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第一章 算术和代数1

1.1 实数1

1.1.1 实数的分类1

1.1.2 有序性(不等式)1

1.1.3 区间2

1.1.4 绝对值3

1.1.5 符号4

1.2 基本运算4

1.2.1 加法和减法4

1.2.2 乘法5

1.2.3 除法6

1.2.4 乘方(幂)10

1.2.5 开方13

1.2.6 二项式定理17

1.2.7 二项式系数19

1.3 比例和平均值21

1.3.1 比例21

1.3.2 线性插值法23

1.3.3 平均值24

1.4 常用(以10为底的)对数26

1.5 复数28

1.5.1 定义与表示法28

1.5.2 复数的运算31

1.5.2.1 加法与减法31

1.5.2.2 乘法31

1.5.2.3 乘方31

1.5.2.4 除法33

1.5.2.5 开方33

1.6 排列与组合35

1.6.1 全排列35

1.6.2 组合36

1.6.3 选排列36

1.7 行列式38

1.7.1 定义与记法38

1.7.2 行列式的计算39

1.7.3 行列式的性质41

1.8 代数方程42

1.8.1 一元方程42

1.8.1.1 一元一次方程(线性方程)43

1.8.1.2 一元二次方程(平方方程)43

1.8.1.3 一元三次方程(立方方程)45

1.8.1.4 一元四次方程49

1.8.1.5 一元n次方程52

1.8.2 方程组55

1.8.2.1 线性方程(一次方程)组55

1.8.2.2 非线性方程组59

1.9 初等级数61

1.9.1 算术级数61

1.9.2 几何级数65

1.9.3 复利与年金计算66

第二章 平面几何与立体几何68

2.1 平面几何68

2.1.1 角与角间关系68

2.1.2 三角形69

2.1.2.1 角与边间相互关系69

2.1.2.2 全等定理70

2.1.2.3 相似定理71

2.1.2.4 对称性72

2.1.2.5 三角形的特殊线段74

2.1.2.6 一般三角形公式76

2.1.2.7 特殊三角形79

2.1.3 四边形80

2.1.3.1 一般四边形80

2.1.3.2 梯形81

2.1.3.3 平行四边形82

2.1.3.4 菱形82

2.1.3.5 矩形82

2.1.3.6 正方形82

2.1.3.7 圆内接四边形83

2.1.3.8 外切四边形83

2.1.4 正n边形84

2.1.5 圆86

2.1.5.1 一般性质86

2.1.5.2 圆公式87

2.2 立体几何94

2.2.1 多面体94

2.2.1.1 一般概念与定理94

2.2.1.2 棱柱94

2.2.1.3 棱锥96

2.2.1.4 正多面体98

2.2.2 曲面体100

2.2.2.1 柱100

2.2.2.2 锥103

2.2.2.3 球105

2.2.2.4 旋转体108

第三章 三角111

3.1 圆函数111

3.1.1 角的度量111

3.1.2 三角函数定义114

3.1.3 三角函数的图象117

3.1.4 振幅变化和周期变化，相位差119

3.1.5 简谐振动120

3.1.6 三角函数间关系123

3.1.6.1 同角三角函数间关系123

3.1.6.2 和角公式125

3.1.6.3 和差化积公式127

3.1.6.4 三角函数积公式128

3.1.6.5 倍角公式129

3.1.6.6 半角公式129

3.1.6.7 三角函数乘方公式130

3.1.6.8 三个角的三角函数间关系131

3.2 平面三角132

3.2.1 直角三角形132

3.2.2 斜三角形133

3.2.2.1 基本公式133

3.2.2.2 一般三角形解法135

3.2.2.3 三角形特殊量计算137

3.2.2.4 大地测量的基本问题138

3.3 球面三角140

3.3.1 球面几何140

3.3.2 球面直角三角形141

3.3.3 球面斜三角形143

3.3.4 绕大圆飞行、等角线飞行(斜航)147

第四章 平面解析几何150

4.1 坐标系与坐标变换150

4.1.1 平面坐标系150

4.1.2 直角坐标变换153

4.2 平面上的点155

4.2.1 直线上的点155

4.2.2 多边形的重心与面积160

4.3 直线161

4.3.1 直线方程161

4.3.2 直线的特性165

4.3.2.1 两直线的交点165

4.3.2.2 两直线夹角166

4.3.2.3 直线的垂直与平行166

4.3.2.4 点到直线的垂直距离166

4.3.2.5 角平分线166

4.3.2.6 三直线共点167

4.3.2.7 直线束167

4.4 圆170

4.4.1 圆心方程170

4.4.2 一般二次式170

4.4.3 圆与直线相交171

4.4.4 切线与法线171

4.4.5 极点与极线173

4.4.6 同心圆173

4.4.7 圆束，根轴173

4.5 椭圆与双曲线176

4.5.1 一般性质176

4.5.1.1 曲线方程177

4.5.1.2 等边轴双曲线，共轭双曲线177

4.5.1.3 一般二次式179

4.5.1.4 焦点特性181

4.5.1.5 切线与法线181

4.5.1.6 直径与共轭直径184

4.5.1.7 极点与极线185

4.5.1.8 曲率圆185

4.5.1.9 双曲线的渐近线和以渐近线为坐标轴的双曲线方程186

4.5.2 作图189

4.5.2.1 求作曲线上点189

4.5.2.2 求准线191

4.5.2.3 求与直线的交点192

4.5.2.4 求切线192

4.5.2.5 求共轭直径194

4.5.2.6 求顶点处曲率圆195

4.6 抛物线196

4.6.1 顶点方程196

4.6.2 一般二次式197

4.6.3 直线与抛物线相交198

4.6.4 切线与法线199

4.6.5 极点与极线200

4.6.6 直径201

4.6.7 曲率圆202

4.6.8 抛物线弓形面积202

4.7 主轴变换204

第五章 空间解析几何211

5.1 坐标系211

5.1.1 直角坐标系211

5.1.2 一般曲线坐标系212

5.1.3 球坐标系212

5.1.4 圆柱坐标系213

5.2 直角坐标变换214

5.2.1 平移214

5.2.2 旋转215

5.3 空间中的点与方向218

5.4 空间中的平面219

5.4.1 平面方程219

5.4.2 特殊性质221

5.5 直线224

5.5.1 直线方程224

5.5.2 特性227

5.6 空间曲面229

5.6.1 概述229

5.6.1.1 曲面方程229

5.6.1.2 曲线坐标230

5.6.1.3 切平面与法线230

5.6.1.4 奇点232

5.6.1.5 线元与面元，第一基本量234

5.6.1.6 曲线坐标线的方向余统与夹角234

5.6.1.7 法截线，主法截线，曲率235

5.6.1.8 曲面的映像240

5.6.2 二次曲面240

5.7 空间曲线245

5.7.1 表示法245

5.7.2 主要量246

5.7.2.1 切线246

5.7.2.2 法平面247

5.7.2.3 密切平面247

5.7.2.4 主法线248

5.7.2.5 次法线248

5.7.2.6 从切平面249

5.7.3 曲率与挠率249

5.7.4 伴随三棱形主方程组258

第六章 微分学260

6.1 数列的极限260

6.2 函数的一般性质263

6.2.1 函数概念及其分类263

6.2.2 函数的极限269

6.2.2.1 右极限与左极限269

6.2.2.2 一般极限运算法则270

6.2.2.3 渐近逼近272

6.2.2.4 函数的阶272

6.2.2.5 一些特殊极限273

6.2.3 连续275

6.2.4 反函数277

6.3 初等函数278

6.3.1 整有理函数(多项式)278

6.3.2 分式有理函数281

6.3.3 无理函数284

6.3.4 指数函数和对数函数287

6.3.5 三角函数和反三角函数290

6.3.6 双曲函数和反双曲函数297

6.3.6.1 双曲函数的定义和一般性质297

6.3.6.2 双曲函数间关系298

6.3.6.3 反双曲函数302

6.3.6.4 反双曲函数间关系304

6.4 导数与微分305

6.4.1 差商、微商与微分305

6.4.2 右导数和左导数，可微性308

6.4.3 一般求导数法310

6.4.4 初等函数的一阶导数315

6.4.5 高阶导数与高阶微分317

6.4.6 微分学的基本定理320

6.5 微分法的特殊应用321

6.5.1 极大值与极小值321

6.5.2 曲线讨论325

6.5.3 求不定式的极限328

6.5.4 平面曲线的微分几何332

6.5.4.1 切线方程与法线方程332

6.5.4.2 弧元，弧长333

6.5.4.3 两曲线的相切333

6.5.4.4 曲率与曲率圆334

6.5.4.5 渐屈线与渐开线335

6.5.4.6 包络线337

6.5.4.7 奇点339

6.5.4.8 渐近线341

6.6 函数的参数表示式342

6.6.1 定义与一般性质342

6.6.2 导数343

6.6.3 极值，曲线讨论344

6.6.4 微分几何344

6.6.4.1 切线与法线344

6.6.4.2 弧元，弧长345

6.6.4.3 曲率与曲率圆345

6.6.4.4 渐屈线，渐开线，包络线345

6.6.4.5 渐近线345

6.6.5 用参数表示的特殊曲线347

6.6.5.1 摆线347

6.6.5.2 圆外摆线，圆内摆线351

6.7 函数的极坐标表示式355

6.7.1 定义与一般性质355

6.7.2 导数355

6.7.3 微分几何356

6.7.4 特殊曲线的极坐标表示式357

6.8 函数的级数展开363

6.8.1 泰勒级数与马克劳林级数363

6.8.2 一些重要的幂级数366

6.9 多变量函数375

6.9.1 几何表示、一般性质375

6.9.2 偏导数，全微分377

6.9.2.1 一阶偏导数377

6.9.2.2 高阶偏导数378

6.9.2.3 微分380

6.9.2.4 复合函数的全微分381

6.9.2.5 隐函数的微分382

6.9.2.6 对给定方向的导致383

6.9.3 泰勒级数383

6.9.4 极值384

6.9.4.1 自由极值384

6.9.4.2 条件极值387

6.9.5 变量变换389

6.9.5.1 单变量函数389

6.9.5.2 两个变量的函数392

第七章 积分学396

7.1 不定积分396

7.1.1 定义与一般性质396

7.1.2 基本积分表397

7.1.3 积分法398

7.1.3.1 变量替换法399

7.1.3.2 分部积分法400

7.1.3.3 部分分式展开403

7.1.3.4 通过展开成级数求积分407

7.1.4 初等函数的积分408

7.1.4.1 有理函数的积分408

7.1.4.2 无理函数的积分411

7.1.4.3 三角函数和双曲函数的积分415

7.1.4.4 其它超越函数的积分418

7.2 积分表420

7.2.1 有理函数的积分420

7.2.2 无理函数的积分428

7.2.3 指数函数的积分439

7.2.4 对数函数的积分441

7.2.5 三角函数的积分443

7.2.6 反三角函数的积分452

7.2.7 双曲函数的积分454

7.2.8 反双曲函数的积分459

7.3 定积分461

7.3.1 定义与基本性质461

7.3.2 定积分运算法则464

7.3.3 中值定理.特殊中值465

7.3.4 积分不等式.估值466

7.3.5 广义积分468

7.3.5.1 无穷限积分468

7.3.5.2 无界函数的积分470

7.3.5.3 定积分表471

7.3.6 特殊函数473

7.3.6.1 正弦积分与余弦积分473

7.3.6.2 双曲正弦积分与双曲余弦积分474

7.3.6.3 指数积分与对数积分474

7.3.6.4 Γ-函数与P P函数475

7.3.6.5 椭圆积分476

7.3.7 依赖于(含)参数的积分478

7.3.7.1 对参数的微商479

7.3.7.2 对参数的积分479

7.4 积分在几何和物理中的应用480

7.4.1 求面积480

7.4.2 求弧长484

7.4.3 求旋转体体积485

7.4.4 卡瓦利原理486

7.4.5 求旋转体面积486

7.4.6 求静力矩487

7.4.7 求转运惯量488

7.4.8 求重心(坐标)489

7.5 曲线积分与多重积分491

7.5.1 曲线积分491

7.5.1.1 第一类曲线积分491

7.5.1.2 一般曲线积分493

7.5.1.3 势495

7.5.2 重积分498

7.5.3 三重积分501

7.5.3.1 多重积分变换504

7.5.4 曲面积分505

7.5.4.1 对曲面面积的曲面积分505

7.5.4.2 一般曲面积分506

7.5.5 曲线积分.曲面积分和空间积分间关系508

7.6 重积分在力学和物理学中的应用510

第八章 向量516

8.1 向量代数516

8.1.1 基本概念516

8.1.2 向量的加减517

8.1.3 向量与标量相乘518

8.1.4 单位向量518

8.1.5 向量的分量表示式518

8.1.6 方向余弦520

8.1.7 线性关系521

8.1.8 向量乘法522

8.1.8.1 标量(内)积522

8.1.8.2 向量(外)积525

8.1.8.3 向量的多重复合积526

8.2 向量分析528

8.2.1 微分法528

8.2.1.1 向量函数及其导数528

8.2.1.2 标量场，梯度531

8.2.2 向量场·流·散度·旋度534

8.2.2.1 向量场534

8.2.2.2 散度537

8.2.2.3 流537

8.2.2.4 源和漏538

8.2.2.5 无源场539

8.2.2.6 旋度540

8.2.2.7 环流542

8.2.2.8 无涡场543

8.2.2.9 拉普拉斯场543

8.2.3 算子运算544

8.2.4 积分定理545

8.2.4.1 高斯定理545

8.2.4.2 斯托克斯定理547

8.2.4.3 格林定理547

第九章 无穷级数549

9.1 数项级数549

9.1.1 定义549

9.1.2 一般收敛定理550

9.1.3 绝对收敛和条件收敛553

9.1.4 一些特殊数项级数555

9.2 函数项级数557

9.2.1 定义557

9.2.2 一致收敛557

9.2.3 幂级数559

9.2.3.1 收敛性559

9.2.3.2 幂级数运算560

9.3 傅立叶级数561

9.3.1 定义与一般性质561

9.3.2 收敛性565

9.3.3 一些特殊傅立叶级数566

第十章 常微分方程570

10.1 分类·记法·一般性质570

10.2 一阶微分方程571

10.2.1 表示法·存在定理571

10.2.2 一阶一次微分方程571

10.2.2.1 直接积分法572

10.2.2.2 分离变量法572

10.2.2.3 变量替换法573

10.2.2.4 齐次微分方程574

10.2.2.5 全(恰当)微分方程577

10.2.2.6 积分因子578

10.2.2.7 线性微分方程579

10.2.2.8 伯努利微分方程581

10.2.2.9 黎卡提微分方程582

10.2.3 一阶高次微分方程584

10.2.3.1 按y 可解的方程584

10.2.3.2 按y可解的方程585

10.2.3.3 按x可解的方程586

10.2.3.4 不显含y的方程587

10.2.3.5 不显含x的方程588

10.2.3.6 二次齐次方程588

10.2.3.7 奇解590

10.2.4 特殊应用591

10.2.4.1 曲线族的微分方程591

10.2.4.2 正交轨线族592

10.2.4.3 等角轨线族592

10.3 二阶微分方程593

10.3.1 一般解法593

10.3.2 二阶线性微分方程599

10.3.2.1 齐次方程的解599

10.3.2.2 非齐次方程的解600

10.3.3 常系数线性微分方程602

10.3.3.1 齐次方程的解602

10.3.3.2 非齐次方程的解603

10.4 高阶微分方程606

10.4.1 一般解法606

10.4.2 特殊解法608

10.4.3 线性微分方程611

10.4.4 常系数线性微分方程613

10.5 微分方程组616

10.5.1 一般一阶微分方程组616

10.5.2 常系数一阶微分方程组618

第十一章 数值解法621

11.1 一般方程数值解法621

11.1.1 图解法621

11.1.2 和纳表621

11.1.3 修正法(逐步逼近法)625

11.1.3.1 弦位法(线性插值)625

11.1.3.2 二次插值法626

11.1.3.3 牛顿法627

11.1.3.4 迭代法629

11.1.3.5 复根的处理633

11.1.4 格拉也费法634

11.1.5 零点的个数与位置637

11.1.5.1 鲍丹-傅立叶法则637

11.1.5.2 笛卡尔(哈里奥特)符号法则638

11.1.5.3 斯图姆链638

11.2 线性方程组640

11.2.1 高斯消去法640

11.2.2 简化高斯法643

11.2.3 齐次方程组的解645

11.2.4 用迭代法求解648

11.3 插值法650

11.3.1 多项式定理650

11.3.2 拉格朗日插值法651

11.3.3 牛顿插值法653

11.3.4 等距横标时插值公式655

11.4 数值微分664

11.5 数值积分667

11.5.1 近似公式667

11.5.2 特殊积分公式668

11.6 微分方程的数值积分671

11.6.1 一阶微分方程671

11.6.1.1 图示等倾(斜)线法671

11.6.1.2 欧拉-柯西法(折线法)672

11.6.1.3 迭代法673

11.6.1.4 龙格-库塔法676

11.6.1.5 阿达姆斯法679

11.6.2 二阶微分方程683

11.6.2.1 尼于斯兑姆法683

11.6.2.2 斯兑默尔法684

11.6.3 微分方程组685

第十二章 误差计算与修匀(补偿)计算687

12.1 误差计算与平均值687

12.1.1 等精密度观测687

12.1.2 不等精密度观测688

12.2 相关观测的修匀693

12.2.1 误差方程693

12.2.2 标准方程组694

12.3 附有条件方程组的修匀698

第十三章 复变函数初步702

13.1 复数列702

13.2 单变量复变函数702

13.3 初等复变函数705