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第1章复数1

1 复数的代数学1

1.1 算术运算1

1.2 平方根2

1.3 复数体的存在4

1.4 共轭，绝对值6

1.5 不等式9

2 复数的几何表示12

2.1 几何的加法及乘法12

2.2 二项方程14

2.3 解析几何16

2.4 球面表示17

第9章复函数21

1 解析函数的概念导引21

1.1 极限与连续性22

1.2 解析函数24

1.3 多项式28

1.4 有理函数30

2 幂级数的基础理论33

2.1 序列33

2.2 级数35

2.3 一致收敛性36

2.4 幂级数38

2.5 Abel 极限定理42

3 指数函数与三角函数43

3.1 指数函数43

3.2 三角函数44

3.3 周期性45

3.4 对数函数47

1 初等点集拓扑49

第3章看成映照的解析函数49

1.1 集和元素50

1.2 度量空间51

1.3 连通性54

1.4 紧致性59

1.5 连续函数64

1.6 拓扑空间67

2 共形性69

2.1 弧与闭曲线69

2.2 域内的解析函数70

2.3 共形映照75

2.4 长度和面积77

3 线性变换78

3.1 线性群79

3.2 交比81

3.3 对称性83

3.4 有向圆85

3.5 圆族87

4 初等共形映照91

4.1 阶层曲线的应用91

4.2 初等映照概说94

4.3 初等 Riemann 面98

第4章复积分101

1 基本定理101

1.1 线积分101

1.2 可求长的弧104

1.3 线积分作为弧的函数105

1.4 矩形的 Cauchy 定理109

1.5 圆盘中的 Cauchy 定理112

2 Cauchy 积分公式114

2.1 一点关于闭曲线的指示数114

2.2 积分公式118

2.3 高阶导数119

3 解析函数的局部性质123

3.1 可去奇点，Taylor 定理123

3.2 零点和极点126

3.3 局部映照130

3.4 极值原理134

4 Cauchy 定理的一般形式137

4.1 链和闭链137

4.2 单连通性139

4.3 同调140

4.4 Cauchy 定理的一般叙述141

4.5 Cauchy 定理的证明142

4.6 局部正合微分143

4.7 多连通域146

5 留数计算148

5.1 留数定理148

5.2 幅角原理152

5.3 定积分的计算154

6 调和函数161

6.1 定义和基本性质161

6.2 均值性质164

6.3 Poisson 公式166

6.4 Schwarz 定理168

6.5 对称原理171

第5章级数与乘积展开174

1 幂级数展开式174

1.1 Weierstrass 定理174

1.2 Taylor 级数178

1.3 Laurent 级数183

2 部分分式与因子分解185

2.1 部分分式186

2.2 无穷乘积189

2.3 典型乘积192

2.4 Γ-函数196

2.5 Stirling 公式199

3 整函数205

3.1 Jensen 公式206

3.2 Hadamard 定理207

4 Riemannζ-函数211

4.1 乘积展开212

4.2 ζ(s)扩张到整个平面213

4.3 函数方程214

4.4 ζ-函数的零点217

5.1 等度连续性218

5 正规族218

5.2 正规性和紧致性219

5.3 Arzela 定理221

5.4 解析函数族223

5.5 经典定义225

第6章共形映照.Dirichlet 问题228

1 Riemann 映照定理228

1.1 叙述和证明228

1.2 边界性态231

1.3 反射原理的应用232

1.4 解析弧233

2 多边形的共形映照234

2.1 在角上的性态235

2.2 Schwarz-Christoffel 公式236

2.3 映成矩形的映照238

2.4 Schwarz 的三角形函数240

3 调和函数的进一步观察241

3.1 具有均值性质的函数242

3.2 Harnack 原理243

4 Dirichlet 问题245

4.1 次调和函数245

4.2 Dirichlet 问题的解248

5 多连通域的典型映照252

5.1 调和测度253

5.2 Green 函数258

5.3 具有平行缝的域260

第7章椭圆函数263

1 单周期函数263

1.1 用指数函数表示263

1.2 Fourier 展开264

1.3 有穷阶函数264

2.1 周期模265

2 双周期函数265

2.2 幺模变换266

2.3 典型基268

2.4 椭圆函数的一般性质270

3 Weierstrass 理论272

3.1 Weierstrass ?-函数272

3.2 函数ζ(z)与σ(z)274

3.3 微分方程275

3.4 模函数λ(τ)278

3.5 λ(τ)所作的共形映照279

1.1 Weierstrass 理论284

第8章整体解析函数284

1 解析延拓284

1.2 芽与层285

1.3 截口与的 Riemann 面288

1.4 沿弧的解析延拓290

1.5 同伦曲线293

1.6 单值性定理296

1.7 支点298

2 代数函数301

2.1 两多项式的结式302

2.2 代数函数的定义与性质303

2.3 临界点上的性态305

3 Picard 定理309

3.1 空隙值309

4 线性微分方程310

4.1 寻常点311

4.2 正则奇点313

4.3 无穷远点附近的解316

4.4 超比微分方程317

4.5 Riemann 的观点321

索引325