《简明数学分析》求取 ⇩

前言1

1.数列的极限1

1.1 简要的历史回顾1

1.2 从矩形的面积说起 逼近法3

1.3 实数系连续性的解析表达4

1.4 数列极限的性质和运算5

1.5 无穷大量11

1.6 单调有界数列12

1.7 一些否定命题的表达和反证法16

1.8 子列BQlzano-Weierstrass定理17

习题19

2.函数极限22

2.1 函数22

2.2 函数极限的定义25

2.3 函数极限的性质和运算28

2.4 两个有用的例32

2.5 无穷小量的阶33

习题34

3.连续函数38

3.1 连续和间断38

3.2 上(下)确界42

3.3 闭区间上连续函数的性质44

3.4 连续的反函数存在定理46

3.5 一致连续47

习题50

4.1 基本定理的等价性53

4.再论几个基本定理53

4.2 闭区间上连续函数性质的其他证明54

习题56

5.导数57

5.1 导数的概念57

5.2 导数的运算法则61

5.3 隐函数和参数方程的求导65

5.4 微分67

5.5 高阶导数和高阶微分69

习题73

6.1 微分学中值定理78

6.导数的应用78

6.2 函数的单调性、极值和凸性82

6.3 L′Hospital法则95

6.4 Taylor公式100

6.5 求方程根的近似值105

习题106

7.不定积分109

7.1 不定积分的概念109

7.2 不定积分的换元法112

7.3 不定积分的分部积分法116

7.4 有理函数的积分法119

7.5 一些可有理化的不定积分124

习题129

8.定积分134

8.1 定积分的定义134

8.2 积分存在的条件137

8.3 Riemann可积函数的特征139

8.4 定积分的性质144

8.5 微积分的基本定理147

8.6 定积分的换元法和分部积分法150

8.7 其他例题153

8.8 平面图形的面积159

8.9 曲线的弧长和曲率161

8.10 体积167

8.11 旋转曲面的面积169

8.12 平均值171

8.13 定积分在物理上的应用173

8.14 Stirling公式178

8.15 定积分的近似计算180

习题183

9.数项级数189

9.1 数列的上极限和下极限189

9.2 Cauchy收敛准则192

9.3 级数收敛的概念194

9.4 正项级数的收敛判别法198

9.5 任意项级数的收敛判别法203

9.6 绝对收敛级数的性质208

9.7 级数的乘积210

9.8 无穷乘积212

习题213

10.反常积分217

10.1 反常积分收敛的概念217

10.2 反常积分的收敛判别法221

10.3 反常积分的计算和主值227

习题230

11.函数项级数232

11.1 一致收敛的概念232

11.2 一致收敛的性质235

11.3 一致收敛的判别法238

11.4 幂级数240

11.5 函数的幂级数展开245

习题247

12.Euclid空间上的拓扑和映射251

12.1 Euclid空间的概念251

12.2 Euclid空间的基本拓扑252

12.3 Euclid空间上的映射259

12.4 多元函数的极限261

12.5 连续映射265

习题268

13.偏导数和偏导数的应用270

13.1 偏导数和全微分的概念270

13.2 链式规则277

13.3 隐函数求导281

13.4 微分表达式的变量代换285

13.5 隐函数存在定理288

13.6 空间曲线的切线和法平面293

13.7 曲面的切平面和法线297

13.8 方向导数和梯度300

13.9 Taylor公式304

13.10 多元函数的极值305

13.11 条件极值313

习题318

14.重积分326

14.1 闭矩形上的重积分326

14.2 可度量区域上的重积分332

14.3 外积和重积分的变量代换342

14.4 n重积分的例357

14.5 反常重积分359

习题369

15.曲线积分和曲面积分Stokes公式373

15.1 第一类曲线积分373

15.2 第二类曲线积分378

15.3 曲面的面积386

15.4 第一类曲面积分390

15.5 第二类曲面积分394

15.6 Green公式和Gauss公式403

15.7 外微分Stokes公式414

15.8 曲线积分与路径的无关性 保守场420

15.9 散度、旋度和微分算子？426

习题430

16.含参变量积分435

16.1 含参变量的常义积分435

16.2 含参变量反常积分的一致收敛442

16.3 含参变量反常积分的性质446

16.4 几个重要的反常积分448

16.5 Γ函数和B函数453

习题458

17.Fourier级数461

17.1 周期函数展开为Fourier级数461

17.2 Fourier级数的复数形式471

17.3 收敛判别法的证明473

17.4 最佳平方平均逼近480

17.5 Fourier积分482

17.6 Fourier变换485

习题490

附录 向量代数和空间解析几何494

1.向量及其运算494

2.空间直角坐标系500

3.用坐标进行向量运算502

4.平面方程和直线方程505

5.空间曲面510

6.坐标变换515

7.二次曲面及其标准形式516

习题520