《中学数学思想方法训练》求取 ⇩

第一章数学结论的探求与讨论1

第一节迭代与递归1

一、几个例子1

二、试算—归纳—猜想—论证6

三、求通项的技巧13

四、求级数的和22

五、从一道习题的分析谈起34

六、母函数41

七、用特征方程求解递归方程50

练习1·157

第二节推广与退缩60

一、引伸—推广—改造—退缩61

二、图形上的推广69

三、退缩便于寻找解题方法83

四、推广可寻找一般规律93

五、用推广来构造题目105

练习1·2115

第三节广泛与局限120

一、实系数一元二次方程解的判别式120

二、拟柱体体积公式129

三、线性方程组讨论141

四、旋转体体积与表面积148

五、曲线系方程155

六、中点与重心160

练习1·3167

第四节直路与弯路173

一、参数的引入174

二、从比较中探求合理性181

三、凸函数与不等式证明196

四、巧用三倍角公式205

五、射影定理211

六、幻方（数字幻方）221

练习1·4228

第五节全局与局部231

一、爬坡式程序232

二、拼接241

三、极值（等周等积定理）247

四、函数y＝Ax+？的图象259

五、对称267

练习1·5273

第六节严谨与直观277

一、函数图象277

二、单位圆模型286

三、几何解释298

四、图的表示与解题308

五、级数求和的模型314

六、数与形的结合324

练习1·6330

第二章数学结论的逻辑结构335

第一节分析与综合335

一、由因导果335

二、执果索因338

三、因果交叉分析法345

四、条件、结论的变更353

五、RMI分析模型364

练习2·1371

第二节直接证法与间接证法374

一、数学证明374

二、反例378

三、反证法386

四、同一法395

练习2·2398

第三节演绎和归纳403

一、由一般到特殊的推理404

二、由特殊到一般的推理409

三、数学归纳法416

四、归纳、演绎、发现、应用426

练习2·3437

第四节类比推理的似真性440

一、命题对偶构造法440

二、截积定理447

三、空间余弦定理452

四、Euler四面体461

五、数与式的整除性468

六、椭圆与双曲线的直径和切线473

练习2·4480

第五节似真推理与数学证明483

一、空间的分割484

二、求自然数的约数和489

三、有限集合元素的个数494

四、均值定理501

五、几何作图513

六、二项式定理521

练习2·5532

第三章数学解题方法研究535

第一节变更与转化535

一、转化变量535

二、等价的转化543

三、几何问题解析化548

四、代数、三角的几何化557

五、方法上的转化564

六、不等价的转化与变更571

练习3·1578

第二节两个重要原理579

一、n+1个元素分成n个集合580

二、m个元素分成n个集合583

三、一种间接考虑的方法587

四、容斥原理在组合计数中的应用591

练习3·2596

第三节参数法598

一、条件连等式598

二、条件不等式601

三、参数讨论604

四、参数的选择610

五、参数的几何意义的应用622

六、参数法求轨迹629

七、参数方程与普通方程的等价性637

练习3·3642

第四节待定系数法645

一、因式分解645

二、多项式的整除649

三、部分分式651

四、根式开方655

五、求解析式659

六、级数求和662

练习3·4665

第五节射影法与向量法667

一、射影定理667

二、封闭折线射影669

三、图形的射影674

四、平面向量与复数678

五、向量几何684

六、向量法在空间图形中的应用688

七、用交点投影法作截面图693

练习3·5695

第六节一题多解与多题一解698

一、加强各种知识间的联系699

二、加强方法上的沟通708

三、加强解法比较721

四、多题一解归类737

五、多题一解的构造与变更742

练习3·6748

第四章现代数学从方法上进行渗透752

第一节集合与映射752

一、集合的基数法752

二、补集的应用754

三、计数问题与映射756

四、图形变换与映射759

五、逆映射与解方程761

六、方程解的个数与映射763

第二节向量767

一、不等式的证明767

二、轨迹与区域770

三、平面图形775

四、空间图形778

五、三角函数式783

六、运动与图形785

第三节初等几何变换791

一、平移变换791

二、反射变换795

三、旋转变换798

四、相似变换与位似变换801

五、反演变换804

第四节矩阵809

一、解方程组与矩阵的行变换809

二、逆矩阵与解方程组811

三、方程组解集的讨论与矩阵秩814

四、矩阵与变换820

五、关系与矩阵832

第五节进制数837

一、二进制数的表示838

二、二进制与三进制数对应840

三、P进制数的应用844

四、猜数卡的编制849

五、火柴游戏问题851

六、杂例分析853

第六节图论的简单应用858

一、树图858

二、平面图862

三、有向图865

四、图的应用868

五、卡诺图与逻辑871

六、完全偶图874