75

(13)螺面方程75

(1)一般方程75

2.2.8. 空间曲线方程75

(4)圆锥螺线76

第三章 线性代数77

3.1. 行列式与矩阵、n维向量77

3.1.1. 行列式的计算与性质77

(1)二阶行列式77

(2)三阶行列式77

(3)高阶行列式79

(5)行列式的变阶80

(4)两个行列式相乘80

(6)三角形行列式81

(7)范德蒙行列式81

(8)倒数对称行列式81

(9)带形行列式81

3.1.2. 矩阵与n维向量的运算82

(1)矩阵与n维向量82

(4)数乘运算83

(5)乘法运算83

(2)矩阵、向量的相等83

(3)加减运算83

(6)零矩阵与零向量、零因子84

(7)负矩阵与负向量85

(8)单位矩阵与单位向量85

(9)逆矩阵85

(12)矩阵函数与向量函数的微积分86

(11)共轭矩阵86

(10)转置矩阵86

(13)向量的线性关系87

(14)矩阵的秩88

(15)n维向量空间88

3.1.3. 某些特殊矩阵88

(1)对角矩阵88

(2)三角形矩阵89

(4)对称矩阵90

(3)带形矩阵90

(5)实对称矩阵91

(6)正定矩阵的逆矩阵91

(7)反对称矩阵92

(8)埃尔米特矩阵93

(9)反埃尔米特矩阵93

(10)正交矩阵93

(11)酉矩阵94

(12)分块矩阵94

(13)分块对角矩阵95

(1)初等变换96

(2)相似变换96

3.1.4. 矩阵的变换96

(3)正交变换97

(4)旋转变换97

(5)用初等变换求逆矩阵98

3.2. 特征理论与若当标准形99

3.2.1. 特征值与特征向量99

(1)特征概念99

(2)特征值与特征向量的性质99

(3)矩阵多项式与最小多项式100

(4)哈密顿-凯莱定理101

(5)最小多项式与特征多项式的关系101

3.2.2. 方阵的若当标准形101

(1)λ矩阵101

(3)λ矩阵的标准形102

(4)若当标准形102

(2)λ矩阵的等价102

(5)特征矩阵103

(6)方阵的标准化103

3.3. 二次型与线性方程组104

3.3.1. 二次型与埃尔米特型(H型)104

(1)二次型与埃尔米特型(H型)104

(2)二次型与H型为正定的判定105

(3)线性变换106

(4)二次型化为标准型106

(5)H型化为标准型107

(6)两个二次型或H型的联立简化108

3.3.2. 线性方程组109

(1)线性方程组的一般形式109

(2)线性方程组解的判定109

(3)线性方程组解的结构110

(4)n个未知数n个方程的线性方程组的解法110

3.4. 矩阵分析112

3.4.1. 矩阵的极限112

(1)矩阵序列的极限112

(2)隐式差分格式114

(2)纯变量的矩阵值函数的极限114

(2)判别连续的充要条件115

3.4.2. 纯变量的矩阵值函数的连续性115

(1)定义115

(3)矩阵导数的运算法则116

3.4.3. 矩阵的导数116

(2)导数存在的充要条件116

(1)定义116

3.4.4. 矩阵的积分117

(1)定义117

(2)矩阵积分的简单性质118

3.4.5. 矩阵级数118

(1)矩阵级数的概念118

(2)矩阵级数收敛的充要条件119

(3)收敛的矩阵级数的运算法则120

(4)矩阵级数的绝对收敛120

(5)方阵的幂级数121

3.4.6. 矩阵函数124

(1)常用的由方阵幂级数定义的矩阵函数124

(2)矩阵函数的求法125

(2)常见的五种广义逆矩阵127

(1)定义127

3.5.2. 常见几种广义逆矩阵的通式127

3.5.1. 广义逆矩阵及其分类127

3.5. 广义逆矩阵127

(1)A-的性质128

(2)A+的性质128

3.5.3. 减号逆A-与加号逆A+的性质128

3.5.4. A+的求法129

(1)求法一129

(2)求法二129

第四章 微分学130

4.1.1. 基本初等函数130

(1)幂函数130

4.1. 函数与极限130

(2)指数函数131

(3)对数函数131

(4)三角函数131

(5)反三角函数132

(6)代数函数135

(7)双曲函数136

(8)双曲函数的相互关系式137

(9)双曲函数的基本公式137

(10)反双曲函数138

(11)反双曲函数的基本公式140

(12)反曲函数与三角函数、反双曲函数与反三角函数的关系140

4.1.2. 数列与函数的极限140

(1)数列的极限140

(2)聚点141

(3)上(下)极限141

(4)数列极限的存在准则141

(6)一些重要的数列极限142

(5)数列极限的基本公式142

(7)函数的极限143

(8)单侧极限144

(9)函数极限的存在准则144

(10)函数极限的基本公式144

(11)一些重要的函数极限145

(13)无穷小量阶的公式146

(14)等价无穷小代换定理146

(15)无穷小量与无穷大量的关系146

(3)函数在区间上连续147

(2)函数在一点单侧连续147

(16)曲线的渐近线147

(1)函数在一点连续147

4.1.3. 函数的连续性147

(4)连续函数的性质148

(5)初等函数的连续性148

4.1.4. 多重极限与累次极限148

(1)n重极限148

(2)累次极限149

(3)二重极限与二次极限的关系149

(4)多元函数的连续性150

4.2. 微分150

4.2.1. 导数与微分150

(1)导数150

(2)单侧导数150

(3)导函数150

(4)微分151

(5)导数与微分法则151

(6)导数与微分的基本公式153

(7)高阶导数与高阶微分法则154

(8)高阶导数与高阶微分的基本公式155

(3)柯西中值定理157

4.2.2. 微分学的基本定理157

(1)罗尔定理157

(2)拉格朗日中值定理157

(4)泰勒公式158

(5)洛必达法则160

4.2.3. 多元函数的微分学160

(1)偏导数160

(2)偏微分161

(3)全微分161

(4)偏导数与全微分的关系162

(5)链式法则162

(6)全导数163

(7)隐函数的微分法163

(8)齐次函数偏导数的欧拉公式163

(11)高阶偏导数的莱布尼兹公式164

(9)高阶偏导数164

(10)混合偏导数的许瓦兹定理164

(13)泰勒公式165

(12)高阶全微分165

(14)雅可比行列式167

(15)隐函数组的微分法169

(16)变量变换中的微分法170

4.2.4. 导数与微分的应用172

(1)平面曲线的切线与法线173

(2)平面曲线的夹角174

(3)空间曲线的活动标架174

(4)弧微分176

(5)平面曲线的曲率176

(6)空间曲线的曲率与挠率176

(7)雪列-弗雷纳公式179

(8)曲面的切面与法线179

(9)曲面元180

(12)函数的极值181

(14)极值的充分条件181

(13)极值的必要条件181

(11)单调性定理181

(10)函数的单调性181

(15)条件极值183

(16)函数的凸性184

(17)凸性定理184

(18)函数的拐点185

(19)拐点的判定185

(20)函数相关与函数独立185

(21)函数相关与函数独立的判定185

第五章 积分学187

5.1. 不定积分187

5.1.1. 不定积分的性质187

(1)不定积分的性质187

(2)不定积分的基本公式187

5.1.2. 不定积分法则189

(1)第一换元法(配微分法)189

(2)第二换元法190

5.1.3. 有限形式的积分192

(1)部分分式展开192

(3)分部积分法192

(2)有理函数的积分194

(3)无理函数的积分195

(4)三角函数的积分198

(5)超越函数的积分199

5.1.4. 不定积分表200

(1)含αχ+b的有理式的积分200

(2)含？的积分203

(3)含ax2±c的有理式的积分208

(4)含？的积分210

(5)含ax2+bx+c的有理式的积分213

(6)含？的积分215

(7)含axn+c的积分218

(8)含sinαx或cosαx的积分219

(9)含sinαx和cosαx的积分223

(10)含tgαx，ctgαx，secαx，cscαx的积分227

(11)含xn，sinαx或cosαx的积分229

(12)含eαx，x?，sinαx，cosαx的积分231

(13)含lnαx和x?的积分234

(14)含反三角函数的积分235

(2)定积分的性质237

5.2. 定积分237

5.2.1. 定积分及其性质237

(1)牛顿-莱布尼兹公式237

5.2.2. 定积分法则239

(1)换元积分法239

(3)积分不等式239

(2)分部积分法240

(3)奇偶函数的积分240

5.2.3. 定积分表240

5.2.4. 定积分的应用242

(1)平面图形的面积242

(2)旋转曲面的侧面积243

(3)平面曲线的弧长243

(4)立体体积244

(5)平面图形的几何重心245

(8)变力作功246

(7)流体压力246

(6)平面图形的转动惯量246

(2)柯西主值247

(3)收敛判别法247

5.3.1. 无穷限广义积分247

(1)收敛与发散247

5.3. 广义积分247

5.3.2. 无界函数的广义积分249

(1)瑕点249

(2)收敛与发散250

(4)收敛判别法250

(3)柯西主值250

5.3.3. 广义积分法则252

(1)牛顿-莱布尼兹公式252

(2)分项积分法252

(3)换元积分法252

(4)分部积分法252

5.3.4. 广义积分表252

(1)连续性259

(2)对参数求导259

5.4.1. 含参数常义积分259

5.4. 含参数积分259

(2)一致收敛判别法260

5.4.2. 含参数广义积分260

(3)对参数积分260

(1)一致收敛性260

(3)连续性262

(4)对参数求导262

(5)对参数积分262

5.5. 斯蒂吉斯积分263

5.5.1. 斯帝吉斯积分及其性质263

(2)斯蒂吉斯积分的性质263

(1)斯蒂吉斯积分263

5.5.2. 积分法则265

(1)分部积分法265

(2)化为定积分265

5.6. 多元函数的积分266

5.6.1. 重积分266

(1)二重积分266

(2)二重积分的计算公式267

(3)二重积分的变量变换268

(4)极坐标下的二重积分269

(5)三重积分269

(6)三重积分的计算270

(7)三重积分的变量变换271

(8)圆柱面坐标下的三重积分272

(9)球面坐标下的三重积分272

(10)m重积分273

(11)m重积分的计算273

(12)m重积分的变量变换274

(13)极坐标下的m重积分275

5.6.2. 曲线积分275

(1)曲线积分275

(2)曲线积分的性质276

(3)曲线积分的计算277

(4)两类曲线积分的联系278

(5)格林公式279

(6)平面曲线积分与路径的无关性279

(7)原函数280

(8)奇点的循环常数280

(1)曲面积分281

5.6.3. 曲面积分281

(2)曲面积分的性质282

(3)曲面积分的计算284

(4)两类曲面积分的联系285

(5)高斯公式286

(6)斯托克司公式286

(2)曲面的面积287

(1)平面图形的面积287

5.6.4. 多元函数积分的应用287

(3)柱面的面积288

(4)立体体积288

(5)物体总质量与重心289

(6)转运惯量290

(7)变力做功291

6.1.1. 向量代数293

(1)向量293

6.1. 向量293

第六章 向量与场论初步293

(2)向量的加减法与数乘294

(3)线性关系295

(4)向量乘法296

6.1.2. 向量分析299

(1)向量函数定义299

(2)向量函数的极限与连续性299

(3)向量函数的导数与微分300

(5)单位向量的变换301

(4)向量函数的泰勒公式301

(6)圆柱同坐标系和球面坐标系的单位向量303

(7)向量的坐标变换304

(8)向量的常用坐标变换305

(9)向量函数的积分305

6.2. 场论初步306

6.2.1. 梯度306

(1)梯度306

(2)方向导数306

(2)旋度307

(1)散度307

(4)梯度的性质307

(3)耐普拉算子307

6.2.2. 散度与旋度307

(3)散度与旋度的性质308

(4)耐普拉算子的性质308

(5)二阶微分运算308

(6)梯度、散度、旋度在圆柱面坐标系和球面坐标系下的表达式308

6.2.3. 向量场的积分与体积导数310

(1)向量场的曲线积分310

(2)环量与势场310

(4)场的曲面积分(通量)311

(3)曲线积分与势函数311

(5)体积导数312

(6)积分定理313

第七章 级数315

7.1. 数项级数315

7.1.1. 级数的敛散性315

(1)级数的敛散性定义315

(2)级数的性质316

(3)比较判别法317

7.1.2. 正项级数的判敛法317

(2)基本判别法317

(1)正项级数317

(4)柯西判别法318

(5)达朗贝尔判别法319

(6)拉阿伯判别法319

(7)高斯判别法320

(8)柯西积分判别法320

(9)对数判别法321

7.1.3. 变号级数的判敛法321

(1)柯西判别法321

(2)达朗贝尔判别法321

(3)阿贝尔判别法321

(4)狄里克莱判别法322

(5)莱布尼兹判别法322

(6)某些数项级数的和322

(1)函数项级数324

7.2.1. 一致收敛性324

7.2. 函数项级数324

(1)柯西准则325

(2)收敛与一致收敛325

7.2.2. 一致收敛判别法325

(3)阿贝尔判别法326

(4)狄里克莱判别法326

(2)外尔斯特拉斯判别法326

(5)狄尼判别法327

7.2.3. 一致收敛的函数项级数的性质327

(1)和函数的连续性327

(2)逐项微分327

(3)逐项积分327

7.3. 幂级数328

7.3.1. 收敛半径328

(1)幂级数328

(2)收敛半径328

(3)柯西-阿达玛公式328

(1)逐项取极限329

7.3.2. 幂级数的运算329

(4)阿贝尔定理329

(2)逐项微分330

(3)逐项积分330

7.3.3. 函数的幂级数展开式331

(1)泰勒级数与马克劳林级数331

(2)函数展开成幂级数331

(3)常用初等函数的幂级数展开式331

(4)某些初等函数的幂级数展开式336

7.4. 傅里叶级数338

(1)欧拉-傅里叶公式338

(2)傅里叶级数338

7.4.1. 傅里叶级数及其性质338

(3)傅里叶系数的性质339

(4)傅里叶级数的部分和340

(5)傅里叶级数的逐项微分与逐项积分341

7.4.2. 傅里叶级数收敛性的判别342

(1)狄尼判别法342

(2)李普希兹判别法342

(3)狄里克莱-若当判别法343

(4)吉布斯现象343

(1)周期为2π的函数展开式344

7.4.3. 函数的傅里叶级数展开式344

(2)周期为2l的函数展开式345

(3)在任意闭区间上给定的函数展开式346

(4)某些常用函数的傅里叶级数展开式347

(5)某些分段函数的傅里叶级数展开式355

7.4.4. 二重傅里叶级数361

(1)无穷乘积363

7.5.1. 无穷乘积的敛散性363

7.5. 无穷乘积363

(2)收敛判别法364

(3)绝对收敛365

7.5.2. 函数项无穷乘积365

(1)一致收敛365

(2)一致收敛的判别法366

(3)某些函数的无穷乘积展开式366

(3)连续复变函数的性质368

(2)复变函数的连续性368

8.1. 复变函数的导数与积分368

(1)复变函数的极限368

8.1.1. 复变函数的极限与连续性368

第八章 复变函数368

8.1.2. 复变函数的导数369

8.1.3. 复变函数的积分369

(1)复变函数的积分369

(2)复变函数积分的性质370

(3)复变函数积分的计算370

8.2. 解析函数371

8.2.1. 柯西-黎曼方程371

(1)解析函数371

(2)柯西-黎曼方程371

(3)形式导数372

8.2.2. 调和函数372

(1)调和函数与共轭调和函数372

(1)指数函数373

8.2.3. 初等解析函数373

(2)解析函数与调和函数373

(2)对数函数374

(3)幂函数375

(4)三角函数375

(5)反三角函数376

(6)双曲函数377

(7)反双曲函数378

(8)双曲函数与三角函数的关系378

(2)不定积分与原函数379

(1)柯西积分定理379

8.2.4. 解析函数的积分性质379

(3)柯西积分公式380

(4)柯西型积分381

(5)莫累拉定理382

(6)平均值定理382

(7)最大模原理382

(8)柯西不等式382

(1)保角映射383

8.3.1. 保角映射383

8.3. 保角映射与分式线性变换383

(9)刘维尔定理383

(10)调和函数的泊松公式383

(2)保角映射的判别384

(3)保角映射的性质384

8.3.2. 分式线性变换384

(1)分式线性变换384

(2)简单分式线性变换385

(3)几种典型的分式线性变换385

(4)分式线性变换的性质386

(5)分式线性变换的分类387

8.4.1. 泰勒级数388

(1)柯西-阿达玛定理388

(2)阿贝尔定理388

8.4. 解析函数的级数展开388

(3)幂级数的运算389

(4)泰勒级数展开定理389

(7)解析函数的唯一性定理390

(6)解析函数的零点390

(5)解析函数的四个等价定义390

(1)罗朗级数的展开定理391

(2)罗朗级数展开式的唯一性391

(3)孤立奇点391

8.4.2. 罗朗级数与孤立奇点391

(4)解析函数在无穷远点的性质392

(5)某些函数的罗朗级数393

(6)半纯函数的部分分式表达式398

(2)留数基本定理399

(3)孤立奇点的留数399

(1)留数399

8.5.1. 留数基本定理及其应用399

8.5. 留数399

(4)无穷远点的留数401

(5)幅角原理402

(6)儒歇定理402

8.5.2. 用留数计算定积分(围道积分)402

(1)用留数计算定积分的主要步骤402

(4)？e?mxf(x)dx型积分的计算403

(2)几个引理403

(3)？f(x)dx型积分的计算403

(5)？e?mxf(x)dx型积分的柯西主值404

第九章 积分变换405

9.1. 拉普拉斯变换405

9.1.1. 拉普拉斯变换及其反演公式405

(1)拉普拉斯变换405

(2)反演公式405

(3)用留数求像原函数405

9.1.2. 拉普拉斯变换的性质及主要公式406

(1)拉普拉斯变换的性质406

(2)拉普拉斯变换的主要公式406

9.1.3. 拉普拉斯变换表408

(1)由f(t)查l(s)=？［f(t)］408

(2)由l(s)查f(t)=？-1［l(s)］421

(3)傅里叶余弦变换及其反演公式428

(2)反演公式428

9.2.1. 傅里叶变换及其反演公式428

9.2. 傅里叶变换428

(1)傅里叶变换428

(2)傅里叶变换的主要公式429

9.2.2. 傅里叶变换的性质及主要公式429

(4)傅里叶正弦变换及其反演公式429

(1)傅里叶变换的性质429

(4)傅里叶正弦变换的性质430

9.2.3. 傅里叶变换表430

(1)由f(x)查F(ξ)=？［f(x)］430

(3)傅里叶余弦变换的性质430

(2)由f(x)查Fc(ξ)=？［f(x)］437

(3)由f(x)查Fs(ξ)=？［f(x)］438

(1)Г-函数的几种不同定义441

10.1.1. Г-函数(伽马函数)441

10.1. 由积分确定的特殊函数441

第十章 特殊函数441

(2)可化为Г-函数的积分442

(3)Г-函数的公式443

10.1.2. 不完全伽马函数445

(1)不完全伽马函数的几种不同定义445

(2)不完全伽马函数的公式445

(2)可化为B-函数的积分447

(1)B-函数的几种不同定义447

10.1.3. B-函数(贝塔函数)447

(3)B-函数的公式448

10.1.4. ψ-函数(普塞函数)449

(1)ψ-函数的几种不同定义449

(2)可化为ψ-函数的积分450

(3)ψ-函数的公式450

10.1.5. 误差函数(概率积分)452

(1)误差函数的定义452

(2)误差函数的公式452

10.1.6. 菲涅尔函数454

(1)菲涅尔函数的定义454

(2)菲涅尔函数的公式454

10.1.7. 正弦积分与余弦积分455

(1)正弦积分与余弦积分的定义455

(2)正弦积分与余弦积分的公式455

(2)双曲正弦积分与双曲余弦积分的公式457

(1)双曲正弦积分与双曲余弦积分的定义457

10.1.8. 双曲正弦积分与双曲余弦积分457

(2)指数积分的公式458

10.1.9. 指数积分458

(1)指数积分的定义458

10.1.10. 对数积分459

(1)对数积分的定义459

(2)对数积分的公式459

10.1.11. 勒让德椭圆积分460

(1)勒让德椭圆积分的定义460

(2)可化为勒让德椭圆积分的积分460

(3)勒让德椭圆积分的公式463

10.1.12. 完全椭圆积分465

(1)完全椭圆积分的定义465

(2)完全椭圆积分的公式466

10.2 椭圆函数467

10.2.1. 椭圆函数467

(1)椭圆函数的定义467

(2)椭圆函数的性质468

10.2.2. 雅可比椭圆函数469

(1)雅可比椭圆函数的定义469

(2)雅可比椭圆函数在特殊点的值470

(3)雅可比椭圆函数的公式470

10.2.3. 外尔斯特拉斯椭圆函数477

(1)外尔斯特拉斯椭圆函数的定义477

(2)外尔斯特拉斯椭圆函数的公式477

10.3. 由微分方程确定的特殊函数479

10.3.1. 库默尔函数(合流超几何级数)479

(1)超几何级数479

(2)库默尔函数的定义479

(3)库默尔函数的公式480

10.3.2. 惠泰克函数483

(1)惠泰克函数的定义483

(2)惠泰克函数的公式484

(3)可以用惠泰克函数表示的特殊函数485

10.3.3. 抛物线柱函数485

(1)抛物线柱函数的定义485

(2)抛物线柱函数的公式486

(1)埃尔米特函数与埃尔米特多项式的定义488

10.3.4. 埃尔米特函数与埃尔米特多项式488

(2)埃尔米特函数和埃尔米特多项式的公式489

(2)一般拉盖尔多项式与拉盖尔多项式的公式493

10.3.5. 拉盖尔多项式493

(1)一般拉盖尔多项式与拉盖尔多项式的定义493

10.3.6. 超几何函数498

(1)超几何函数的定义498

(2)超几何函数的公式498

(3)可以用超几何函数表示的初等函数504

(4)可以用超几何函数表示的某些特殊函数的拉普拉斯变换504

10.3.7. 勒让德函数与勒让德多项式505

(1)勒让德函数与勒让德多项式的定义505

(2)一般勒让德函数的公式506

(3)第一、二类勒让德函数的公式512

(4)勒让德多项式及Qn(z)的公式514

10.3.8. 盖根堡多项式517

(1)盖根堡多项式的定义517

(2)盖根堡多项式的公式517

(1)切比雪夫多项式的定义520

(2)切比雪夫多项式的公式520

10.3.9. 切比雪夫多项式520

10.3.10. 雅可比多项式522

(1)雅可比多项式的定义522

(2)雅可比多项式的公式522

10.3.11. 贝塞尔函数524

(1)贝塞尔函数的定义524

(2)贝塞尔函数的公式524

(3)贝塞尔函数与某些特殊函数的关系式542

(4)变型贝塞尔函数的定义544

(5)变型贝塞尔函数的公式545

10.4. 用函数的展开式定义的特殊函数550

10.4.1. 贝努里多项式与贝努里数550

(1)贝努里多项式与贝努里数的定义550

(2)贝努里多项式与贝努里数的公式551

10.4.2. 欧拉多项式与欧拉数552

(1)欧拉多项式与欧拉数的定义552

(2)欧拉多项式与欧拉数的公式553

(2)柯西存在定理555

11.1. 一阶微分方程555

第十一章 常微分方程555

(1)一阶微分方程的形式555

11.1.1. 解的存在唯一性555

(3)存在唯一性定理556

11.1.2. 可积类型556

(1)变量分离型方程556

(2)可化为变量分离型方程557

(3)齐次方程557

(4)可化为齐次型方程558

(5)线性方程558

(6)贝努里方程559

(7)黎卡提方程559

(8)第一类阿贝尔方程561

(9)第二类阿贝尔方程562

(10)恰当(全微分)方程563

(11)积分因子563

(12)一阶隐式微分方程566

(1)奇解568

(13)拉格朗日方程568

(14)克莱罗方程568

11.1.3. 奇解568

(2)奇解的求法569

11.2. 高阶微分方程569

11.2.1. 一般高阶微分方程569

(1)高阶微分方程的形式569

(2)存在唯一性定理570

(3)降阶法570

(4)n阶方程的可积类型572

11.2.2. 高阶变系数线性微分方程574

(1)高阶齐次线性微分方程的解的性质与结构574

(2)刘维尔公式575

(3)齐次线性方程的幂级数解法576

(4)高阶非齐次线性微分方程的解的性质与结构576

(5)高阶非齐次线性微分方程求解的常数变易法577

(1)常系数齐次线性微分方程的特征方程578

(6)常数变易公式578

11.2.3. 高阶常系数线性微分方程578

(2)常系数齐次线性微分方程的解579

(3)常系数非齐次线性微分方程的比较系数解法580

(4)简易比较系数法581

(5)微分算子与逆微分算子582

(6)常系数非齐次线性微分方程的算子解法584

(7)常系数非齐次线性微分方程的拉普拉斯变换解法585

11.2.4. 欧拉方程587

(2)齐次欧拉方程的解法587

(1)欧拉方程587

(3)非齐次欧拉方程的解法588

11.3. 一阶线性微分方程组589

11.3.1. 一阶变系数线性微分方程组589

(1)一阶线性微分方程组及其向量表示589

(2)高阶线性微分方程化为一阶线性微分方程组589

(3)一阶齐次线性微分方程组的基解矩阵590

(4)一阶齐次线性微分方程组的解的性质与结构590

(6)一阶非齐次线性微分方程组的解的性质与结构591

(5)刘维尔公式591

(7)一阶非齐次线性微分方程组求解的常数变易公式592

11.3.2. 一阶常系数线性微分方程组592

(1)一阶常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵592

(2)基解矩阵eAx的计算593

(3)一阶常系数齐次线性微分方程组的解594

(4)一阶常系数非齐次线性微分方程组的解595

(2)最速降线问题596

(1)泛函的变分596

11.4.1. 泛函的极值596

11.4. 变分法596

(3)泛函的极值597

11.4.2. 积分型泛函的极值与欧拉方程597

(1)？F(x,y(x),y′(x)dx型597

(2)？F(x,y1(x),y2(x),……yn(x),y′1(x),y′2(x),…yn′(x)dx型599

(3)？F(x,y(x),y′(x),…y(n)(x))dx型600

(4)多重积分型602

(3)拉格朗日乘数法603

(2)？F(x,y(x),z(x),y′(x),z′(x))dx的条件极值603

11.4.3. 条件极值603

(1)等周问题603

第十二章 偏微分方程605

12.1.1. 通解、完全解、奇解与解析解605

(1)一阶偏微分方程和方程组605

(2)通解、完全解与奇异解605

12.1. 一阶偏微分方程605

(3)通解与完全解、奇异解的关系606

(4)柯西-柯娃列芙斯卡娅定理607

(1)一阶齐次线性偏微分方程的特征方程608

12.1.2. 一阶线性和拟线性偏微分方程608

(2)一阶齐次线性偏微分方程的解与通解609

(3)一阶齐次线性偏微分方程柯西问题的解610

(4)一阶非齐次线性偏微分方程与拟线性方程的解610

(5)一阶拟线性偏微分方程柯西问题的解612

12.1.3. 一阶非线性偏微分方程612

(1)一阶非线性偏微分方程的特征方程612

(2)求完全解的拉格朗日-卡比方法614

(3)两个自变量的某些一阶非线性偏微分方程的解614

(4)n个自变量的某些一阶非线性偏微分方程的解法619

(5)克莱罗方程621

(6)波发夫方程622

12.1.4. 一阶线性偏微分方程组624

(1)一阶线性偏微分方程组的特征方向及分类624

(2)狭义双曲型方程组与双曲型方程组624

(3)狭义双曲型方程组的柯西问题625

12.2. 二阶半线性偏微分方程626

12.2.1. 二阶半线性偏微分方程的分类与标准型626

(1)二阶半线性偏微分方程的特征方程626

(2)二阶常系数线性偏微分方程的分类与标准型627

(3)二阶半线性偏微分方程的分类与标准型629

(4)两个自变量的二阶半线性偏微分方程的分类与标准型630

12.2.2. 二阶线性偏微分算子与基本解631

(1)二阶线性微分算子631

(2)格林公式632

(3)基本解633

(4)柯西问题的基本解634

(1)波动方程及其基本解635

12.3.1. 波动方程635

12.3. 三种经典方程及其定解问题635

(2)齐次波动方程的柯西问题及其解公式、降维法636

(3)非齐次波动方程的柯西问题及其解公式639

(4)古尔沙问题的特征线方法641

(5)广义柯西问题的黎曼方法641

(6)一维齐次波动方程柯西问题求解的积分变换法644

(7)一维齐次波动方程混合问题的解、分离变量法645

(8)一维非齐次波动方程混合问题的解652

(9)可用分离变量法求解的某些高维波动方程的混合问题654

(1)热传导方程及其基本解658

12.3.2. 热传导方程658

(2)齐次热传导方程的柯西问题及其解公式659

(3)齐次热传导方程柯西问题的基本解659

(4)非齐次热传导方程的柯西问题及其解公式659

(5)一维热传导方程柯西问题求解的积分变换法660

(6)一维热传导方程混合问题求解的积分变换法661

(7)一维热传导方程混合问题求解的分离变量法663

(1)拉普拉斯方程及其基本解664

12.3.3. 拉普拉斯方程664

(3)内、外边值问题665

(2)拉普拉斯方程的定解问题665

(4)狄里克莱问题的解公式666

(5)诺伊曼问题的解公式666

(6)圆或球的狄里克莱问题的解(泊松积分)667

(7)调和函数的性质668

(8)泊松方程的边值问题669

(9)狄里克莱问题求解的格林函数法669

(10)狄里克莱问题求解的分离变量法671

13.1. 弗雷德霍姆方程673

13.1.1. 弗雷德霍姆定理673

(1)弗雷德霍姆方程673

(2)弗雷德霍姆定理673

第十三章 积分方程673

(3)诺伊曼级数解、预解核674

(4)弗雷德霍姆分母676

(2)具有退化核的弗雷德霍姆方程的解677

(1)退化核677

13.1.2. 退化核的情形677

13.1.3. 几类非退化核的情形680

(1)对称核680

(2)非对称核681

(3)埃尔米特核681

(4)反对称核682

(5)伴随核、自伴随核683

13.2. 沃尔泰方程683

(1)沃尔泰方程683

(2)第二类沃尔泰方程的幂级数解、预解核684

(3)特殊核K(x-ξ)685

13.3. 奇异积分方程686

(1)几类含无穷限积分的奇异积分方程686

(2)几类含无界函数积分的奇异积分方程687

(2)事件的运算关系690

(1)事件690

14.1. 概率690

第十四章 概率论690

14.1.1. 事件、事件的运算关系690

14.1.2. 概率的几种定义691

(1)概率的古典定义691

(2)概率的统计定义691

(3)几何概率691

(4)概率的数学定义692

(1)条件概率693

14.1.4.条件概率与独立性定义693

14.1.3. 概率的基本性质693

(2)独立性定义694

14.1.5. 概率的计算公式694

(1)乘法公式694

(2)全概率公式694

(3)贝叶斯公式695

(4)贝努里公式695

(3)分布函数F(x)的性质696

(2)分布函数696

(4)离散型随机变量及其概率分布696

14.2. 随机变量及其分布696

(1)随机变量696

14.2.1. 随机的变量与分布函数696

(5)几种常见的离散型随机变量及其分布698

(6)连续型随机变量与分布密度函数699

(7)几种常见的连续型分布699

(8)随机变量函数的分布701

14.2.2. 常用分布表701

(2)n维分布710

(3)n维离散型和连续型随机变量710

(1)n维随机向量710

14.2.3. n维随机向量与n维分布710

(4)n边缘分布函数711

14.2.4. 随机变量的独立性、条件分布函数712

(1)随机变量的独立性712

(2)条件分布函数713

14.2.5. 随机向量的变换714

(1)随机变量的线性变换714

(2)随机变量的平方变换715

(3)随机向量的一些重要变换715

(1)数学期望718

14.2.6. 随机变量的数字特征718

(2)方差720

(3)均值与方差的运算公式721

(4)切比雪夫不等式722

(5)条件数学期望与全数学期望公式722

(6)矩723

14.2.7. 随机向量的数字特征724

(1)随机向量的数学期望724

(2)协方差与协方差矩阵724

(3)常用分布的特征函数726

(1)离散型随机变量的特征函数726

(2)连续型随机变量的特征函数726

14.2.8. 特征函数726

(4)特征函数的性质728

(5)随机向量的特征函数729

14.3. 独立随机变量序列的极限定理731

14.3.1. 分布函数序列与随机变量序列的收敛性731

(1)分布函数序列的弱收敛731

(2)随机变量序列的收敛731

(2)几个常用的大数定律732

(1)定义732

14.3.2. 大数定律732

14.3.3. 柯尔莫哥洛夫不等式733

(2)几个常用的强大数定律734

(1)定义734

14.3.4. 强大数定律734

14.3.5. 中心极限定理735

(1)定义735

(2)经常应用的中心极限定理735

14.3.6. 格子点分布、局部极限定理737

(1)格子点分布737

(2)局部极限定理737

(2)样本739

(3)矩739

第十五章 数理统计方法739

(1)总体(母体)和个体739

15.1.1. 基本概念739

15.1 总体参数估计739

(4)к阶中心矩740

(5)统计中常用的矩741

(6)常用的统计量741

(7)抽样分布743

15.1.2. 样本的数字特征与总体数字特征的对照表745

15.1.3. 总体参数的点估计747

(1)参数空间747

(2)点估计747

(3)估计方法747

(4)估计量好坏的判别标准749

(5)罗-克拉美不等式749

15.1.4. 总体参数的区间估计751

(1)随机区间751

(2)置信区间751

(3)显著性水平与上、下置信限751

(4)总体参数的区间估计表751

(5)二项分布和泊松分布的参数估计751

(6)均匀分布的参数估计755

15.2. 统计假设检验756

15.2.1. 统计假设检验的一般步骤756

(1)第一类错误757

(2)第二类错误757

15.2.3. 正态总体参数的统计假设检验表757

15.2.2. 假设检验的两类错误757

15.2.4. 非参数假设检验759

(1)分布函数的拟合检验759

(2)皮尔逊y2检验法759

(3)柯尔莫哥洛夫检验法764

(4)独立性检验765

(2)检验步骤767

15.3. 方差分析767

(1)问题的提法767

15.3.1. 单因素方差分析767

15.3.2. 双因素方差分析770

(1)问题的提法770

(2)问题的分解771

15.3.3. 系统分组的方差分析771

(2)一元线性回归777

(1)最小二乘法777

15.4. 回归分析777

15.4.1. 一元回归的方差分析777

(3)一元线性回归的方差分析780

15.4.2. 抛物线回归782

15.4.3. 可化成线性回归的曲线回归782

15.4.4. 二元线性回归785

(1)回归方程785

(2)复相关系数与偏相关系数786

(3)标准回归系数与偏回归平方和787

15.4.5. 多元线性回归788

(1)回归方程的求法788

(4)剩余标准差788

(6)二元线性回归的计算788

(5)t值的计算788

(2)复相关系数791

(3)剩余标准差791

(4)多元线性回归的方差分析791

15.5.2. 单式抽样检验792

15.5.1. 抽样检验的第一、二类错误792

(6)t值计算公式792

(5)标准回归系数与偏回归平方和792

15.5. 抽样检验方法792

(1)按质检查793

(2)按量检查797

15.5.3. 复式计件抽样检验798

(1)复式抽样验收方案的具体做法798

(2)复式抽样验收方案的流程图799

(1)序贯计件抽样检验的一般做法800

15.5.4. 序贯计件抽样检验800

(2)序贯抽样检验的图解表示法802

(3)序贯抽样检验的表格表示法803

(3)随机场805

(6)过程的数字特征805

(4)复值过程805

(5)样本函数805

(1)随机过程的定义805

16.1.1. 概念805

16.1. 概述805

第十六章 随机过程805

(2)随机过程的相空间805

(7)可分性806

(8)随机连续806

16.1.3. 随机过程的基本类型807

16.1.2. 有限维分布族与柯尔莫哥洛夫定理807

(1)按参数集和相空间分类807

(2)柯尔莫哥洛夫定理807

(1)有限维分布函数族807

(2)按概率结构分类808

16.2. 马尔可夫过程809

16.2.1. 马尔可夫链809

(1)转移概率809

(2)时间与状态都离散的马尔可夫链809

(3)闭集与状态的分类810

(4)分解定理812

(5)遍历性定理812

(6)时间连续、状态离散的马尔可夫链813

16.2.2. 纯不连续马尔可夫过程814

(1)转移概率函数814

(2)纯不连续马尔可夫过程的定义815

(3)柯尔莫哥洛夫-费勒微积分方程815

(2)柯尔莫哥洛夫方程816

16.2.3. 扩散方程816

(1)定义816

(1)二阶矩随机变量所组成的空间817

16.3. 二阶矩过程和随机分析817

16.3.1. 预备知识817

(2)均方极限的性质818

(1)均方连续819

16.3.2. 随机分析819

(2)均方导数820

(3)均方积分821

(4)关于正交增量过程的积分823

(5)随机微分方程825

16.3.3. 正态过程825

(2)正态过程的均方微积分825

(1)定义825

(3)马尔可夫正态过程826

(4)平稳正态过程826

16.3.4. 伊藤随机积分和随机微分方程826

(1)伊藤积分定义826

(2)伊藤积分的存在性827

(3)伊藤积分的性质827

(4)伊藤随机微分方程828

16.4.1. 平稳过程和协方差函数829

(1)定义829

(2)平稳过程的简单性质829

16.4. 平稳过程829

(3)平稳正态马尔可夫过程830

16.4.2. 平稳过程和协方差函数的谱分解831

(1)协方差函数的谱分解831

(2)平稳过程的谱分解832

16.4.3. 遍历性定理833

16.4.4. 若干相关函数与谱密度对应表835

第十七章 统计计算方法836

17.1. 初等计算836

17.1.1. 样本均值与方差836

(1)基本公式836

(2)减常数算法836

(3)两轮均值算法837

(5)几种算法的结果比较837

(4)递推算法837

(2)多元样本协差阵的递推公式838

17.1.2. 多元样本协差阵及其逆阵的递推公式838

(1)多元样本的均值及协差阵838

(3)增加或删去一个样本时的协差阵及其逆阵839

17.1.3. 扫除算法840

(1)高斯-若当消去法840

(2)扫除变换的定义841

(3)扫除变换的性质841

(4)扫除变换公式的变形842

(5)扫除变换的应用843

17.1.4. 排序问题845

(1)气泡法(交换排序法)845

(2)选择排序法845

(3)快速排序法845

17.2. 分布函数及分位数的近似计算846

17.2.1. 分布函数846

17.2.2. 分位数的二阶迭代法847

(2)二阶迭代法847

(1)牛顿迭代法847

17.2.3. 标准正态分布函数和分位数的近似公式848

(1)标准正态分布函数的近似公式848

(2)标准正态分布分位数的近似公式850

17.2.4. 一些常用分布的计算公式852

(1)x2分布的数值计算852

(2)β分布的数值计算854

(3)t分布的数值计算857

(4)F分布的数值计算859

(5)二项分布的数值计算860

(6)泊松分布的数值计算861

(7)各种分布在近似计算中的关系862

17.3. 随机数的产生863

17.3.1. 随机数的概念863

17.3.2. 均匀分布随机数的产生方法863

(1)乘同余法864

(1)直接抽样865

(2)乘加同余法865

(3)组合同余法865

17.3.3. 其他分布随机数的产生方法865

(2)离散型分布的直接抽样方法866

(3)变换抽样方法867

(4)舍选抽样868

(5)近似抽样869

(1)绝对误差871

(3)有效数字871

(2)相对误差871

18.1.1. 几种误差871

18.1. 误差分析871

第十八章 误差分析·插值法·曲线拟合871

10.1.2. 误差限的估计872

(1)绝对误差限的估计872

(2)相对误差限的估计872

18.1.3. 某些控制计算误差的实例873

18.1.4. 高斯误差定律874

(4)高斯误差方程875

(3)概率误差γ875

(1)标准误差σ875

(2)平均误差η875

(5)误差概率表876

18.2. 代数插值·差分·差商·三角插值876

18.2.1. 拉格朗日插值公式876

(1)一元拉格朗日插值公式876

(2)一元三点拉格朗日插值公式877

(3)二元拉格朗日插值公式877

(2)分段三次埃尔米特插值公式878

18.2.2. 埃尔米特插值公式878

(1)两个节点带导数的三次插值公式878

(4)二元三点拉格朗日插值公式878

(3)2n+1次埃尔米特插值公式880

18.2.3. 差分881

(1)几种算子的定义881

(2)高阶差分881

(3)向前差分表882

(5)若干重要性质882

(4)向后差分表882

(6)函数值与差分之间的关系883

(2)差商表884

(1)差商的定义884

18.2.4. 差商884

(3)差商性质885

18.2.5. 牛顿插值公式885

(1)牛顿基本插值公式885

(2)牛顿前插公式886

(3)牛顿后插公式886

18.2.6. 斯特林插值公式887

18.2.7. 贝塞尔插值公式888

18.2.8. 埃特金逐步计算法890

18.2.9. 三角插值891

(1)区间［0，1］上的等距节点三角插值891

18.3.1. 单位跳跃函数与m次半截多项式892

(1)单位跳跃函数892

(2)区间［0，2π］上的等距节点三角插值892

18.3. 样条插值892

(2)一次，k次磨光函数的定义893

(2)m次半截多项式893

(1)对称差分893

18.3.2. 磨光函数与B样条函数893

(3)k次B样条894

18.3.3. 二次样条插值895

(1)k次多项式样条函数895

(3)二次样条插值问题1895

(2)函数集合S？(π，k)895

(4)二次样条插值问题2896

(5)插值余项897

18.3.4. 三次样条插值897

(1)插值问题897

(2)最小模性质898

(3)最佳逼近性质898

(4)非等距节点三次样条函数表达式898

(5)等距节点三次样条函数表达式900

(1)分片双一次插值902

18.4. 曲面插值902

(6)插值余项902

18.4.1. 矩形域上分片插值902

(2)分片不完全的双二次插值903

(1)问题的提法904

(2)插值函数904

18.4.2. 矩形域上分片双三次埃尔米特插值904

18.4.3. 康斯曲面906

(1)插值算子906

(2)布尔和906

(3)双一次康斯曲面906

(4)双三次康斯曲面907

18.5. 有理函数插值909

18.5.1. 连分式的计算909

(1)算式1909

(2)算式2909

18.5.2. 有理分式作插值函数910

(1)插值问题的提法910

(2)插值公式910

(4)逐步有理插值911

(5)误差估计公式911

(3)反差商表911

18.5.3. 帕第插值912

(1)定义912

(2)帕第插值表示式912

(3)误差公式913

18.5.4. 切比雪夫形式的帕第逼近913

(1)问题的提法913

(2)Pm(x),qn(x)的确定914

(3)误差公式914

18.6. 曲线拟合与平滑915

18.6.1. 多项式曲线拟合915

18.6.2. 指数曲线拟合916

18.6.3. 正交多项式曲线拟合917

18.6.4. 一般非线性函数的最小二乘法曲线拟合918

(1)问题的提法918

(2)高斯-牛顿法918

(3)麦夸脱法919

18.7 离散傅里叶变换的快速算法920

18.7.1. 傅里叶积分的离散化920

(1)傅里叶积分920

(2)傅里叶正变换921

(3)傅里叶逆变换921

(4)傅里叶积分的离散化921

18.7.2. 快速傅里叶变换(FFT)922

(1)FFT的基本方法922

(2)以2为底的快速傅里叶变换924

19.1. 数值微分927

19.1.1. 差商近似微商927

19.1.2. 运用插值函数求微商927

(1)由拉格朗日插值公式求微商927

第十九章 数值微分·数值积分·积分方程数值解927

(2)由牛顿前插公式求微分928

(3)由贝塞尔插值公式来微分929

(4)几个常用公式930

19.1.3. 利用幂级数展开式求数值微分931

(1)由泰勒级数展开式求数值微分931

(2)几个常用公式932

19.1.4. 用三次样条函数求数值微分932

19.1.5. 外推法求数值微分933

(1)理查逊外推法误差估计式933

(2)理查逊外推序列933

(3)理查逊外推法求数值微商934

19.1.6. 将微分问题转化为积分问题935

(1)中矩形微分公式935

(2)辛浦生数值微分公式935

19.2. 插值型求积公式936

19.2.1. 一般内插求积公式936

19.2.2. 等距节点求积公式936

(1)牛顿-柯特斯公式936

(7)复化梯形公式938

(5)中矩形公式938

(6)梯形公式938

(3)牛顿-柯特斯公式的误差938

(2)柯特斯系数表938

(4)左矩形公式938

(10)柯特斯公式939

(8)辛浦生公式939

(9)复化辛浦生公式939

(11)复化柯特斯公式940

19.3. 龙贝格求积法940

19.4. 高斯型求积公式942

19.4.1. 一般高斯型求积公式942

19.4.2. 高斯-勒让德求积公式943

(1)区间［-1，1］上的高斯-勒让德求积公式943

(2)一般区间的高斯-勒让德求积公式943

(3)节点x?和系数Ak表944

19.4.3. 第一类切比雪夫积分945

19.4.4. 第二类切比雪夫积分945

19.4.5. 高斯-埃尔米特求积公式945

(1)求积公式(Ⅰ)945

(2)求积公式(Ⅱ)946

(3)节点xk和系数Ak，Bk表格946

(1)求积公式(Ⅰ)947

(2)求积公式(Ⅱ)947

19.4.6. 高斯-拉盖尔求积公式947

(3)节点xk和系数Ak，Bk表格948

(4)高斯-广义拉盖尔求积公式949

19.5. 其他几种数值积分方法950

19.5.1. 用切比雪夫级数展开的积分法950

19.5.2. 计算振荡函数的菲隆方法951

(1)计算公式951

(2)计算方案952

19.5.3. 平均抛物插值法952

19.6. 多重积分954

19.6.1. 重积分的累次积分法954

19.6.2. 二重积分的复化梯形公式955

19.6.3. 二重积分的复化辛浦生公式956

19.6.4. 重积分的高斯型求积公式957

19.6.5. 求三维单位球体上的函数的积分公式958

19.7.1. 机械求积方法960

19.7. 积分方程的近似解法960

19.7.2. 待定系数逼近法961

19.7.3. 近似退化核替代法962

19.8. 自动积分法963

(1)逐次分半中矩形公式--非自适应迭代型格式964

(2)自适应非迭代型求积公式964

19.8.1. 中矩形求积公式964

19.8.2. 辛浦生求积公式965

(1)逐次分半辛浦生公式965

(2)自适应辛浦生求积法966

(3)求二重积分的逐次分半辛浦生方法969

(2)三种常用的向量范数971

(1)向量范数的定义971

20.1. 向量和矩阵的范数971

第二十章 线性方程组的解法·矩阵求逆971

(3)向量范数的性质972

(4)矩阵范数定义972

(5)三种常用的矩阵范数972

(6)矩阵范数的性质973

(7)伏罗别牛斯范数974

20.2.1. 高斯消去法974

20.2. 线性方程组的解法974

(8)伏罗别牛斯范数的性质974

(1)高斯消去法的消元过程975

(2)回代过程976

(3)按列选主元素法976

(4)全主元素法976

20.2.2. 高斯-若当消去法977

20.2.3. 克劳特分解法解线性方程组977

(1)矩阵的三角分解977

(2)克劳特分解法978

20.2.4. 多利特勒分解法求解线性方程组979

(1)多利特勒分解979

(2)方程组AX=b求解979

20.2.5. 乔列斯基分解法解方程组980

(1)乔列斯基分解980

(2)方程组AX=b求解980

20.2.6. 解对称方程组的改进平方根法981

20.2.7. 解对称正定带型方程组的平方根法982

20.2.8. 解对称正定带型方程组的改进平方根法983

20.2.9. 解三对角方程组的追赶法984

(1)矩阵条件数定义985

20.2.10. 矩阵的条件数·病态方程组985

(2)矩阵条件数性质985

(4)摄动分析986

(3)病态方程组986

20.2.11. 解病态对称方程组的直接--迭代校正法987

20.2.12. 雅可比迭代法987

(1)雅可比迭代的分量形式988

(2)雅可比迭代的矩阵形式988

(3)雅可比迭代收敛的充要条件989

(4)雅可比迭代收敛的充分条件989

20.2.13. 赛德尔迭代法990

(1)赛德尔迭代的分量形式991

(2)赛德尔迭代法的矩阵形式991

(3)赛德尔迭代收敛的充要条件991

(4)赛德尔迭代收敛的充分条件991

(2)超松弛迭代法的矩阵形式993

(3)SOR方法的收敛条件993

(1)逐次超松弛迭代公式993

20.2.14. 超松弛迭代法993

20.2.15. 解对称正定方程组的最速下降法994

20.2.16. 分块简单迭代法995

20.2.17. 分块松弛法995

20.2.18. 解高阶稀疏对称正定方程组的变带宽法996

20.3. 矩阵求逆997

20.3.1. 伴随矩阵与逆矩阵表达式997

20.3.2. 对角阵与三角形矩阵的逆阵997

20.3.3. 用解线性方程组的方法求逆阵998

20.3.4. 正定矩阵的三角分解求逆法999

20.3.5. 矩阵分块求逆法1000

(1)分块求逆1000

(2)加边法求逆阵1001

20.3.6. 初等变换法求逆阵1002

20.3.7. 高斯-若当法求逆阵1003

(1)高斯-若当消去法1003

(2)求正定矩阵之逆阵的高斯-若当法1003

20.3.8. 全主元素法求逆阵1004

20.3.10. 叶尔索夫法求逆阵1005

(1)矩阵按列分解式1005

20.3.9. 消秩法求逆的快速紧凑格式1005

(2)矩阵求逆格式1005

20.3.11. 迭代法求逆阵1006

第二十一章 方程解法、非线性方程组解法1007

21.1. 方程解法1007

21.1.1. 二分法1007

21.1.2. 秦九韶法(和纳法)1008

21.1.3. 一般迭代法1009

(1)方程x=Φ(x)的迭代格式及收敛条件1010

(2)方程f1(x)=f2(x)的迭代格式1010

21.1.4. 贝努里法1010

(1)求按模最大实根1010

(2)误差估计1011

(3)求√？的牛顿法1011

(2)求按模最小实根1011

21.1.5. 一般牛顿法1011

(1)迭代公式1011

21.1.7. 牛顿-麦奇利法1012

21.1.6. 近似牛顿法1012

21.1.8. 逐次压缩牛顿法1013

21.1.9. 牛顿-下山法1013

21.1.10. 求复系数多项式零点的牛顿法1014

21.1.11. 弦截法1016

(1)单点弦截法1016

(3)平行弦截法1017

(2)双点弦截法1017

21.1.12. 改进的弦截法1018

21.1.13. 联合法(牛顿法与弦截法联合使用)1019

(1)迭代公式(Ⅰ)1019

(2)迭代公式(Ⅱ)1020

21.1.14. 多点迭代法1020

21.1.15. 劈因子法(林士谔-赵访熊法)1021

21.1.16. 米勒尔方法(二次标值法)1023

21.1.17. 钱伯斯法1024

21.1.19. 蒙特卡洛方法求复根1026

21.1.18. 蒙特卡洛方法求实根1026

(2)埃特金加速方法1027

21.1.20. 迭代的收敛阶和埃特金加速收敛方法1027

(1)迭代法的收敛阶1027

21.2. 非线性方程组的解法1028

21.2.1. 迭代程序的收敛性与收敛速度1028

(1)迭代程序的收敛性1029

(2)迭代程序的收敛速度1029

21.2.2. 解非线方程组的一般迭代法1029

(1)迭代公式1029

(1)牛顿法1030

21.2.3. 解非线方程组的牛顿法及其变形1030

(2)误差估计1030

(2)带松弛因子的牛顿法1031

(3)带阻尼因子的牛顿法1032

(4)修正牛顿法1032

21.2.4. 解牛顿方程组的直接方法1032

(1)牛顿方程组1032

(2)牛顿程序的计算步骤1033

21.2.5. 解牛顿方程组的松弛型方法1035

(2)牛顿-SOR方法1035

(1)混合迭代程序1035

(1)拟牛顿法的迭代程序1036

(3)牛顿-雅可比迭代法1036

21.2.6. 拟牛顿法1036

(2)布罗伊登秩1算法1037

(3)对称秩1算法1037

(4)单参数秩2算法1038

21.2.7. 梯度法(最速下降法)1039

21.2.8. 蒙特卡洛方法求非线性方程组的一组实根1040

22.1. 特征值的界1042

(1)圆盘定理1042

(2)实对称矩阵的特征值定理1042

(3)其他有关性质1042

第二十二章 矩阵特征值的计算1042

22.2. 幂法·逆幂法1043

22.2.1. 幂法1043

22.2.2. 瑞利商1044

22.2.3. 移位法1045

22.2.4. 埃特金加速方法(δ2过程)1045

22.2.5. 逆幂法1046

22.3. 降阶法1047

22.4. 雅可比方法1048

22.4.1. 雅可比算法1049

(1)基本思想1049

(2)雅可比算法1049

22.4.2. 古典的雅可比方法1050

22.5. 求实对称方阵特征值的二分法1051

22.5.1. 对称三对角方阵特征值的性质1051

22.5.2. 计算步骤1052

22.6.1. QR算法1053

(1)计算公式1053

(2)收敛定理1053

22.6. QR算法及扩展的QR方法1053

22.6.2. 扩展的QR方法1054

22.7. 子空间迭代法1057

(1)基本算法1057

(1)定义1059

22.8. 广义特征值问题的解法1059

(2)收敛性1059

22.8.1. 一般广义特征值问题的解法1059

(2)化一般广义特征值问题为标准特征值问题1060

22.8.2. 广义特征值问题AX=λBX的解法1060

(1)化AX=λBX为标准特征值问题1061

(2)两次旋转法1061

(3)逆幂法1062

(4)同时逆幂法1062

(5)极小化方法1063

22.8.3. 特征值问题ABX=λX的解法1064

23.1. 一阶常微分方程初值问题的数值解法1065

23.1.1. 欧拉方法·改进欧拉方法1065

(1)欧拉法1065

第二十三章 常微分方程数值解法1065

(2)改进欧拉法1066

23.1.2. 泰勒方法1066

(2)二阶龙格-库塔公式1067

23.1.3. 显式龙格-库塔方法1067

(1)显式龙格-库塔公式的一般形式1067

(3)三阶龙格-库塔公式1068

(4)四阶龙格-库塔法1069

(5)五阶龙格-库塔法1070

23.1.4. 隐式龙格-库塔公式1071

(1)一般形式1071

(2)三个常用的公式1071

23.1.5. 半隐式龙格-库塔公式1073

(1)一般形式1073

(2)罗赛布诺克半隐式公式1073

23.1.6. 默森单步方法1073

23.1.7. 理查逊外推法1074

(1)外推法的思想及作法1074

(2)有理外推法1075

23.1.8. 线性多步法的一般公式1077

(1)线性q阶k步方法1077

(2)一般线性二步法1078

(3)一般隐式方法的雅可比迭代格式1079

(4)牛顿-赖普松迭代法1079

23.1.9. 阿达姆斯显式公式1080

(1)公式的一般形式1080

(3)部分阿达姆斯显式公式及其局部截断误差1081

(2)局部截断误差1081

(1)一般形式1082

23.1.10. 阿达姆斯隐式公式1082

(2)局部截断误差1083

(3)部分阿达姆斯隐式公式及其局部截断误差1083

(4)阿达姆斯隐式公式的迭代解法1083

23.1.11. 预测-校正法1084

(1)最简单的预测-校正公式1084

(2)一般的预测-校正公式1085

(3)阿达姆斯预测-校正公式1087

(4)密伦方法1088

(5)哈明方法1089

23.2. 常微分方程组的数值解法1090

23.2.1. 一般形式的一阶常微分方程组及初始值问题1090

23.2.2. 定步长改进欧拉法1090

23.2.3. 四阶龙格-库塔方法1090

23.2.4. 六阶龙格-库塔公式1092

23.2.5. 基尔方法1093

23.2.6. 库塔-默森法1094

23.2.7. 特雷纳方法求解刚性常微分方程组初值问题1095

23.3. 高阶微分方程的数值解法1096

23.3.1. 高阶方程简化为一阶方程组求解1096

23.3.2. 高阶方程的直接方法1096

(1)泰勒级数方法1096

(2)龙格-库塔方法1097

23.3.3. 不显含一阶导数的二阶方程的特殊计算方法1097

(2)柯卫尔公式1098

(1)史退谋公式1098

(3)戴尔公式1099

(4)诺默若夫公式1101

23.4. 常微分方程边值问题的数值解法1101

23.4.1. 化边值问题为初值问题1101

23.4.2. 试射法(打靶法)1102

(1)解第一边值问题1102

(2)解第三边值问题1103

23.4.3. 解线性边值问题的差分方法1104

(1)第一边值问题的差分方程组1104

(2)第二边值问题的差分方程组1105

(3)第三边值问题的差分方程组1105

23.4.4. 解非线性边值问题的差分方法1106

(1)非线性差分方程的迭代解法1106

(2)牛顿-赖普松迭代1107

23.4.5. 样条函数在解两点边值问题上的应用1108

24.1.2. 常用线性有限差分算子1110

24.1.1. 网格剖分1110

24.1. 预备知识1110

第二十四章 偏微分方程的有限差分方法1110

24.1.3. 常用差商公式1111

24.2. 抛物型方程的有限差分方法1112

24.2.1. 一维热传导混合问题的离散化1112

24.2.2. 常用差分格式1113

(1)古典显式差分格式1113

(4)加权六点格式1115

(3)克兰克-尼科尔森格式(六点格式)1115

(5)理查逊显式格式1116

(6)杜福特-弗兰克尔显式格式1117

24.2.3. 第三边界条件的差分近似1117

(1)第一种方法1118

(2)第二种方法1118

24.2.4. 若干推广1119

(1)带有低阶项的方程的推广1119

(2)非对称格式1119

(3)变系数方程1120

24.2.5. 拟线性与非线性抛物型方程1121

(1)较简单的拟线性方程1121

(2)一般的拟线性方程1122

(3)非线性方程1123

24.2.6. 二维抛物型问题的差分方法1123

(1)古典显格式1124

(2)九点显格式1124

(3)萨尔耶夫显格式1124

(7)高精度隐格式(费尔维德尔格式)1125

(6)克兰克-尼科尔森隐格式1125

(4)杜福特-弗兰克尔显格式1125

(5)隐式格式1125

(8)ADE方法(交替方向显式方法)1126

(9)ADI方法(交替方向隐式方法)1126

24.2.7. 三维抛物型问题的差分方法1127

(1)D-R(多格拉斯-拉奇福德)方法1128

(2)F-M(费尔维德尔-米切尔)方法1128

(3)局部-维格式(C-N格式)1129

24.3. 椭圆型方程的有限差分方法1129

24.3.1. 二维泊松方程边值问题1129

(1)矩形网格上的差分格式1130

(2)第一边界条件的离散化1132

(3)第三边界条件的离散化1133

(4)三角形网格、六边形网格及其差分格式1133

(5)极坐标下的差分格式1135

24.3.2. 一般二阶椭圆型问题1136

24.3.3. 双调和方程的边值问题1137

(2)不等距步长的差分格式1137

(1)常用的差分格式1137

(1)双调和方程的差分格式1138

(2)差分方程组的建立1138

24.3.4. 三维空间的有限差分方法1139

(1)D-R(多格拉斯-拉奇福德)格式1140

(2)D(多格拉斯)格式1140

24.4.1. 一阶双曲型方程的差分解法1141

(1)常用的差分格式1141

24.4. 双曲型方程的有限差分方法1141

(2)跳点格式(显式格式)1144

(3)R-W(罗比茨-韦斯格式)1144

(4)2SLW(2步拉格斯-温德罗夫)格式1145

(5)3步格式1145

24.4.2. 一阶双曲型方程组的差分解法1146

(1)L-W(拉格斯-温德罗夫)格式1146

(2)C-N(克兰克-尼科尔森)格式1147

24.4.3. 一阶守恒双曲型方程(组)的差分解法1147

(4)2SGM(2步高尔拉伊-莫里斯)格式1148

(3)2SLW(2步拉格斯-温德罗夫)格式1148

(1)拉格斯格式1148

(2)L-W格式1148

24.4.4. 一阶高维双曲型方程(组)的差分解法1149

(1)L-W(拉格斯-温德罗夫)格式1150

(2)温德罗夫格式1151

(3)C-N(克兰克-尼科尔森)格式1152

(4)2SLW(2步拉格斯-温德罗夫)格式1152

(5)ADI格式(交替方向隐格式)1152

(6)解守恒型方程组的若干格式1154

24.4.5. 二阶双曲型方程的差分解法1156

(1)模型问题的差分方法1156

(2)混合型二阶方程的差分解法1158

(3)二阶高维双曲型方程的差分解法1160

24.4.6. 解拟线性双曲型方程组的特征线法1163

24.5. 离散方程的解法1167

24.5.1. 直接解法1167

(1)分块追赶法1167

(2)带状矩阵消元法1168

(3)变带宽消元法1169

(4)波前法1170

24.5.2. 迭代解法1171

(1)雅可比迭代法1171

(2)高斯-赛德尔迭代法1172

(3)SOR方法(逐次起松弛迭代法)1172

(4)线迭代法与块迭代法1173

(5)SSOR方法(对称逐次超松弛方法)1175

(6)ADI方法1176

25.1.1. 变分原理与广义解1177

第二十五章 偏微分方程的有限元方法及其他方法1177

25.1. 有限元方法的基本思想1177

(1)里兹意义下的变分问题(最小位能原理)1178

(2)伽辽金意义下的变分问题(虚功原理)1178

25.1.2. 古典里兹-伽辽金方法1178

(1)里兹方法1178

(2)伽辽金方法1179

25.1.3. 有限元算法的主要步骤1179

25.2.1. 若干定义1180

25.2. 基本单元与插值基函数1180

25.2.2. 一维区间［-1，1］上的插值基函数1181

25.2.3. 二维区域上的三角剖分及其基函数1183

(1)面积坐标(重心坐标)1183

(2)常用的三角形单元1185

25.2.4. 二维区域上的矩形剖分及其基函数1193

25.2.5. 任意四边形单元、曲边单元与等参单元1194

(1)任意四边形元1198

(2)八节点四边元1200

(1)四节点四面体元1201

25.2.6. 三维空间的单元剖分及基函数1201

(2)十节点四面体元1202

(3)六节点五面体元1203

(4)十五节点五面体元1203

(5)八节点六面体元(三线性L元)1203

(6)二十节点六面体元(不完全三二次L元)1203

(7)三十二节点六面体元(不完全三三次L元)1204

(8)八节点六面体H元1205

25.3.1. 二阶常微分方程边值问题1206

(9)威尔逊砖1206

25.3. 若干边值问题、初边值问题的有限元算法1206

(1)伽辽金形式的变分方程1207

(2)剖分与增值1207

(3)单元分析1207

(4)总体合成1209

(5)约束处理1209

(1)伽辽金形式的变分方程1210

(2)剖分与插值1210

25.3.2. 二维泊松方程边值问题1210

(3)单元分析1211

(4)总体合成1212

(5)分块二次多项式插值1212

25.3.3. 平面弹性问题1213

(1)基本物理量与关系式1213

(2)伽辽金形式的变分方程1214

(3)剖分与插值1214

(4)单元分析与总体合成1215

(5)约束处理1216

25.3.4. 空间弹性问题1217

(1)基本物理量与关系式1217

(2)部分与插值1218

(3)单元分析与总体合成1218

25.3.5. 板弯曲问题与双调和方程1220

(1)基本物理量与关系式1220

(2)模型问题的虚功方程1221

(4)单元分析与总体合成1222

(3)剖分与插值1222

(5)约束处理1223

(6)双调和方程边值问题的其他解法1223

25.3.6. 一维抛物型问题1224

(1)半离散化1224

(2)对时间变量的离散化1225

25.3.8. 平面弹性动力问题1229

(1)半离散化1230

(2)对时间变量的离散化1231

25.4.2. 三角形单元e1232

25.4. 常用的数值积分公式1232

25.4.1. 线段单元e1232

25.4.3. 四面体单元e1233

25.5. 其他近似解法1234

25.5.1. 最小二乘法1234

25.5.2. 特勒夫茨方法1235

25.5.3. 直线法1237

第二十六章 离散数学1239

26.1. 数理逻辑1239

26.1.1. 命题逻辑1239

(1)命题联结词1239

(2)命题等价式1240

(3)永真(重言)蕴涵式1241

(4)对偶式1242

(5)范式1242

26.1.2. 谓词逻辑1243

(1)单量词的谓词演算等价式1243

(3)多量词的谓词演算等价式和永真蕴涵式1244

(2)单量词的谓词演算永真蕴涵式1244

(4)前束范式1245

(5)谓词演算的推论理论1245

26.2. 集合论1246

26.2.1. 基本概念1246

(1)集合1246

(2)集合的运算1246

(3)包含排斥原理1249

(4)序偶与笛卡儿乘积1249

(1)关系及其表示1250

26.2.2. 关系1250

(2)关系的性质1251

(3)关系的运算1251

(4)几类重要的二元关系1253

26.2.3. 函数1255

(1)定义1255

(2)分类1256

(3)逆函数与复合函数1256

(1)定义(描述性)1257

26.2.4. 基数1257

(4)特殊函数1257

(2)分类1258

(3)基数的比较1258

26.3. 代数系统1259

26.3.1. 一般代数系统1259

26.3.2. 特殊代数系统1261

(1)定义1261

(2)性质1262

(3)子系统1265

(4)同态与同构1267

(5)特殊结构1271

(6)积代数与商代数1276

26.4. 图论1280

26.4.1. 无向图的基本概念1280

(1)图与子图1280

(2)图的运算1281

(3)图的同构与同态1285

(1)连通性1286

26.4.2. 无向图的一般性质1286

(2)划分1287

(3)覆盖1287

(4)因子分解1288

(5)可着色性1288

(6)可计数性1290

26.4.3. 无向图的代数表示1293

(1)图的矩阵表示1293

(2)空间表示1295

(1)E图、H图1296

26.4.4. 特殊无向图1296

(2)平面图1297

(3)对偶图1297

(4)拓扑不变量1297

26.4.5. 有向图1301

(1)矩阵表示1301

(2)特殊有向图1302

(2)运算1304

(1)定义1304

27.1. 模糊集论1304

第二十七章 模糊数学1304

27.1.1. 模糊子集1304

(3)模糊集的运算1305

(4)模糊集运算的性质1306

(5)模糊集与普通集的相互转化1307

(6)最大隶属原则1309

(7)模糊集的模运算(最一般形式)1309

(1)可能性分布1311

(2)R上的模糊集1311

27.1.2. 可能性分布·模糊数.模糊度1311

(3)模糊数1316

(4)模糊度·熵1319

27.1.3. 模糊关系1319

(1)定义1319

(2)表示法1320

(3)性质1321

(4)模糊关系运算的扩展1321

(5)特定的模糊关系1323

(2)贴近度1324

27.1.4. 模糊向量、贴近度与择近原则1324

(1)模糊向量1324

27.1.5. 模糊映射·模糊变换·扩展原理1328

(1)模糊映射1328

(2)模糊变换1329

(3)扩展原理1330

27.1.6. 模糊关系方程1332

(1)方程1332

(2)解法1332

(2)词组1334

(3)语气算子1334

27.2. 模糊语言1334

(1)单词1334

27.2.1. 自然语言的集合描述1334

(4)模糊化算子1335

(5)判定化算子1335

(6)语言值1335

(8)推理句1336

(7)判断句1336

27.2.2. 似然推理1337

(1)似然推理句1337

(2)似然推理1338

(3)条件语句1338

(4)多段条件语句1338

27.3. 模糊逻辑1338

27.3.1 软代数1338

(1)定义1339

27.3.2. 模糊逻辑公式1339

(2)定理1340

27.3.3. 模糊逻辑公式的极小化问题1340

(1)f-公式集合形成的软代数1340

(2)求模糊公式的唯一分解式(作为并不可约元的析取)1340

37.3.4. 模糊语言逻辑1341

(1)语言真值1341

(2)符号P与Pα的含义1341

(3)经典无限？值逻辑系统到模糊逻辑系统的推广1342

(2)性质1344

(1)定义1344

27.4. 模糊概率1344

27.4.1. 模糊事件的普通概率1344

(3)模糊概率场1345

27.4.2. 普通事件的语言概率1345

(1)定义1345

(2)概率语言值的运算法则1347

(3)语言概率的数学模型(有限情形)1347

27.4.3. 模糊事件的语言概率1348

(1)定义1348

(2)语言均值1348

27.5. 模糊统计1348

27.5.1. 二相模糊统计1348

(1) 二相模糊统计试验1348

(2)由二相模糊统计所得的隶属函数的性质1349

27.5.2. 多相模糊统计1349

(1)定义1349

(3)三分法1350

(2)由多相模糊统计所得的隶属函数的性质1350

27.6. 模糊测度与模糊积分1351

27.6.1. 模糊测度1351

(1)定义1351

(2)有关定理1352

27.6.2. 模糊积分1353

(1)定义1353

(2)有关定理1354

(1)定义1356

27.7. 模糊拓扑1356

27.7.1. 模糊拓扑空间1356

(2)有关定理1357

27.7.2. 模糊网的摩尔-史密斯收敛1358

(1)定义1358

(2)有关定理1359

27.7.3. 拓扑分子格1360

(1)定义1360

(2)有关定理1363

27.8.1. 模糊聚类分析的步聚1365

(1)标定1365

27.8. 模糊聚类分析1365

(2)聚类1368

27.9. 模型识别1368

27.9.1. 几何图形的识别1368

(1)三角形隶属函数1368

(2)四边形隶属函数1369

27.10.1. 模糊限制下的条件极值1370

(1)模糊优化集1370

(3)多边形隶属函数1370

27.10. 模糊优化(规划)1370

(2)模糊优化集的性质1371

(3)模糊限制下条件极值的确定1371

(4)r型函数及其峰域1371

(5)定理1371

(1)目标函数1372

(2)目标函数的模糊化1372

27.10.3. 多目标规划1372

27.10.2. 模糊规化(不对称模型)1372

(1)问题的提出1372

(2)多目标规划的模糊解1373

27.10.4. 模糊规划(对称模型)1373

(1)模型1373

(2)凸模糊判决1373

(1)策略集1374

(3)策略与结果的映射f1374

(2)最大化决策1374

27.11.1. 一般概念1374

27.11. 模糊决策1374

27.11.2. 多目标模糊决策1375

27.11.3. 多准则的模糊决策1375

(1)问题的提出1375

(2)决策矩阵1376

(3)最佳决策1376

27.11.4. 多级模糊决策1376

(1)问题的提出1376

(1)问题的提出1377

27.11.5. 模糊博弈1377

(2)模糊约束1377

(3)最大化决策1377

(2)模糊平衡1378

(3)平衡解1378

27.12. 模糊控制1378

27.12.1. 模糊控制的框图1378

(2)if?then?else?型1379

(3)if?and?,then?型1379

(1)if?then?型1379

27.12.2. 模糊控制规则的构成1379

(4)?型1380

第二十八章 组合数学1381

28.1. 母函数与递推关系1381

28.1.1. 母函数1381

28.1.2. 递推关系1381

(1)斐波纳奇数列1381

(2)几个等式1381

(2)拆分数估计式1382

(3)费尔图象1382

(1)整数拆分1382

28.1.3. 整数的拆分和费尔图象1382

28.1.4. 母函数的性质1383

28.1.5. 指数型母函数1383

(1)定义1383

(2)结论1383

(4)错排数1384

(3)递推关系式1384

(2)产生错排的方法1384

(1)定义1384

28.1.6. 错排问题1384

(5)有禁区的错排数1385

28.1.7. 线性常系数递推关系1385

(1)定义1385

(2)解的讨论1385

28.1.8. 斯特林数1385

(1)多项式系数1385

(1)递推关系1386

28.1.9. 卡塔兰数1386

(2)斯特林数1386

(2)卡塔兰数计算公式1387

(3)母函数方法1387

28.2. 容斥原理和鸽巢原理1387

28.2.1. 容斥原理1387

(1)公式一1387

(2)公式二1387

28.2.2. 鸽巢原理(抽屉原理)1387

(1)原理之一1387

28.2.3. 拉姆齐问题1388

(2)推论1388

(1)问题提出1388

(2)原理之二1388

(4)定理1388

(3)推论1388

(3)拉姆齐数1389

(4)置换类1390

(3)共轭类1390

(2)有关定理1390

(1)n阶循环1390

28.3. 波利亚定理1390

28.3.1. 置换1390

28.3.2. 波利亚定理1391

(1)波利亚定理1391

(2)母函数型式的波利亚定理1391

28.4. 区组设计1392

28.4.1. 拉丁方1392

(1)拉丁方1392

(2)正交拉丁方1392

(3)正交拉丁方的基本性质1392

(4)正交拉丁方的判定1392

28.4.2. 均衡不完全的区组设计BIBD1393

(1)定义1393

(2)基本性质1393

(3)区组矩阵1393

(2)有关定理1394

(3)哈达曼德矩阵的构成1394

28.4.3. 哈达曼德矩阵1394

(1)定义1394

28.5. 优先策略、分治策略与快速算法1395

28.5.1. 卷积及其应用1395

(1)卷积1395

(2)一种多项式快速的乘法1397

28.5.2. 中国剩余定理1397

(1)若干引理1397

(1)数论变换的定义1398

(2)卷积定理1398

28.5.3. 数论变换1398

(2)中国剩余定理(孙子定理)1398

28.6. NP理论1399

28.6.1. 确定型的图灵机1399

28.6.2. 可满足性问题1400

(1)问题提出1400

(2)引理1400

(3)可满足性问题1400

28.6.3. 非确定型的图灵机与库克定理1400

(5)哈密顿道路问题1401

(4)独立集、顶点覆盖问题1401

(6)划分问题1401

(1)团的问题1401

(3)定理 图的着色问题是NPC1401

(2)三元可满足性问题1401

28.6.4. NP完全问题1401

(7)若干基本NPC的转换层次1402

28.7. 近似解法1403

28.7.1. 旅行商问题的近似解法1403

(1)最近邻法1403

(2)最近插入法1403

28.7.2. 背包问题的近似解法1403

(1)0-1背包问题的提法1403

(2)有关定理1403

第二十九章 现代控制论1404

29.1. 状态空间表达式1404

29.1.1. 定义1404

29.1.2. 线性连续时间状态空间表达式1404

(1)单输入-单输出定常系统状态空间表达式1404

(3)多输入-多输出定常系统状态空间表达式1411

(2)单输入-单输出时变系统状态空间表达式1411

(4)多输入-多输出时变系统状态空间表达式1412

29.1.3. 线性离散时变系统状态空间表达式1412

(1)一般表达式1412

(2)定常离散系统状态空间表达式1413

29.1.4. 状态空间表达式的线性变换1413

(1)一般叙述1413

(2)状态空间表达式变换为约当标准型1413

(3)状态空间表达式变换为能控标准型1415

(4)状态空间表达式变换为能观标准型1416

29.1.5. 从状态空间表达式求传递函数阵1417

(1)单输入-单输出状态空间表达式的拉普拉斯变换1417

(2)多输入-多输出系统空间状态表达式的拉普拉斯变换1417

29.2. 状态空间表达式的解1418

29.2.1. 线性定常系统状态方程的齐次解1418

29.2.2. 状态转移矩阵(矩阵指数函数)1418

(1)定义1418

(2)性质1418

(3)几个特殊矩阵指数函数1419

(4)矩阵指数函数Φ(t)或e？计算1420

29.2.3. 线性定常系统状态方程的非齐次解1422

29.2.4. 线性时变系统状态方程的解1422

(1)齐次状态方程的解1422

(2)非齐次状态方程的解1423

29.2.5. 离散时间状态方程的解1423

(1)方程的解1423

(2)状态转移矩阵1423

(1)线性时变系统离散化1424

29.2.6. 连续时间状态空间表达式的离散化1424

(3)Z变换法求解1424

(2)离散化时变系统状态方程的解1425

29.3. 能控性与能观性1425

29.3.1. 能控性的定义1425

(1)线性连续时变系统能控性定义1425

(2)离散时间系统能控性定义1425

(4)线性定常单输入离散时间系统能控性判据1426

(2)多输入定常系统能控性判据1426

(3)线性时变系统能控性判据1426

29.3.2. 能控性判据1426

(1)单输入定常系统能控性判据1426

(5)从T-1AT与T-1BT判定一1427

(6)从T-1AT与T-1BT判定二1427

29.3.3. 能观性定义1427

(1)连续时间系统能观性定义1427

(1)线性定常连续系统能观性判据1428

(2)线性时变系统能观性判据1428

29.3.4. 能观性判据1428

(2)离散时间系统能观性定义1428

(3)线性离散系统的能观判据1429

(4)从T-1AT与CT判定1429

29.3.5. 能控性与能观性的对偶关系1429

(1)对偶条件1429

(2)能控性与能观性对偶关系1430

29.4. 最优控制1430

29.4.1. 最优控制的一般提法1430

(1)性能指标(即目标函数)1430

(1)基本形式1431

(2)控制域1431

29.4.2. 离散时间系统的最优控制1431

(2)具有二次型性能指标的线性系统的最优控制1432

29.4.3. 连续时间系统的最优控制1433

(1)问题的提法1433

(2)最优控制的必要条件1433

29.4.4. 用变分法求解最优控制问题1434

29.4.5. 最小时间控制1435

(1)最小值原理1435

(2)最小时间控制1436

(1)有限时间的状态调节器1437

29.4.6. 线性二次型最优控制1437

(2)输出调节器1438

(3)跟踪器1439

(4)状态观察器1441

29.4.7. 动态规划1441

(1)离散型的动态规划1441

(2)连续型的动态规划1443

(2)卡尔曼滤波公式1445

(1)系统的数学模型1445

29.5.1. 离散系统卡尔曼滤波1445

29.5. 卡尔曼滤波1445

(3)含有控制项和量测系统误差项卡尔曼滤波(卡尔曼滤波模型的推广)1446

29.5.2. 连续系统卡尔曼滤波1446

(1)系统的数学模型1446

(2)卡尔曼滤波公式1447

29.5.3. 最小方差控制与高斯控制1448

(1)最小方差控制1448

(2)线性二次型高斯控制1449

30.1.2. 熵1451

(2)熵的和1451

(1)定义1451

第三十章 信息论1451

30.1.1. 信息量定义与单位1451

30.1. 信息量与熵1451

30.1.5. 疑义度1452

30.1.4. 散布度1452

30.1.3. 剩余度1452

(5)最大熵1452

(3)熵的分解1452

(4)一阶马尔可夫过程的熵1452

30.2. 信道1453

30.2.1. 通信速度1453

30.2.2. 信道容量(编码容量)1453

30.2.3. 有错误系统的信道容量1453

30.3.3. 条件熵1454

30.3.5. 概率密度p(x)为正态分布时的熵1454

30.3.4. 两个随机过程的熵之间关系1454

30.3.2. 联合分布的熵1454

30.3.1. 连续系统的熵1454

30.3. 连续随机函数的信息量1454

30.3.6. 有错系统信息传输速度1455

30.3.7. 有噪声的线性通信系统的容量1455

30.4. 频谱1455

30.4.1. 周期函数的频谱1455

30.4.2. 非周期函数的频谱1456

30.4.6. 维纳-辛钦关系(自相关函数的傅里叶变换功率频谱)式1457

30.4.5. 抽样函数1457

30.4.3. 自相关函数1457

30.4.4. 互相关函数1457

30.4.7. 巴什瓦等式1458

30.5. 抽样定理1458

30.5.1. 抽样定理Ⅰ1458

30.5.2. 抽样定理Ⅱ1458

30.5.3. 频带宽度为ω赫的线性信道容量1459

30.6. 信道的传输特性1459

30.6.1. 线性信道的频率特性用复数矢量表示式1459

30.6.2. 线性信道的频率特性用傅里叶级数表示式1459

30.6.3. 线性信道的频率特性用傅里叶变换表示式1459

30.6.4. 线性信道的频率特性用拉普拉斯变换表示式1460

30.7. 信道的频率特性与信息量1460

30.7.1. 由于带宽限制信道损失的熵1460

30.7.2. 输入输出熵之间关系1461

31.1.1. 线性规划1462

(1)数学模型1462

第三十一章 系统工程1462

31.1. 规划论1462

(2)单纯形解法1463

(3)对偶问题1466

31.1.2. 整数规划1467

(1)数学模型1467

(2)分枝定界解法1468

(3)割平面解法1468

(2)拉格朗日解法1470

31.1.3. 非线性规划1470

(1)数学模型1470

(3)外点法1471

(4)内点法1472

31.2. 系统预测技术1474

31.2.1. 时间序列预测法1474

(1)算术平均数法1474

(2)加权平均数法1474

(4)一次移动平均法1475

(3)调和平均数法1475

(5)二次移动平均法1476

(6)指数平滑预测法1476

31.2.2. 回归分析预测法1477

(1)一元线性回归法1477

(2)多元回归法1478

31.2.3. 马尔可夫分析预测法1478

(2)泊松流(最简单流)1479

(1)定长输入1479

31.3.1. 系统的输入1479

31.3. 排除论模型1479

(3)负指数输入1480

(4)埃尔朗输入1480

31.3.2. 几个排队系统的模型1480

(1)单服务台M/M/1模型1480

(2)多服务台M/M/C模型(即并列C个服务台)1482

(3)一般服务时间M/G/1模型1485

31.4. 存储论模型1486

31.4.1. 确定性存储模型1486

(1)瞬时进货，不允许缺货的模型1486

(2)非瞬时进货，不允许缺货的模型1487

(4)非瞬时进货，允许缺货的模型1489

(3)瞬时进货，允许缺货的模型1489

31.4.2. 随机性存储模型1490

(1)生产时间很短，需求是离散随机的模型1490

(2)生产时间很短，需求是连续随机的模型1491

(3)定期订购制存储模型1492

31.5.2. 最优纯策略1493

(1)有鞍点的对策1493

31.5.1. 矩阵对策的数学模型1493

31.5. 对策论1493

(2)无鞍点的对策1494

(3)有关定理1494

31.5.3. 混合策略1494

(1)定义11494

(2)定义21495

31.5.4. 矩阵对策的解法1495

(1)二人有限零和对策的解法1495

(2)二人有限零和对策最优混合策略的解法(线性规划解法)1495

表1 椭圆积分数值表1497

附录1497

表2 Г(x)函数表1499

表3 贝塞尔函数表1501

表4 正态分布的密度函数表1502

表5 正态分布表1504

表6 正态分布的双侧分位数(uo)表1508

表7 X2分布表1509

表8 X2分布的上侧分位数(X2n)表1512

表9 t分布表1514

表10 t分布的双侧分位数(tα)表1518

表11 F检验的临界值(Fα)表1520

表12 二项分布表1530

表13 泊松分布表1534

表14 柯尔莫哥洛夫检验的临界值{D？}表1546

表15 D？的极限分布表1548

表16 正交拉丁方表1549

表17 正交表1552

表18 随机数表1575

常见外国数学家译名表1579