《数学分析问题研究与评注》求取 ⇩

第一章 极限与连续1

1.1 导读1

1.2 函数概念1

1.2.1 函数概念的历史演进1

1.2.2 关于周期函数的定义6

1.3 极限的几个问题8

1.3.1 Cauchy数列的几种弱形式间的关系8

1.3.2 算术-几何平均值不等式的几种新证法9

1.3.3 极限？(1+？)n=e与Euler常数13

1.3.4 用等价无穷小替换求极限法的一个推广19

1.3.5 关于数列极限的一个定理22

1.3.6 复合函数的极限25

1.3.7 评注27

1.4 连续函数28

1.4.1 一对一的连续函数28

1.4.2 连续函数的逐次逼近序列28

1.4.3 收敛保持函数29

1.4.4 在无理点连续而在有理点间断的严格单增函数31

1.4.5 无处单调的连续函数32

1.4.6 关于单调函数之商33

1.4.7 评注35

1.5 闭区间上连续函数的性质36

1.5.1 闭区间上连续函数最大值存在性定理的几种证法36

1.5.2 几个基本定理证明的统一处理方法38

1.5.3 Weierstrass逼近定理的一个初等证明40

1.5.4 评注42

1.6 一致连续函数43

1.6.1 函数一致连续的等价命题43

1.6.2 函数乘积的一致连续性47

1.6.3 使函数连续且一致连续的点集的性质49

1.6.4 评注50

1.7 在每个区间上有一个真正局部极大值的函数51

第二章 微分56

2.1 导读56

2.2 微分学基本定理57

2.2.1 微分学基本定理的初等证明57

2.2.2 微分学基本定理的推广58

2.3 对称导数60

2.3.1 导数与非中心差商60

2.3.2 对称导数的基本理论62

2.3.3 评注64

2.4 导数与单调性64

2.4.1 可微且单调有界函数中的一个反例64

2.4.2 关于连续函数严格单调的充分条件65

2.4.3 导数几乎处处为零的严格单调的连续函数66

2.5 连续性、可微性与一致可微性67

2.5.1 导函数的连续性68

2.5.2 函数一致可微的特征68

2.5.3 处处连续而无处可微的函数71

2.5.4 稠密集上函数不连续的一个定理73

2.5.5 评注75

2.6 导数介值定理的几种证明76

2.7 微分中值定理及其推广80

2.7.1 关于Rolle定理的证明80

2.7.2 Lagrange定理及其证明方法82

2.7.3 微分中值定理的推广88

2.7.4 评注94

2.8 复值函数的L Hospital法则95

2.9 凸函数的等价定义98

3.1 导读101

第三章 积分101

3.2 关于Riemann积分的定义102

3.2.1 历史简述102

3.2.2 Riemann可积的等价形式103

3.2.3 评注108

3.3 关于Stieltjes积分的定义109

3.4 两种推广的Riemann积分113

3.4.1 微积分基本定理113

3.4.2 函数的可积性与存在原函数之间的关系115

3.4.3 Riemann积分的几种推广118

3.4.4 评注127

3.5 积分中值定理128

3.5.1 积分中值定理的一个简洁证明128

3.5.2 积分中值定理的推广130

3.5.3 积分中值定理中间值的唯一性135

3.5.4 积分中值定理中间值的渐近状态138

3.5.5 评注139

3.6 Riemann引理与Dirichlet引理的推广140

3.6.1 Riemann引理的推广140

3.6.2 Dirichlet引理的推广147

3.6.3 评注149

3.7 广义积分150

3.7.1 广义积分可作为和式极限的几个结论150

3.7.2 广义积分的几个收敛判别法155

3.7.3 应用举例161

3.7.4 评注163

3.8 几种重要积分的计算163

3.8.1 积分∫？？dx的几种计算法163

3.8.2 概率积分∫？e-x2dx的新算法170

3.8.3 Euler积分新算法172

3.8.4 Froullani积分的推广174

3.8.5 Fresnel积分新算法176

3.8.6 Г函数的特征178

3.8.7 定积分的公理定义180

3.8.8 评注181

第四章 级数183

4.1 导读183

4.2 数项级数184

4.2.1 正项级数敛散性判别法184

4.2.2 几种正项级数判别法的比较189

4.2.3 正项级数的两个等价判别法195

4.2.4 Dirichlet判别法和Abel判别法197

4.2.5 级数绝对收敛的导数判别法200

4.2.6 级数的Cauchy乘积201

4.2.7 无穷级数与广义积分收敛的某些必要条件204

4.2.8 无穷级数的积分判别法的推广205

4.2.9 评注209

4.3 函数项级数209

4.3.1 Dirichlet判别法与Abel判别法209

4.3.2 关于函数项级数的Fubini定理212

4.3.3 函数项级数的亚一致收敛214

4.2.4 关于积分号下取极限219

4.3.5 函数项级数的逐项微分222

4.4 幂级数224

4.4.1 幂级数逐项微分定理的一个简单证明224

4.4.2 Taylor公式的另一种证明225

4.4.3 关于Taylor公式的余项227

4.4.4 Taylor公式的推广231

4.4.5 每个幂级数必是某个函数的Taylor级数233

4.5.1 系数趋于零而又处处发散的三角级数的例子234

4.5 三角级数234

4.5.2 Fourier级数收敛定理的一个新证明236

4.5.3 评注239

第五章 多元函数241

5.1 导读241

5.2 多元函数极限的定义241

5.2.1 两种定义242

5.2.2 两种定义的比较242

5.3 几个基本概念之间的关系244

5.4.1 一类函数可微与连续可微的特征247

5.4 多元函数的微分247

5.4.2 关于可微性248

5.4.3 二阶混合偏导数相等的定理251

5.4.4 评注257

5.5 二元函数与一元函数性质的基本差异258

5.6 多元函数的极值261

5.6.1 多元函数极值的一阶微分判别法261

5.6.2 关于最大(小)值的一个例子264

5.6.3 最大、最小值的极限形式及其应用265

5.7 多元凸函数268

5.7.1 凸函数的连续性269

5.7.2 凸函数的可微性272

5.7.3 凸函数序列274

5.7.4 凸函数项级数277

5.7.5 评注280

5.8 多元函数的次微分280

5.8.1 定义与性质280

5.8.2 Lipschitz函数的次微分282

5.8.3 次微分的中值定理285

5.9.1 二重积分与累次积分之间的关系288

5.9 多元函数积分的几个问题288

5.8.4 评注288

5.9.2 关于函数乘积积分的一个定理293

5.9.3 含参变量的无穷限广义积分的绝对收敛与一致收敛性294

5.9.4 恰当微分的线积分296

5.10 二重级数收敛判别法298

5.11 中值公式及Kantorovich不等式的推广303

5.11.1 向量值函数的中值不等式303

5.11.2 Kantorovich不等式的推广305

参考文献309