《数学分析中的典型问题与方法》求取 ⇩

第一章 一元函数极限1

1.1 用定义证明极限存在性1

1.2 求极限值的若干方法9

一、初等变形求极限10

二、用初等变形化为巳知极限11

三、利用变量替换求极限14

四、两边夹法则15

五、两边夹法则的推广形式18

六、求极限的其他方法19

1.3 O.Stolz公式22

一、序列的情况23

二、函数极限的情况28

1.4 递推形式的极限34

一、利用存在性求极限34

二、写出通项求极限41

三、替换与变形46

四、图解法48

1.5 序列的上、下极限51

一、利用e-N语言描述上、下极限52

二、利用子序列的极限描述上、下极限55

三、利用确界的极限描述上、下极限57

四、利用上、下极限研究序列的极限58

五、上、下极限的运算性质61

1.6 函数的上、下极限64

一、函数上、下极限的定义及等价描述65

二、单侧上、下极限70

三、函数上、下极限的不等式70

1.7 实数及其基本定理71

一、实数的引人72

二、实数基本定理75

第二章 一元函数的连续性81

2.1 连续性的证明与应用81

一、连续性的证明81

二、连续性的应用88

2.2 一致连续性93

一、利用一致连续的定义及其否定形式证题93

二、一致连续与连续的关系97

三、用连续模数描述一致连续性102

四、集上的连续函数及一致连续函数的延拓问题103

2.3 上、下半连续108

一、上、下半连续的定义与等价描述108

二、上(下)半连续的性质111

2.4 函数方程119

一、问题的提出119

二、求解函数方程120

a.推归法120

b.转化法124

第三章 一元微分学128

3.1 导数128

一、关于导数的定义和可微性128

二、高阶导数与Lebniz公式134

a.先拆项再求导134

b.直接使用Leibniz公式135

c.用数学归纳法求高阶导数137

d.用递推公式求导139

e.用Taylor展式求导数140

3.2 微分中值定理142

一、Rolle定理143

a.关于零值点(根)的存在性143

b.证明中值公式145

二、Lagrange定理147

a.利用几何意义(弦线法)147

b.利用有限增量公式导出新的中值公式153

c.作为函数的变形155

三、导数的两大特性158

a.导数无第一类间断158

b.导数的介值性160

四、Cauchy中值定理161

a.推导中值公式161

b.作为函数与导数的关系164

3.3 Taylor公式170

一、证明中值公式171

二、证明不等式173

三、导数的中值估计174

四、关于界的估计176

五、求无穷远处的极限179

六、中值点的极限181

七、函数方程中的应用183

3.4 不等式与凸函数186

一、不等式186

a.利用单调性证明不等式186

b.利用微分中值定理证明不等式186

c.利用Taylor公式证明不等式187

d.用求极值的方法证明不等式187

e.利用单调极限证明不等式189

二、凸函数191

a.凸函数的几种定义及它们的关系191

b.凸函数的等价描述及凸函数的性质196

第四章 一元函数积分学208

4.1 积分与极限208

一、利用积分求极限208

二、积分的极限210

4.2 定积分的可积性224

一、直接用定义证明可积性227

二、利用定理证明可积性229

a.利用定理2证明可积性229

b.利用定理1与定理1？(例4.2.3)证明可积性229

c.利用定理3(例4.2.8)证明可积性234

4.3 积分值估计·积分不等式及综合问题238

一、积分值估计238

a.利用Darboux和估计积分值239

b.利用变形求估计及积分估计的应用241

二、积分不等式249

a.用微分学的方法证明积分不等式250

b.利用被积函数的不等式证明积分不等式251

c.在不等式两端取变限积分证明新的不等式254

三、综合性问题255

4.4 几个著名的不等式268

一、Cauchy不等式及Schwarz不等式269

a.Cauchy不等式269

b.Schwarz不等式271

c.Schwarz不等式的应用272

二、平均值不等式276

a.基本形式276

b.平均值不等式的推广形式278

c.平均值不等式的积分形式280

三、H？lder不等式283

a.基本形式283

b.Hǒlder不等式的积分形式284

四、H.Minkowski不等式285

a.基本形式285

b.H.Minkowski不等式的积分形式286

c.n元Minkow-ski不等式287

五、W.H.Young不等式288

4.5 反常积分292

一、反常积分的计算292

a.三大基本方法292

b.其他方法297

二、反常积分敛散性的判定(十二法)300

三、无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限312

四、反常积分的极限317

五、反常积分作为“积分和”的极限326

六、综合性问题330

第五章 级数335

5.1 数项级数335

一、求和问题335

a.利用已知级数335

b.连锁消去法336

c.方程式法337

d.利用子序列的极限338

e.先求S？(x)的紧缩形式340

二、级数收敛性的判断342

a.Cauchy准则及其应用342

b.正项级数敛散性的判定344

c.变号级数收敛性的判断356

三、级数敛散性的应用360

a.收敛性的应用360

b.发散性的应用364

四、级数问题的若干反例367

五、数项级数与反常积分的关系371

a.关于收敛性371

b.“和”值的计算与估计374

c.反常积分作为级数的极限376

5.2 函数项级数381

一、一致收剑性的判断381

a.利用一致收敛的定义382

b.利用Cauchy准则判断一致收效性393

c.利用常用的判别法证明一致收敛性398

d.一致有界与等度连续409

二、一致收敛级数的性质416

a.关于逐项取极限416

b.和函数的连续性420

c.和函数的可微性与逐项求导424

d.逐项积分与积分号下取极限430

e.和函数的其它性质(综合性问题)434

5.3 幂级数438

一、幂级数的收敛半径与收敛范围438

a.公式法438

b.缺项幂级数的收敛范围443

c.利用收敛半径求极限444

二、初等函数展为幂级数447

三、求和问题453

a.利用逐项求导与逐项求积分453

b.方程式法456

c.利用Abel第二定理计算数项级数的和458

四、幂级数的应用462

a.计算积分462

b.证明不等式468

c.近似计算469

五、综合性问题469

5.4 Fourier 级数483

一、正交系483

二、Fourier系数485

三、求Fourier展开式490

a.求Fourier展开式的基本方法490

b.求Fourier展开式的一些别的方法499

四、综合性问题503

第六章 多元函数微分学516

6.1 欧氏空间·多元函数的极限与连续516

一、欧氏空间516

a.利用模的定义516

b.利用距离的定义和性质517

c.利用开集、闭集的定义517

d.利用边界的定义与聚点性质518

二、多元函数的极限520

a.多元涵数极限的计算520

b.证明二元极限不存在(4法)521

c.关于全面极限与特殊路径极限的进一步讨论521

d.累次极限交换次序问题524

三、多元连续函数525

a.连续性的证明525

b.全面连续与按单变量连续的关系529

c.连续性的等价描述532

d.连续函数性质的应用533

e.一致连续性537

6.2 多元函数的偏导数541

一、偏导数的计算541

二、复合函数微分法(链锁法则)542

三、偏导数转化为极限547

四、对微分方程作变量替换549

a.对自变量作变量替换549

b.自变量与因变量都变化的变量替换552

五、多元函数的可微性555

6.3 Taylor公式·凸函数·几何应用·极值564

一、Taylor公式564

二、凸函数567

三、几何应用571

四、极值575

a.自由极值575

b.条件极值与Lagrange乘数法577

c.求函数在闭区域上的最大最小值580

d.用极值证明不等式581

e.极值应用问题584

6.4 隐函数存在定理及函数相关597

一、隐函数存在定理597

a.一个方程的情况597

b.多个方程的情况603

二、函数相关607

a.定义607

b.函数无关的条件608

c.齐次线性函数的情况609

d.判定定理610

6.5 方向导数与梯度618

一、方向导数的计算618

二、梯度的计算623

第七章 多元积分学630

7.1 含参变量积分630

一、含参变量的正常积分630

a.积分号下取极限与连续性守恒630

b.各分号下求导与积分号下求积分633

二、判断含参变量反常积分的一致收敛性640

a.利用定义判断640

b.用Cauchy准则判断643

c.用M判别法判断647

d.Abel判别法与Dirichlet判别法649

三、含参变量反常积分的极限与连续性652

a.积分号下取极限652

b.含参变量反常积分的连续性654

四、含参变量反常积分积分号下求导与积分号下求积分659

a.积分号下求导659

b.积分号下求积分663

五、反常积分的计算665

a.利用积分号下求导665

b.通过建立微分方程求积分值667

c.引入收敛因子法667

d.利用反常积分定义及变量替换670

e.利用别的积分675

六、综合性例题676

七、Euler积分679

a.Euler积分及其基本变形680

b.Euler积分的相互转换682

c.利用Euler积分表示其它积分683

d.余元公式的利用688

7.2 重积分695

一、二重积分695

a.二重积分定义的应用696

b.证明可积性697

c.二重积分的计算699

二、三重积分709

a.三重积分化为累次积分709

b.三重积分换元713

c.用三重积分计算体积718

三、二重、三重反常积分721

a.比较判别法722

b.对非负被积函数可用特殊方式切割取极限723

c.(变号函数)用不同方式切割，极限不同，以证明发散727

d.用某种方式切割，极限不存在，以证积分发散728

e.Cauchy判别法的利用729

f.Cauchy准则的利用730

g.二重、三重反常积分的计算732

四、n重积分734

a.化为累次积分736

b.变量替换737

c.递推与降维740

d.利用积分定义744

7.3 典线积分与Green公式752

一、曲线积分的性质与计算752

a.对称性752

b.曲线积分化为定积分755

c.曲线积分的性质763

二、Green公式764

a.计算封闭曲线上的线积分765

b.计算开口曲线上的线积分769

c.用于计算第一型曲线积分770

d.由积分性质导出微分性质771

三、积分与路径无关的问题774

a.利用与路径无关性计算线积分775

b.利用原函数求积分779

c.利用线积分求原函数781

7.4 曲面积分Gauss公式及Stokes公式785

一、第一型曲面积分的计算785

a.利用对称性785

b.利用公式计算第一型曲面积分786

二、第二型曲面积分的计算794

a.利用对称性795

b.用公式化第二型曲面积分为二重积分796

c.利用两种曲面积分的关系解题801

三、Gauss公式801

a.利用Gauss公式计算曲面积分802

b.从积分性质导出微分性质809

四、Stokes公式811

7.5 场论820

一、利用梯度、散度和旋度的定义直接证明有关公式820

a.数量等式821

b.向量等式822

c.求旋度和散度823

二、梯度、散度、旋度的基本公式及其应用825

三、借助场论符号表示积分公式828

四、四种重要的向量场834