《数学纵横》

第一章 绪论3

一 数学是什么3

二 谈谈数学的定义7

1 描述性定义8

2 公理性定义9

第二章 数学史概述14

一 几个发展阶段14

1 公元5世纪前--初等数学初期15

2 公元5至16世纪--数学的幸存和代数的成绩17

3 公元17、18世纪--高等数学的诞生和崛起18

4 公元19世纪--纯数学的诞生21

5 公元20世纪--应用数学的世纪26

二 数学家创造的数学史28

第三章 数学的危机史44

一 线段可公约悖论--第一次数学危机45

二 芝诺悖论--第二次数学危机48

三 罗素悖论--第三次数学危机55

第四章 数学描述对象的深化史60

一 确定数学--数学的主流和主体60

二 随机数学--描述客观世界的一次深化63

三 模糊数学--描述客观世界的又一次深化70

第五章 数学之树75

一 演绎数学76

1 第一支系--几何学76

2 第二支系--代数学79

3 第三支系--分析学83

4 第四支系--概率论与统计学87

5 第五支系--数论88

二 计算数学94

1 计算机科学的根基在数学95

2 计算机引起的数学革命95

3 计算机科学的理论焦点96

第六章 数学之根103

一 实数104

1 无理数--认识实数的第一次抽象104

2 对实数结构的几种描述111

3 非标准分析114

4 集合论117

二 公理化123

三 数理逻辑128

1 证明论129

2 递归论130

3 模型论131

4 公理集合论132

四 数学哲学133

1 直觉主义学派133

2 形式主义学派134

3 逻辑主义学派135

五 数学发展的动力137

1 实践的需要138

2 内在的刺激138

一 纯数学在本世纪内的继续发展145

第七章 再谈20世纪数学145

1 数学基础学科的形成和发展146

2 纯数学学科体系得到巩固146

3 本世纪内纯数学的重大突破147

二 几个概念150

三 应用数学与纯数学153

四 应用数学崛起的主观背景--纯数学的困难155

1 非线性问题的阻滞155

2 高维空间问题156

3 大范围分析157

4 抽象化与抽象化风158

五 应用数学崛起的客观背景160

1 自然科学猛然发展对数学的需求161

2 第二次世界大战的刺激162

3 计算机科学对应用数学的刺激162

六 应用数学发展现状163

第八章 应用数学学科分类167

一 应用数学基础167

1 应用数学理论基础167

2 应用数学方法基础172

二 应用数学科学(一)--系统科学的崛起173

1 一般系统论174

2 信息论176

3 控制论177

4 突变论178

6 协同论179

5 耗散系统论179

三 应用数学科学(二)--生物数学的崛起180

四 应用数学科学(三)--经济数学之崛起182

第九章 数学的几大特征188

一 数学的结构特征188

1 数学对象的宏观结构特征188

2 布尔巴基结构190

二 数学的哲学特征191

三 数学的思维特征195

1 数学是典型的理解型学科195

2 关于“数学是发现、不是创造”197

3 数学是“猜”出来的198

4 数学家的思维特征199

1 谈美200

四 数学之美200

2 数学美201

3 数学中的美204

第十章 数学展望206

一 下个世纪将是离散数学的世纪206

1 低性离散问题对应着高维连续问题207

2 离散对象的空间直观性差，使问题变得更难208

3 离散数学技巧性更强208

二 社会数学的崛起、数学的文化化209

三 下个世纪的纯数学212

四 关于数学教育213

1 时代需要普及数学213

2 数学教育对教师的要求214

3 课堂里的哲学221