《复变函数论习题集 上集》

目 录1

上 集1

序言1

第一章复数与复变函数2

§1．复数（复数，几何解释，测地投影，四元素）2

§2．初等超越函数6

§3．复变函数（实变量的复函数；复变函数的极限及连续性）9

模和幅角的几何意义）12

§4．解析函数和调和函数（哥西——黎曼条件；调和函数；12

第二章初等函数的保角映射17

§1．线性函数（整线性函数；分式线性函数）17

§2．线性变换理论的补充问题（线性变换标准型；线性变换的22

某些近似的公式；最简单的双连通区域的映射；分式线性22

变换群的性质，线性变换和罗拔契夫斯基几何22

§ 3．有理函数和代数函数（某些超越函数；圆月形和具有裂缝区域的27

映射；儒苛夫斯基函数；对称原理应用；最简单地多叶映射）27

对称原理应用；最简单多叶映射）34

§4．初等超越函数（基本超越函数；像是带域和半带域的映射；34

§5．单叶性边界，凸形边界和星形边界39

第三章几何问题的补充．解析函数的推广41

§1．区域和它的边界的某些性质、区域的映射41

§2．拟保角映射．解析函数的推广44

第四章 积分和幂级数51

§1．复变函数的积分51

§2．哥西积分定理54

§3．哥西积分公式55

§4．数项级数57

§5．冪级数（收敛半径的确定；边界上的性状；阿贝尔第二定理）58

§6．台劳级数（函数的台劳级数展式；多项式的母函数系；）60

微分方程的解60

§7．哥西积分公式和冪级数的某些应用（哥西积分，单叶函数的64

面积定理；模的最大值原理；解析函数的零点；唯一性定理；64

解析函数通过它的实部和虚部的表达式）64

§1．罗朗级数（函数的罗朗级数展式；单叶函数某些性质）68

第五章罗朗级数，单值函数的奇点，整函数68

§2．单值解析函数的奇点（奇点；比卡尔定理；在收敛圆的边界上71

有奇点的冪级数）71

§3．整函数（阶；型；指标）74

答案和解法77

第六章各种泛函级数．依赖于参变量的积分无穷乘积123

§1．泛函级数123

下 集123

目 录123

§2．迪里赫勒级数125

§3．依赖于参变量的积分（积分的收敛；拉普拉斯积分）127

§4．无穷乘积130

第七章残数及其应用133

§1．残数的计算133

§2．积分的计算（残数定理的某些应用；定积分与拉普拉斯积分134

逆演有关的积分；积分的渐近线的性状）134

§3．零点的分布．级数的推广（鲁舍定理；幅角原理；级数的推广）148

§4．最简分式与无穷乘积的级数展开式．级数求和152

第八章柯西型积分、普阿松和许瓦兹积分公式．奇异积分156

§1．柯西型积分156

§2．某些积分关系式和二重积分162

§3．迪里赫勒积分，调和函数，对数势和格林函数164

§4．普阿松积分，许瓦茲公式，调和测度167

§5．某些奇异积分172

第九章解析开拓．多值性质的奇点．黎曼曲面186

§1．解析开拓186

§2．多值性质的奇点．黎曼曲面191

§3．具有弧立奇点的某些解析函数197

第十章保角映射（补充）200

§1．克力士多佛尔——许瓦茲公式200

§2．椭圆函数所作出的保角映射211

第十一章在力学与物理方面的应用221

§1．在流体力学方面的应用221

§2．在静电学方面的应用232

§3．在温度分布于平面问题上的应用241

答案和解法243