《表欧几里得《几何原本》内容一览表》

  提示：宽带有限、当前游客访问压缩模式

本系列图表出处文件名：随高清版一同展现

《数学家精神思想之《几何原本》赏析》

1. 获取 高清版本忘记账户？点击这里登录

1. 下载图表忘记账户？点击这里登录

其实对《几何原本》逻辑结构的批评，几乎从成书之日就已经开始。早在帕普斯（Pappus，3世纪末）和普罗克洛斯（Proclus，410-485）就有对其定义和公理的批评。莱布尼兹指出卷I命题1的证明中，应用两个互相经过对方圆心的圆有公共点，有赖于直观，这实质涉及直线和圆的连续性假定。高斯（Gauss，1777-1855）指出“在……之间”必须建立于清晰概念基础上，以及直线、平面等概念。就连哲学家叔本华（Schopenhauer，1788-1860）也奇怪数学家们只针对第5公设，而不去攻击公理4“彼此能重合的物体是全等的”重叠法；对于这点也许欧几里得本人也有察觉，因为他在凡是能用其他方法证明的，他都总是尽量回避，哪怕使用重叠法会使证明更简单。即便如此，《几何原本》在很长时期仍是数学严密性的典范，很多瑕疵被认为仅是次要问题。直到非欧几何的工作，才使得数学家们清醒地认识到了《几何原本》中的这些缺陷。基于现代视角，可发现欧几里得使用了数十个他未意识到的假定，于是数学家们着手重建欧几里得几何的基础。通过一系列数学家的努力，若以概念和陈述最简单、最接近欧几里得且最受欢迎，当属于希尔伯特《几何基础》（1899）中的欧几里得几何公理系统，随后进行多次修订，他本人修订到第七版（1930），其学生贝尔耐斯（Bernays）进一步修订，1977年已到第十二版。其中包含五组公理：关联公理（8个）、次序公理（4个）、全等公理（5个）、平行公理和连续公理（2个）。这不仅奠定了几何学严密的公理化基础，同时也开启了现代数学的公理化运动，使得公理化方法逐渐渗透到了几乎所有纯数学领域以及其他科学领域。