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第一章函数与极限1

1.1函数6

1.1.1 确定函数的定义域6

1.1.2 函数的特性7

1.1.3 函数表达式的运算9

习题1.111

1.2极限13

1.2.1 利用初等变形求极限13

1.2.2 利用公式求极限16

1.2.3 极限的证明问题18

1.2.4 无穷小在求极限中的应用22

1.2.5 极限式中常数的确定24

习题1.226

1.3函数的连续性与性质27

1.3.1 函数连续与间断的判别27

1.3.2 有关连续性的证明问题31

1.3.3 方程根的判定32

习题1.334

第二章导数与微分35

2.1概念理论题37

习题2.139

2.2与导数定义有关的问题39

2.2.1 按定义求导40

2.2.2 利用导数的定义求极限42

2.2.3 关于分段函数的连续性与可导性问题43

习题2.248

2.3导数与微分的计算49

2.3.1 复合函数求导49

2.3.2 隐函数求导55

2.3.3 参数式函数求导56

2.3.4 高阶导数59

习题2.363

2.4导数与微分的应用66

2.4.1 近似计算67

2.4.2 导数与微分的几何应用67

2.4.3 导数与微分的物理应用70

习题2.471

第三章中值定理与导数的应用72

3.1值得注意的几个理论问题75

习题3.180

3.2利用中值定理证明具有某种性质的点ξ的存在性81

习题3.283

3.3求未定式的极限84

3.3.1 用罗必达法则求未定式的极限84

3.3.2 利用微分中值定理与泰勒公式求极限88

习题3.389

3.4证明不等式90

3.4.1 利用中值定理证明不等式90

3.4.2 利用函数的单调性证明不等式91

3.4.3 利用函数的最值证明不等式93

3.4.4 利用函数的凹凸性证明不等式94

习题3.495

3.5应用导数研究函数95

3.5.1 函数的单调性95

3.5.2 函数的零点97

3.5.3 函数的极值和最值99

3.5.4 曲率与曲率半径102

3.5.5 函数的图形103

习题3.5106

第四章不定积分108

4.1利用基本积分公式与性质积分111

习题4.1113

4.2换元积分法113

4.2.1 第一类换元积分法113

4.2.2 第二类换元积分法123

习题4.2126

4.3分部积分法127

习题4.3134

4.4几种特殊类型函数的积分134

4.4.1 有理函数的积分134

4.4.2 三角函数有理式的积分138

4.4.3 简单无理函数的积分141

习题4.4145

第五章定积分146

5.1与定积分定义、性质有关的问题149

习题5.1155

5.2与积分上限的函数有关的问题156

习题5.2164

5.3定积分的计算165

5.3.1 利用定积分性质及“牛—莱”公式积分165

5.3.2 定积分的换元法168

5.3.3 定积分的分部积分法175

习题5.3179

5.4广义积分180

5.4.1 无穷限的广义积分181

5.4.2 无界函数的广义积分184

习题5.4186

第六章定积分应用187

6.1平面图形的面积190

习题6.1195

6.2体积195

6.2.1 旋转体的体积195

6.2.2 平行截面面积为已知的立体的体积198

习题6.2200

6.3平面曲线的弧长201

习题6.3203

6.4功、液体压力、引力204

习题6.4209

6.5平均值210

习题6.5210

第七章空间解析几何与向量代数211

7.1空间直角坐标系及向量代数215

习题7.1220

7.2平面及其方程221

习题7.2226

7.3空间直线及其方程227

习题7.3231

7.4空间曲线与曲面232

习题7.4235

第八章多元函数微分法及其应用236

8.1多元函数基本概念问题240

习题8.1246

8.2多元函数微分法247

习题8.2258

8.3多元函数微分法在几何上的应用260

习题8.3265

8.4方向导数与梯度266

习题8.4269

8.5多元函数的极值及其应用269

习题8.5275

第九章重积分277

9.1二重积分的计算282

9.1.1 二重积分的性质282

9.1.2 交换积分次序283

9.1.3 用直角坐标计算二重积分287

9.1.4 用极坐标计算二重积分292

9.1.5 关于奇偶对称性296

习题9.1297

9.2三重积分的计算299

9.2.1 用直角坐标计算三重积分300

9.2.2 用柱面坐标计算三重积分304

9.2.3 用球面坐标计算三重积分307

习题9.2312

9.3重积分的应用313

9.3.1 重积分在几何上的应用313

9.3.2 重积分在物理上的应用317

习题9.3324

第十章曲线积分与曲面积分325

10.1对弧长的曲线积分336

习题10.1339

10.2对坐标的曲线积分339

10.2.1 对坐标的曲线积分的计算340

10.2.2 格林公式344

习题10.2352

10.3对面积的曲面积分353

习题10.3359

10.4对坐标的曲面积分360

10.4.1 对坐标的曲面积分的计算360

10.4.2 高斯公式365

习题10.4369

10.5斯托克斯公式 散度 旋度371

习题10.5375

10.6曲线积分与曲面积分的应用375

习题10.6380

第十一章级数381

11.1概念理论题385

习题11.1389

11.2常数项级数391

11.2.1 用定义判别敛散性391

11.2.2 正项级数敛散性判别法393

11.2.3 交错级数与任意项级数402

11.2.4 利用级数求数列极限409

习题11.2410

11.3幂级数413

11.3.1 收敛半径与收敛域413

11.3.2 函数展成幂级数418

11.3.3 幂级数求和423

习题11.3427

11.4傅立叶级数428

11.4.1 周期为2π的函数展开为傅立叶级数429

11.4.2 正弦级数与余弦级数431

11.4.3 周期为2l的函数展开为傅立叶级数433

习题11.4434

第十二章微分方程435

12.1可分离变量的微分方程440

习题12.1444

12.2齐次方程444

习题12.2447

12.3一阶线性微分方程447

习题12.3452

12.4全微分方程452

习题12.4456

12.5可降阶的高阶微分方程456

习题12.5462

12.6二阶常系数线性微分方程463

习题12.6470

第十三章历届研究生入学试题选编471

一九八七年试题471

一九八八年试题476

一九八九年试题481

一九九○年试题486

一九九一年试题491

一九九二年试题497

一九九三年试题502

一九九四年试题508

一九九五年试题513

一九九六年试题518

一九九七年试题524

一九九八年试题529

习题答案536