《索伯列夫空间》

序言1

空间与范数表1

第一章 预备知识1

记号1

拓扑向量空间2

赋范空间4

赋范对偶6

紧集7

弱拓扑和弱收敛7

一致凸性8

算子和嵌入10

连续函数空间11

Bn中的Lebesgue测度15

Lebesgue积分18

广义函数和弱导数22

第二章 空间Lp(Ω)26

定义和基本性质26

Lp(Ω)的完备性31

用连续函数来逼近，可分性32

软化子(Mollifiers),用光滑函数来逼近34

Lp(Ω)中的准紧集(Precompact Sets)36

Lp(Ω)的一致凸性40

Lp(Ω)的赋范对偶45

第三章 空间Wm,p(Ω)51

定义和基本性质51

对偶性，空间W-m,p′(Ω)54

用Ω上的光滑函数来逼近60

用Rn上的光滑函数来逼近63

用C？(Ω)中的函数来逼近；(m,p′)一极集(polar sets)65

坐标变换74

第四章 内插和延拓定理77

区域的几何性质77

中间导数的内插不等式83

包含紧子区域的内插不等式94

延拓定理98

第五章 Wm,p(Ω)的嵌入112

Sobolev嵌入定理112

嵌入定理的证明116

Wm,p(Ω)中的函数在Ω边界上的迹134

作为Banach代数的Wm,p(Ω)136

反例和非嵌入定理139

有尖点区域的嵌入定理146

包含带权范数的嵌入不等式151

定理5.35--5.37的证明167

第六章 Wm,p(Ω)的紧嵌入172

Relich-Kondrachov定理172

两个反例178

W？,p(Ω)在无界区域上的紧嵌入180

W？,p(Ω)的一个等价范数189

无界区域--在无穷远处的衰减192

无界区域--Wm,p(Ω)的紧嵌入203

Hilbert-Schmidt嵌入208

第七章 分数次空间213

概要213

Bochner积分214

算子半群和抽象Cauchy问题216

Lions的迹空间221

迹空间的半群表征229

高次迹235

空间W?p(Ω)244

W?p(Ω)的一个内在范数248

嵌入定理256

Bessel位势--空间L？，p(Ω)261

其它分数次空间266

引言271

第八章 Orlicz空间和Orlicz-Sobolev空间271

N-函数272

Orlicz空间276

Orlicz空间中的对偶282

可分性和紧性定理285

Sobolev 嵌入定理的一个极限情形287

Orlicz-Sobolev 空间292

Orlicz-Sobolev空间的嵌入定理293

参考文献308

索引314