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第一章 数·式及其运算1

1.整式1

1·1 整式的四则运算1

1·2 因式分解4

1·3 乘余定理·因式定理6

1·4 恒等式·待定系数法8

1·5 约数·倍数11

1·6 整数的性质·整数论13

2·3 繁分式18

2·2 分式的四则运算18

2·1 约分·通分18

2.分式18

2·4 比例式19

3. 无理数·无理式20

3·1 平方根·不尽根数20

3·2 开方法22

3·3 无理数的计算23

3·4 无理式的计算25

4. 实数的绝对值25

4·1 绝对值的意义·记号25

4·2 含有绝对值符号的式子的计算25

5·2 复数的计算27

5·1 虚数、复数的意义27

5.虚数·复数27

第二章 方程与不等式29

1. 线性方程29

1·1 方程的意义和历史概述29

1·2 线性方程ax+b=0(a≠0)29

1·3 线性方程组31

2.二次方程39

2.1 二次方程的意义和求根公式39

2·2 二元二次方程组50

3.高次方程52

3·1 特殊的高次方程52

3·2 三次方程的解法53

3·3 四次方程的解法55

3·4 根与系数的关系57

3·5 二项方程58

4.方程的一般理论59

4·1 三次、四次方程的解法59

4·2 代数学的基本定理64

4·3 根的变换67

4·4 判别式·结式71

4·5 实系数方程73

4·6 根的存在范围76

5·1 线性不等式78

5.不等式78

5·2 二次不等式79

5·3 高次不等式80

5·4 不等式的性质81

5·5 绝对不等式82

5·6 集合的包含关系与不等式94

6.分式方程，分式不等式96

第三章 函数与图形101

1.函数101

1·1 定义101

1·3 单调函数103

1·2 隐函数·显函数103

1·4 偶函数·奇函数104

1·5 反函数104

2.函数的图象105

2·1 图象的定义105

2·2 图象的移动105

3.线性函数的图象107

3·1 线性函数107

3·2 含有绝对值符号的函数108

3·3 高斯记号109

4·1 二次函数111

4.二次函数的图象111

3·4 最大·最小111

4·2 二次函数的最大值、最小值(1)112

4·3 二次函数的最大值、最小值(2)113

5.分式函数、无理函数的图象115

5·1 分式函数的图象115

5·2 图象的合成116

5·3 分式函数的最大值、最小值117

5·4 无理函数的图象118

5·5 无理函数的最大值、最小值121

2.指数法则的推广123

2·1 指数法则123

1.对数的历史123

第四章 指数与对数123

2·2 指数的推广125

3.指数函数131

3·1 指数函数131

3·2 指数函数的性质132

4.对数及其基本性质134

5.对数函数136

6.常用对数138

7.自然对数140

8.函数尺、对数尺和计算尺142

7·1 同余方程143

9.全对数坐标纸、半对数坐标纸和计算图表145

10.函数方程式148

1.概述153

1·1 角的测定方法153

第五章 三角学153

1·2 扇形154

2.任意角的三角函数155

2·1 三角函数的定义155

2·2 特殊角的三角函数值156

2·3 三角函数间的关系157

2·4 三角函数的图象160

3.加法定理162

3·1 加法定理162

3·2 同角正弦、余弦的合成公式164

3·3 三个角的和的三角函数164

3·4 倍角、半角的三角函数165

3·5 三角函数的和、差、积的变换公式167

3·6 三角恒等式169

3·7 三角级数的和173

4·1 三角方程176

4.三角方程·三角不等式176

4·2 三角不等式180

4·3 三角函数的最大值、最小值186

4·4 消去法188

4·5 反三角函数191

5.三角形与三角函数194

5·1 直角三角形与三角函数194

5·2 正弦定理195

5·3 余弦定理197

5·4 正切定理199

5·5 确定三角形形状的问题201

5·6 三角形的半角公式203

5·7 三角形的面积204

5·8 三角形的内切圆、外接圆、旁切圆206

5·9 三角形的中线、角平分线208

5·10 四边形的性质211

5·12 三角形的解法214

5·11 正多边形的性质214

6.三角函数在测量中的应用217

6·1 测量的意义217

6·2 三角函数在测量上的应用218

第六章 复数与向量221

1.复数的基本性质221

1·1 虚数单位221

1·2 复数的定义221

1·3 复数的四则运算222

1·4 共轭复数223

1·5 复数的模226

1·6 复数的极坐标形式(复数的三角表示式)227

1·7 复数的旋转229

2.复数与图形230

2·1 复数的四则运算的图示230

2·2 复数的性质233

2·3 映射236

2·4 二直线的夹角239

2·5 在图形上的应用241

3.棣莫佛定理244

3·1 棣莫佛定理244

3·2 棣莫佛定理和倍角公式245

3·3 二项方程246

4.向量249

4·1 向量249

4·2 向量的相等、和、差及向量与实数的积249

4·3 向量的性质252

4·4 拉米定理256

4·5 向量的分量258

4·6 向量的内积259

4·7 空间向量262

4·8 向量方程269

5.复数与向量270

5·1 复数与向量270

5·2 向量的旋转271

第七章 图形与方程273

1.点与直线273

1·1 直线上点的坐标273

1·2 平面上点的坐标278

1·3 轨迹与方程285

1·4 直线方程286

1·5 两条直线平行与垂直的条件295

1·6 通过两直线交点的直线298

1·7 点到直线的距离301

1·8 两条直线的交角308

2·1 圆的方程310

2.圆的方程310

2·2 圆与直线312

2·3 通过圆与圆或圆与直线交点的圆317

3.二次曲线321

3·1 抛物线·椭圆·双曲线的方程321

3·2 二次曲线与直线334

4.坐标的变换342

4·1 曲线的移动342

4·2 坐标轴的平移347

4·3 坐标轴的旋转349

4·4 一般的二次曲线及二次曲线的分类351

4·5 斜交系中二次曲线方程362

5.不等式和区域366

5·1 等值线366

5·2 正区域·负区域368

6.曲线的表示方法372

6·1 用参数表示的方法372

6·2 极坐标377

7.空间图形390

7·1 空间点的直角坐标390

7·2 轨迹和方程392

7·3 球面方程395

7·4 直线方程396

7·5 平面方程401

7·6 空间曲线及曲面404

第八章 排列·组合与二项式定理411

1.排列411

1·1 不同元素的排列411

1·2 含相同元素的排列与重复排列414

2·1 不同元素的组合415

2.组合415

2·2 重复组合420

3.二项式定理424

3·1 二项式定理424

3·2 二项式系数间的关系430

3·3 一般的二项式定理434

3·4 多项式定理437

第九章 数列和级数441

1.数列的定义441

1·1 定义和例441

2·1 等差数列442

1·3 有界数列442

2.等差数列442

1·2 单调数列442

2·2 等差中项、相加平均443

2·3 调和数列·调和中项·调和平均443

3.等比数列444

3·1 等比数列444

3·2 等比中项·几何平均444

3·3 各种平均值之间的关系445

3·4 累积金和分期付款445

4.各种数列的和448

4·1 乘幂数列的和448

4·2 差分数列450

4·3 通项是n的整式的数列451

4·4 分数项数列452

4·5 ∑anxn(an是等差数列)453

4·6 二重数列与相似形454

5.数学归纳法457

5·1 归纳公理457

5·2 数学归纳法458

6·1 数列收敛、发散的定义460

6.数列的收敛、发散460

6·2 关于收敛数列的定理461

6·3 关于发散数列的定理465

6.4 无穷数列的例题467

7·1 二项递推公式(一次式)471

7.用递推公式表示的数列471

7·2 三项递推公式(一次式)473

7·3 与两个数列有关的递推公式476

7·4 两项递推公式(分数式)477

7·5 其他递推公式478

8·1 级数480

8.级数480

8·2 正项级数481

8·3 关于交错级数的定理485

8·4 绝对收敛级数486

8·5 条件收敛级数489

8·6 幂级数490

8·7 各种级数的例题495

9.小数·连分数497

9·1 p进制497

9·2 循环小数500

9·3 用小数作实数的分类503

9·4 连分数504

10.复数数列·级数510

10·1 复数数列510

10·2 复数数列·级数的收剑性511

第十章 函数的极限和连续515

1.函数的极限515

1·1 定义515

1·2 基本性质519

1·3 常用函数的极限528

1·4 分式函数的极限530

1·5 无理函数的极限533

1·6 三角函数的极限534

1·7 反三角函数的极限537

1·8 指数函数的极限539

1·9 对数函数的极限543

2.函数的连续545

2·1 定义545

2·2 基本性质547

2·3 基本的连续函数550

2·4 关于连续函数的著名定理553

2·5 一致连续·连续延拓555

第十一章 微分学561

1.导数561

1·1 平均变化率和导数561

1·2 导数的几何意义562

1·3 可导与连续562

1·4 左导数和右导数564

2.微分法的定理565

2·1 基本初等函数的导函565

2·2 函数的和、差、数积的微分法567

2·3 复合函数的微分法569

2·4 函数乘积的微分法570

2·5 函数商的微分法572

2·6 反函数的微分法574

2·7 指数函数和对数函数的导函数577

2·8 对数微分法578

2·9 参数表示的函数的微分法579

2·10 隐函数的微分法579

3.导函数的应用580

3·1 切线方程580

3·2 法线方程583

3·3 速度与加速度·平面上点的运动584

3·4 其他应用585

4.关于导函数的定理587

4·1 罗尔定理587

4·2 微分学中值定理588

4·3 柯西中值定理589

5.函数的增减591

5·1 增函数·减函数591

5·2 极大和极小596

5·3 最大和最小598

6.高阶导函数及其应用599

6·1 二阶导函数和n阶导函数599

6·2 莱布尼兹定理和递推公式605

6·3 曲线的凹凸和拐点608

6·4 极大与极小的差别610

7.曲线的形状611

7·1 一般方法611

7·2 渐近线和孤立点612

7·3 曲率和曲率半径616

7·4 直角坐标系下常用曲线的形状619

7·5 用参数表示的常用曲线的形状627

7·6 用极坐标表示的常用曲线的形状628

8.其他应用631

8·1 无穷小和无穷大的阶631

8·2 微分632

8·3 近似公式和误差633

8·4 一次插值法634

8·5 二次插值法(牛顿公式)634

8·6 四则运算的误差635

8·7 洛比达定理637

8·8 不定型的极限值644

8·9 求近似根的牛顿法647

8·10 泰勒展开式·马克劳林展开式及其余项形式648

8·11 幂级数的逐项微分法652

8·12 偏导数652

第十二章 积分学661

1.不定积分661

1·1 原函数和不定积分661

1·2 不定积分的法则与公式661

1·3 常用初等函数的不定积分公式663

1·4 有理函数的积分法666

1·5 无理函数的积分法668

1·6 超越函数的积分法673

1·7 各种函数的不定积分的例题676

2.定积分685

2·1 有理整函数的定积分685

2·2 定积分686

2·3 定积分的基本性质687

2·4 换元积分法·分部积分法691

2·5 广义定积分692

2·6 定积分的例题693

2·7 有关定积分的不等式的例题706

2·8 由定积分表示的函数712

2·9 定积分的近似计算714

3·1 利用定积分导出级数和的例题716

3.定积分的应用716

3·2 平面图形的面积719

3·3 平面曲线的长728

3·4 旋转体体积730

3·5 旋转曲面的面积733

3·6 平均值734

3·7 积分法在物理学上的应用735

4.微分方程747

4·1 n阶微分方程的解法747

4·2 一阶微分方程常用的解法747

4·3 二阶微分方程的解法751

第十三章 概率·统计755

1.概率755

1·1 概率的定义755

1·2 概率计算的基本定理756

2·1 频数分布及频数分布图764

2.统计764

2·2 相关分析771

2·3 总体与样本776

2·4 期望值779

2·5 统计的假设检验790

第十四章 初等几何学797

1.总论797

1·1 几何学简史797

1·2 预备知识800

2.有关直线的基本定理804

2·1 两直线的夹角和平行804

2·2 三角形的性质806

2·3 平行四边形的性质814

3.有关面积和比例的基本定理819

3.1 多边形的面积819

3.2 比例824

4·1 圆的基本性质828

4.有关圆的基本定理828

4·2 圆周角831

4·3 圆的比例834

5.轨迹835

5·2 基本轨迹835

5·1 轨迹的证明835

6.几个定理840

6·1 利用近世几何学方法处理的几个定理840

6·2 与三角形有关的定理845

6·3 与多边形有关的定理851

7.作图题857

7·1 作图题的解法857

7·2 基本作图题858

7·3 各种类型的作图题860

7·4 作图不能问题866

8·1 直线和平面的位置关系868

8.空间图形868

8·2 多面角872

8·3 多面体873

第十五章 近世数学875

Ⅰ 集合875

1.集合与逻辑875

1·1 集合875

1·2 命题879

1·3 逻辑演算及符号879

1·4 逻辑法则和布尔代数880

1·5 命题逻辑884

1·6 谓词逻辑889

2.集合与运算894

2·1 半群894

2·2 群897

2·4 环903

2·3 半群的同态·群的同态903

2·5 域905

2·6 有序域906

2·7 格908

2·8 数911

3.集合与拓扑916

3·1 拓扑的概念916

3·2 映射的基本性质917

3·3 拓扑空间921

3·4 分离公理928

3·5 距离空间931

3·6 实数的连续性933

1·1 n维向量及其运算935

1.线性代数935

Ⅱ 代数935

1·2 向量的数乘936

1·3 向量的长度·两个向量的内积·两个向量的正交937

1·4 线性无关·线性相关939

1·5 向量空间·子空间·基底940

2.矩阵943

2·1 矩阵及其运算(加减)943

2·2 矩阵的积944

2·3 逆矩阵947

3.行列式949

4.行列式的应用952

4·1 联立线性方程组952

4·2 矩阵的秩和向量的线性无关953

5.矩阵运算的应用958

1·1 什么是线性规划963

Ⅲ 线性规划与对策论963

1.线性规划963

1·2 向量966

1·3 凸集合970

1·4 线性规划问题973

1·5 单纯形法980

1·6 F坐标(双变数)985

2.对策论987

2·1 何谓对策987

2·2 决定性的对策和单纯战略990

2·3 非决定性的对策与混合战略993

2·4 2×2得分矩阵的解994

Ⅳ 电子计算机的原理998

1.电子计算机概述998

1·1 电子计算机的组成998

1·2 数据的表示1003

2.电子计算机的运算原理1005

2·1 开关代数1005

2·2 运算的基本电路和计算的编排1006

3.程序设计1008

3·1 程序设计1008

3·2 自动程序设计1011

Ⅴ 整数论1014

1.前言1014

2.整数的基本性质1015

2·1 基本术语的定义1015

2·2 整数的基本性质1016

2·3 环·整环(或叫整区)·域1017

3.基本性质的事理1019

3·1 公理系1019

3·2 直接的结果1019

3·3 理想1020

4.整数论的问题1025

4·1 素数问题和不定方程1025

4·2 一次不定方程和连分式1028

5.同余1032

5.1 同余的基本性质1032

5·2 同余类·剩余系1034

5·3 欧拉函数1037

5·4 群1039

6.原根和指数1041

6·1 原根1041

6·2 指数1042

7.同余方程1043

7·2 一次同余式1044

7·3 二次同余式与平方剩余1046

8.代数整数1049

8·1 定义1049

8·2 因数分解与理想1053

9.二次域的整数和二元二次不定方程1056

9·1 二次域1056

9·2 欧几里得整环1058

9·3 理想类1058

9·4 二次不定方程1059

10.结束语1060

Ⅵ 近世几何学1061

1.平行线公理1061

2.射影几何学1064

附录1064

数表1064

3.拓扑1066

4.图论1067

索引1067

5.四色问题1075