《群论基础教程》

目 录1

序 言1

第一章抽象群概论1

§1.1集合与映射1

1-1集合1

1-2映射3

1-3等价关系5

2-1群的定义6

§1.2群和实例6

2-2乘法表8

2-3子群、陪集和群心8

2-4群的同构与同态9

§1.3群的基本性质11

§1.4置换群12

4-1置换和宇称12

4-2凯雷（Cayley）定理14

§1.5类、不变子群和商群16

5-1共轭元素和类16

5-3商群（因子群）19

5-2不变子群19

5-4直积群和半直积群21

习题一23

第二章群表示论基础26

§2.1 群表示与表示空间26

1-1基本定义26

1-2群算符和表示空间28

1-3物理学中的群表示和哈密顿群30

§2.2群表示的几个重要概念33

2-1等价表示33

2-2表示的直和与直积34

2-3不变子空间、可约与不可约表示35

2-4直积群的表示36

§2.3幺正表示及其重要性质36

§2.4舒尔引理及群表示的正交关系39

4-1舒尔引理Ⅰ40

4-2舒尔引理Ⅱ41

4-3不可约表示第一正交关系44

§2.5群表示的特征标46

5-1特征标的定义及其性质47

5-2特征标第一正交关系48

5-4不可约表示的判据49

5-3可约表示的约化49

§2.6不可约表示及特征标第二正交关系50

6-1勃恩赛得（Burnside）定理50

6-2群表示第二正交关系51

6-3特征标第二正交关系52

6-4不可约表示的确定及特征标表53

§2.7群表示基函数55

7-1 投影算符56

7-2 D3群二维不可约表示基函数58

7-3直积表示和直积群表示的基函数61

7-4克莱布西—高登（Clebsch-Gordan）系数62

习题二65

第三章分子和晶体对称群69

§3.1点群的对称操作69

§3.2极射赤面投影71

§3.3晶体32种点群71

3-1晶体转轴制约定理71

3-2点群C？73

3-3点群C？73

3-5点群S？74

3-4点群C？74

3-6点群D？75

3-7点群D？76

3-8点群D？76

3-9正多面体点群77

§3.4晶系和点群的国际符号81

§3.5点群的不可约表示84

§3.6晶体空间群93

6-1平移变换和空间群元94

6-2晶体平移群及其不可约表示95

6-3晶体空间群的不可约表示98

§3.7点群的初步应用104

7-1哈密顿对称群及守恒量105

7-2能级简并和分裂107

7-3矩阵元定理和选择定则115

习题三120

第四章线性群和张量表示123

§4.1线性群及其维数123

1-1基矢变换与一般线性群123

1-2直积空间与张量124

1-3各种经典群及其维数126

2-1群代数及其约化128

§4.2群代数128

2-2幂等元131

§4.3标准杨盘和杨氏算子133

§4.4置换群的不可约表示及其特征标136

4-1置换群的不可约表示维数137

4-2置换群的不可约表示138

4-3置换群不可约表示的特征标142

§4.5置换群表示的外积及其约化147

§4.6线性群的张量表示及其约化150

6-1线性群的高秩张量表示150

6-2置换对张量的作用152

6-3置换和线性变换的可易性153

6-4张量空间的约化155

§4.7不可约张量表示维数158

7-1 完全反对称K秩张量159

7-2完全对称K秩张量159

7-3三秩混合对称张量159

7-4一般对称型张量160

§4.8线性群的分支律及其直积表示的约化162

8-1分支律162

8-2不可约表示的直积约化164

§4.9一般线性群不可约张量表示与其子群SL（N,C），GL（N,R），SL（N,R），U（N）和SU（N）的关系166

§4.10 幺模群的逆步张量表示和SU（N）群的有限维不可约表示170

10-1 幺模群的对偶表示与逆步张量表示170

10-2SU（N）群的有限维不可约表示171

习题四174

第五章李群和李代数177

§5.1拓扑初步177

1-1拓扑和拓扑空间177

1-2解析流形179

1-3同伦和同伦群182

§5.2拓扑群和李群185

2-1拓扑群（连续群）186

2-2连续变换群和结构函数187

2-3李群实例189

§5.3李群其它重要概念190

3-1 同 构190

3-2共轭类和不变子群191

3-3连通性和叶192

3-4李群紧致性和群上不变积分194

4-1李群的无穷小变换及其生成元199

§5.4李群和李代数199

4-2李氏第一定理205

4-3李氏第二定理和结构常数206

4-4李氏第三定理和李代数208

4-5李氏三定理的逆定理210

4-6泰劳（Taylor）定理212

习题五216

第六章半单李代数的正则形式及其根图218

§6.1 基本概念218

2-1基林型和完全反对称结构常数222

§6.2基林（Killing）型和半单李代数的嘉当（Cartan）判据及其卡塞米尔（Casimir）算子222

2-2嘉当判据和卡塞米尔算子223

2-3可解李代数和幂零李代数225

§6.3半单李代数的正则形式227

3-1嘉当子代数和李代数的秩227

3-2李代数的正则形式和基林型228

3-3根矢量的基本性质231

§6.4根图和单李代数分类235

4-1根图和韦耳（Weyl）反射235

4-2半单李代数的分类238

5-1正根和素根241

§6.5素根和邓金（Dynkin）图241

5-2邓金图246

5-3李代数的根系249

习题六255

第七章李代数的表示及其应用257

§7.1李群和李代数的表示257

§7.2半单李代数的表示和权图259

2-1权与权空间259

2-2权的基本性质261

2-3单李代数不可约表示的标记及权图263

2-4不可约表示维数270

§7.3直积表示及其约化274

§7.4夸克模型和强子波函数279

4-1强子的su（3）夸克波函数的权图280

4-2su（n）李代数不可约表示权图的一般讨论287

§7.5盖尔曼—欧丘巴（Gell-Mann,Okubo）质量288

关系288

§7.6su（6）夸克模型和重子磁矩292

习题七297

主要参考文献297