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目 录3

数 学 篇3

一、集合、映射、函数3

知识要点3

1．集合3

2．映射4

3．函数4

1．怎样正确理解集合概念5

疑难剖析5

2．怎样理解映射概念6

3．函数的近代定义与传统定义是否一致7

问题选析7

1．用集合语言表示集合关系的问题7

2．求集合的交集、并集与补集的问题8

3．求函数表达式与画函数图像的问题9

4．求函数定义域的问题10

1．幂函数11

知识要点11

二、幂函数11

2．函数的单调性与奇偶性12

3．一一映射、逆映射与反函数13

疑难剖析14

1．研究幂函数y=xn时，对底数x有无限制14

2．怎样把握幂函数图像的大致形状14

3．为什么要强调在给定区间上研究函数的单调性15

4．怎样的函数才有反函数15

1．幂函数性质的应用问题16

问题选析16

2．研究函数的单调性与奇偶性的问题17

3．函数的反函数及其应用问题19

三、指数函数和对数函数21

知识要点21

1．指数函数21

2．对数函数22

1．怎样理解指数函数和对数函数的概念23

3．指数方程和对数方程23

疑难剖析23

2．在运用指数函数和对数函数的性质时，要注意哪些问题24

问题选析25

1．有关指数函数和对数函数性质的问题25

2．有关换底公式的应用问题29

3．解指数方程和对数方程31

4．关于指数函数和对数函数的应用问题32

四、任意角的三角函数34

知识要点34

1．角34

2．终边相同的角和象限角35

3．弧度制35

4．任意角的三角函数36

5．同角三角函数的基本关系式37

疑难剖析38

1．怎样正确理解弧度制38

6．诱导公式38

2．怎样正确理解三角函数的定义39

3．怎样掌握和记忆诱导公式39

问题选析40

1．角度和弧度的换算40

2．弧长公式ι=｜α｜ γ的应用41

3．求终边相同角，确定象限角的问题42

4．求三角函数值的问题43

5．已知三角函数值求角的问题45

6．已知三角函数（式）值，求同角三角函数式的值46

7．化简三角函数式47

8．证明三角恒等式49

五、三角函数的图像和性质51

知识要点51

1．三角函数线51

2．三角函数的图像和性质52

1．怎样理解三角函数线55

疑难剖析55

3．周期函数55

4．函数y=A sin（ωχ+？）的图像55

2．怎样正确理解周期函数的周期57

3．怎样理解函数y=58

Asin（ωχ+？）和掌握它与函数y=sinx的图像间的关系58

问题选析60

1．求函数的定义域和值域问题60

2．讨论函数的周期问题62

3．讨论函数的奇偶性问题64

4．讨论函数的单调性问题65

5．讨论函数的最大（小）值问题69

6．关于作函数的图像问题71

六、两角和与差的三角函数73

知识要点73

1．两角和与差的公式73

2．倍角公式73

3．半角公式73

6．和差化积公式74

4．万能公式74

5．积化和差公式74

疑难剖析75

1．怎样记忆众多的三角公式75

2．怎样决定半角公式中的符号76

3．怎样才能正确熟练地进行三角式的变换77

问题选析79

1．求三角函数（式）值的问题79

2．化简三角函数式的问题87

3．证明三角恒等式问题89

4．证明三角条件等式问题94

5．证明三角形中的三角等式问题97

6．研究三角函数的性质和求最大（小）值的问题99

七、反三角函数101

知识要点101

1．反三角函教101

2．有关反三角函数的恒等式102

3．反三角函数的图像和性质103

疑难剖析104

1．怎样正确理解反三角函数的定义104

2．怎样理解sin（arcsinx）和arcsin（sinx）105

3．怎样分辨两个容易混淆的等式106

问题选析107

1．用反三角函数表示角的问题107

2．求函数的定义域和值域的问题108

3．求函数的反函数问题110

4．求反三角函数值的问题112

5．有关反三角函数的三角运算问题114

6．求证有关反三角函数的等式问题115

7．比较反三角函数值的大小问题116

8．关于函数图像的问题119

2．最简三角方程的解集121

1．三角方程121

知识要点121

八、三角方程121

疑难剖析122

1．怎样正确表达三角方程的解集122

2．怎样判定三角方程解集相等124

3．怎样避免和检验解三角方程产生的增失根125

问题选析128

1．解最简三角方程的问题128

2．解形如sinf（x）=α等的三角方程129

3．解含有相同未知数的同名三角函数的方程131

4．解两边是同名三角函数的方程133

5．解一边为零一边能分解因式的方程134

6．解关于sinx、cos的齐次方程136

7．解形如αsinx+138

bcosx=c（c≠0）的方程138

8．解有关三角方程的应用题140

1．不等式142

九、不等式142

知识要点142

2．不等式的证明143

3．不等式的解法144

4．含有绝对值的不等式144

疑难剖析145

1．怎样正确运用不等式的性质145

2．用不等式求函数的最值时，应注意什么问题146

问题选析147

1．关于不等式性质的问题147

2．不等式的证明题148

3．解不等式（组）的问题153

4．含绝对值不等式的问题158

5．不等式的应用问题159

知识回顾161

1．分式不等式、含绝对值的不等式、无理不等式、指数不等式和对数不等式的一般解法161

2．综合题选解162

十、数列164

知识要点164

1．数列164

2．等差数列165

3．等比数列165

疑难剖析165

1．怎样正确理解数列的概念165

2．怎样解有关等差、等此数列的问题168

问题选析168

1．关于数列概念的问题168

2．关于等差数列的问题170

3．关于等比数列的问题173

4．与等差、等比数列有关的问题175

5．关于数列的应用问题176

6．特殊数列的求和问题177

知识要点179

1．数列的极限179

十一、数列和函数的极限179

2．函数的极限180

3．极限的简单应用181

疑难剖析181

1．怎样正确理解数列极限的概念181

2．什么是无穷数列各项的和183

3．怎样理解函数的极限184

问题选折185

1．关于数列极限的问题185

2．关于函数极限的问题188

3．关于极限的简单应用问题189

十二、数学归纳法192

知识要点192

数学归纳法192

疑难剖析192

1．归纳法与数学归纳法有什么区别192

2．为什么数学归纳法的两个步骤缺一不可193

3．应用数学归纳法时要注意哪些问题194

问题选析195

1．证明等式问题195

2．证明整除问题197

3．证明不等式问题198

4．求证数列通项问题199

知识要点201

1．行列式201

十三、行列式和线性方程组201

2．线性方程组203

疑难剖析204

1．怎样正确掌握行列式的各个性质204

2．按一行（或一列）展开三阶行列式要注意哪些问题205

问题选析205

1．关于线性方程组的问题205

2．行列式的计算问题210

知识要点213

1．复数213

十四、复数213

2．复数的运算214

3．复数的三角形式214

4．复数的指数形式215

疑难剖析215

1．怎样正确理解复数的有关概念215

2．怎样掌握和运用复数的三角形式217

1．有关复数概念的问题219

问题选析219

2．有关复数运算的问题222

3．有关复数三角形式的问题224

4．有关复数几何意义的问题226

5．有关复数的综合问题228

知识回顾230

1．数系表230

2．综合题选解230

1．加法原理和乘法原理233

知识要点233

十五、排列和组合233

2．排列234

3．组合234

疑难剖析235

1．怎样正确理解加法原理与乘法原理235

2．掌握排列、组合概念要注意什么问题236

3．解有限制条件的排列组合问题要注意哪些事项236

2．关于排列数与组合数计算的问题238

1．关于两个基本原理的问题238

问题选析238

3．关于排列的应用题241

4．关于组合的应用题243

5．排列和组合的混合问题245

十六、二项式定理245

知识要点245

二项式定理245

2．二项展开式的通项公式有哪些特点246

疑难剖析246

1．二项展开式中某一项的系数与这一项的二项式系数是否相同246

3．怎样求二项式系数的最大项247

问题选析247

1．求二项展开式中项的问题247

2．关于二项展开式系数性质的问题249

3．有关二项式定理应用的问题251

十七、概率252

知识要点252

概率252

疑难剖析253

1．怎样正确理解随机事件的概率253

2．怎样区别互斥事件与对立事件254

问题选析254

1．关于等可能事件概率的问题254

2．关于互斥事件有一个发生的概率问题257

3．有关相互独立事件同时发生的概率问题258

4．关于独立重复试验的问题260

十八、平面261

知识要点261

1．平面261

2．平面的基本性质262

3．点、线、面关系的符号表示262

4．水平放置的平面图形的画法263

疑难剖析263

1．怎样理解平面的基本性质263

2．怎样正确使用表示点、线、面关系的符号264

问题选析264

1．讨论确定平面的问题264

2．讨论平面划分空间的问题265

3．证明直线共面的问题267

4．证明点共线的问题268

5．作图问题268

2．异面直线270

1．空间两条直线的位置关系270

十九、空间两条直线270

知识要点270

疑难剖析271

1．怎样理解异面直线的定义271

2．平面图形的性质拓广到空间图形时应注意什么271

3．怎样理解异面直线所成的角和距离271

问题选析272

1．作图问题272

2．证明相交直线的问题274

3．证明异面直线的问题275

4．求异面直线所成的角和距离276

二十、空间直线和平面278

知识要点278

1．直线和平面的位置关系278

2．直线和平面平行278

4．直线和平面的距离279

5．直线和平面斜交279

3．直线和平面垂直279

6．三垂线定理及其逆定理280

疑难剖析280

1．怎样理解直线和平面平行的判定定理和性质定理280

2．怎样理解直线和平面垂直281

3．怎样理解和计算直线和平面所成的角282

5．怎样根据射影知识283

正确作出空间图形283

4．怎样理解和区分三垂线定理及其逆定理283

问题选析284

1．证明直线和平面平行的问题284

2．证明直线和平面垂285

直的问题285

3．证明两条直线平行286

的问题286

4．证明两条直线垂直287

的问题287

角和距离等问题289

5．求有关线面关系中289

6．作图问题293

二十一、空间两个平面295

知识要点295

1．空间两个平面的位置关系295

2．两个平面平行295

3．两个平面相交295

4．两个平面垂直296

疑难剖析296

1．怎样理解两个平面平行的判定定理和性质定理296

2．怎样理解二面角的平面角的定义297

3．怎样理解平面和平面的垂直297

4．怎样解有关二面角内的问题298

5．怎样解有关平面图形的翻折问题299

6．怎样画平面的平行和相交图形300

7．怎样画几何体的截面301

1．证明有关平面和平面平行的问题303

问题选析303

2．证明平面和平面垂直的问题305

3．二面角内的计算问题306

4．平面图形的翻折问题309

5．有关截面的计算问题312

知识回顾313

1．平行问题313

2．垂直问题313

4．距离问题314

3．共点、共线、共面问题314

5．综合题选解315

二十二、多面体319

知识要点319

1．棱柱319

2．棱锥320

3．棱台320

1．怎样掌握棱柱、棱锥、棱台的有关概念和性质321

4．多面体321

疑难剖析321

2．解棱锥、棱台的计算问题常用什么方法322

3．怎样计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积323

问题选析324

1．有关线段长和角的计算问题324

2．求侧面积和全面积的问题327

3．求截面的面积问题330

2．圆锥332

3．圆台332

知识要点332

1．圆柱332

二十三、旋转体332

4．球333

5．球冠333

6．球带333

2．怎样理解球的表面积公式和球冠、球带的面积公式334

1．怎样理解圆柱、圆锥、圆台的性质334

疑难剖析334

7．旋转体334

3．怎样理解两点间的球面距离335

4．怎样理解地球上的经纬度336

问题选析336

1．求有关距离和角的问题336

2．求截面的面积问题339

3．求侧面积和侧面展开图的圆心角的问题341

4．求侧面上两点的距离问题344

5．有关球的截面问题346

6．关于球面上两点的距离问题348

7．求球和球冠的表面积问题349

二十四、多面体和旋转体的体积351

知识要点351

1．体积351

4．棱台、圆台的体积352

3．棱锥、圆锥的体积352

2．棱柱、圆柱的体积352

5．球的体积353

6．球缺的体积353

7．拟柱体的体积353

疑难剖析353

怎样掌握和记忆多面体和旋转体的体积公式353

问题选析355

1．解有关多面体和旋转体体积的问题355

2．应用体积相等解距离问题363

知识回顾365

1．多面体和旋转体的侧面积之间的关系365

2．立体几何和平面几何之间的关系366

3．综合题选解367

二十五、平面直角坐标系370

知识要点370

1．有向线段370

1．怎样正确理解有向线段的概念371

疑难剖析371

2．平面上两点间的距离371

4．三角形的重心坐标公式371

3．定比分点371

2．怎样理解和掌握有向线段的数量公式372

3．怎样理解点p分线段P1P2所成的此373

问题选析374

1．有向线段数量关系式的证明问题374

2．两点间的距离问题374

3．有关点的坐标和定比λ的问题375

4．证明平面几何问题378

二十六、直线380

知识要点380

1．直线方程380

2．两条直线的位置关系381

1．怎样初步理解直线方程的概念382

疑难剖析382

5．直线型经验公式382

4．二元一次不等式表示的区域382

3．点到直线的距离382

2．直线的倾斜角和斜率有什么区别和联系383

3．直线方程的四种特殊形式和一般式有什么关系383

4．怎样理解两个独立条件决定一条直线384

5．怎样理解和掌握两条直线平行和垂直的条件384

6．怎样理解两条直线所成的角和掌握它的计算公式385

1．求直线的斜率和倾斜角问题386

问题选析386

2．求直线方程的问题387

3．有关两条直线位置关系的问题393

4．三点共线和三线共点的问题394

5．求两条直线所成的角的问题395

6．有关点到直线的距离问题397

7．证明平面几何问题398

8．综合问题399

1．曲线和方程401

二十七、曲线和方程401

知识要点401

2．曲线的交点402

3．充要条件402

疑难剖析402

1．怎样理解曲线的方程和方程的曲线的定义中的两个条件402

2．怎样求曲线的方程403

3．怎样正确理解充分条件、必要条件和充要条件405

问题选析406

1．求轨迹方程的问题406

2．判定充分条件、必要条件和充要条件的问题409

3．有关两曲线交点的问题410

二十八、圆412

知识要点412

1．圆的方程412

2．直线和圆的位置关系及其判定412

2．怎样理解三个独立条件决定一个圆413

1．怎样正确理解和掌握圆的一般方程413

3．圆的切线方程413

疑难剖析413

问题选析414

1．求圆的方程的问题414

2．求圆的切线方程的问题418

3．有关两圆位置关系的问题421

二十九、椭圆422

知识要点422

椭圆的定义、方程、图形和性质422

疑难剖析424

1．怎样正确理解椭圆的定义424

2．怎样理解和掌握椭圆的两种形式的标准方程424

问题选析425

1．有关椭圆定义的应用问题425

2．已知椭圆方程，讨论椭圆性质的问题426

3．求椭圆标准方程的问题427

4．有关直线和椭圆位置关系的问题430

5．有关椭圆的证明题431

6．有关椭圆的轨迹问题432

三十、双曲线434

知识要点434

双曲线的定义、方程、图形和性质434

疑难剖析436

1．怎样正确理解双曲线的定义436

2．怎样理解和掌握双曲线的两种形式的标准方程436

问题选析437

1．已知双曲线的方程，讨论双曲线性质的问题437

2．求双曲线标准方程的问题438

3．有关直线和双曲线位置关系的问题442

4．有关双曲线的证明题443

5．有关双曲线的轨迹问题444

6．含有参数的方程的讨论问题445

知识要点446

抛物线的定义、方程、图形和性质446

三十一、抛物线446

疑难剖析448

1．怎样理解和掌握抛物线的四种形式的标准方程448

2．怎样正确理解和掌握抛物线标准方程中的参数p448

问题选析449

1．已知抛物线方程，求焦点坐标和准线方程的问题449

2．求抛物线标准方程的问题450

3．有关直线和抛物线位置关系的问题452

4．有关抛物线的证明题453

5．有关抛物线的轨迹问题454

三十二、圆锥曲线的切线和法线455

知识要点455

1．圆锥曲线的切线和法线的定义455

2．圆锥曲线的切线方程455

疑难剖析456

1．怎样正确理解圆锥曲线的切线的定义456

3．圆锥曲线的切线和法线的性质456

2．怎样理解和掌握圆锥曲线的切线方程457

问题选析458

1．已知切点求圆锥曲线的切线方程问题458

2．已知斜率求圆锥曲线的切线方程问题459

3．过圆锥曲线外一点求圆锥曲线的切线方程问题460

4．有关圆锥曲线切线的证明题462

1．圆、椭圆、双曲线和抛物线的联系463

知识回顾463

2．综合题选解464

三十三、坐标变换468

知识要点468

1．坐标轴的平移468

2．坐标轴的旋转469

3．一般二元二次方程的讨论和化简469

疑难剖析470

点的坐标、曲线的方程和坐标系有何关系470

1．利用平移公式求点的坐标和曲线的方程471

问题选析471

2．化简二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0472

3．求对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线方程473

4．利用旋转公式求点的坐标和曲线的方程474

5．化简一般二元二次476

方程476

2．参数方程和普通方程的互化479

1．参数方程479

知识要点479

三十四、参数方程479

3．常见曲线的参数方程480

疑难剖析481

怎样正确理解参数方程的概念481

问题选析482

1．求曲线参数方程的问题482

2．化参数方程为普通方程的问题487

3．化普通方程为参数方程的问题489

4．直线的参数方程的应用490

5．有关参数方程的综合问题494

三十五、极坐标496

知识要点496

1．极坐标496

2．曲线的极坐标方程496

3．极坐标和直角坐标的互化498

疑难剖析498

1．怎样正确理解极坐标的概念498

1．求轨迹的极坐标方499

程问题499

2．怎样正确理解曲线的极坐标方程的概念499

问题选析499

2．极坐标和直角坐标502

的互化问题502

3．有关圆锥曲线的极504

坐标方程的问题504

4．有关等速螺线的问505

题505