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译者的话1

前言1

志谢3

引言6

序10

第一章数学景观13

1.1 数学是什么13

1.2 数学在哪里15

1.3 数学社会15

1.4 这个行业的工具18

1.5 已知的数学知识有多少22

1.6 乌拉姆的困境25

1.7 可能有多少数学知识28

附录A 1910年前大事年表29

附录B 数学分类，1868年与1979年的比较31

第二章数学经验种种35

2.1 当代的个体和集体意识35

2.2 理想的数学家36

2.3 一个物理学家看数学46

2.4 夏弗里维奇和新柏拉图主义52

2.5 异端54

2.6 个人与文化59

第三章外部问题64

3.1 数学为什么有效——约定论的回答64

3.2 数学模型71

3.3 数学的效用73

3.4 并非“正统”的应用81

3.5 抽象和经院神学100

第四章内部问题107

4.1 符号107

4.2 抽象110

4.3 推广117

4.4 形式化120

4.5 数学对象和结构；存在124

4.6 证明130

4.7 无限——数学的超凡容器134

4.8 伸长的线140

4.9 命运之神的硬币144

4.10 美学成分149

4.11 模式、秩序和混沌152

4.12 算法数学和论理数学161

4.13 普遍性和抽象的倾向——中国剩余定理的事例研究167

4.14 数学之谜174

4.15 多样性中的统一176

第五章数学专题选述179

5.1 群论和有限单群分类180

5.2 素数定理186

5.3 非欧几何192

5.4 非康托尔集合论199

5.5 非标准分析212

5.6 傅里叶分析227

第六章数学教学244

6.1 一个预科学校数学教师的自白244

6.2 传统教学法的危机246

6.3 波利亚的发现技巧256

6.4 新数学的创造：拉卡托斯启发法的应用262

6.5 比较美学268

6.6 数学的非解析方面269

第七章从确实性到易谬性285

7.1 柏拉图主义、形式主义和构造主义285

7.2 正在工作的数学家的哲学困境287

7.3 欧几里得神话288

7.4 基础的发现和丧失295

7.5 形式主义的数学哲学302

7.6 拉卡托斯与可疑性哲学308

第八章数学实在321

8.1 黎曼假设321

8.2 π和？327

8.3 数学模型，计算机和柏拉图主义331

8.4 为什么我应当相信计算机336

8.5 有限单群的分类342

8.6 直觉344

8.7 四维直觉352

8.8 关于假想对象的真正事实358

参考文献365

索引394