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绪论1

第一章 导言15

第一节 本著作目的的表述15

1. 本理论研究的目的15

2-10. 各种例子，环，立方体，球，无穷棱柱；任一点的变化温度都是坐标和时间的一个函数。16

11. 必须观察的三个特殊要素是热容量，自热导率或渗透率，外热导率或穿透率。表示它们的系数最初可看作是与温度无关的常数19

12. 地球温度问题的首次表述20

13-15. 理论应用的必要条件。实验目的21

16-21. 从一个面的同一点所逃逸的热辐射线没有相同的强度。每一条辐射线的强度与这条射线的方向和这个面的法线所成夹角的余弦成正比。22

第二节 一般概念和初始定义26

22-24. 永恒温度，温度计。0所表示的温度是溶冰温度。在已知压力下一已知容器中的沸水温度用1来表示26

27-29. 由体积增量或由附加热量所测量的温度。此处只考察体积增量与热量增量成正比的情况。这个条件在液体中一般不成立；对于其温度与引起状态变化的温度大不相同的固体，它显然成立27

26. 比热27

25. 用来测量热量的单位是溶解一定质量的冰所需要的热27

30. 外热导率的概念28

31. 我们开始可以把失掉的热量看作是与温度成正比的。这个命题只在一定的温度界限内成立28

32-35. 耗散到介质中去的热由几部分组成。这种作用是复合和可变的。光热29

36. 外热导率的量度30

37. 自热导率的概念。这个性质也可以在液体中观察到。30

38，39. 温度平衡。这个作用与接触无关30

40-49. 辐射热和在真空中所建立的平衡的初始概念；热辐射线的反射原因或它们在物体中保持的初始概念；内分子间传递方式的初始概念31

50，51. 反射热的作用的初始概念35

52-56. 关于热的静态性质和动态性质的注记。它是弹性原理。气流体的弹力精确指示它们的温度37

第三节 热传导原理39

57-59. 当同一固体的两个分子挨得极近且温度不等时，较热分子就传给次热分子一定的热量，这个量严格由时刻的长度、极小温差和这两个分子距离的某个函数的积来表示39

61-64. 前面两目所阐明的命题以若干观察为基础。该理论的主要目的就是要发现这些命题的所有精确结论。这样，通过把计算结果和很精确的实验进行比较，我们就可以测量系数的变化41

60. 当一个受热物体被放到较低温度的气态介质中时，它在第一时刻失去一定的热量，在开始的研究中，这个量可以看作是与表面温度超过介质温度的超出量成正比的41

第四节 均匀热运动和线性热运动43

65. 包含在两个保持固定温度的平行平面之间的无穷固体的永恒温度由方程(v-a)e=(b-a)z来表示；a和b是这两个极平面的温度，e是它们的距离，v是与下平面的距离为z的截面的温度43

66，67. 热流量的概念和量度46

68，69. 自热导率的量度48

70. 关于热的直接作用延伸一段明显距离的情况的注记49

71. 上平面受空气作用时同一固体的状态49

72. 线性热运动的一般条件51

第五节 细棱柱中永恒温度的规律52

73-80. 棱柱中的线性热运动方程。这个方程的各种推论52

第六节 闭空间的加热58

81-84. 包围由一个保持温度a的面所加热的空间的固体边界的终极温度由下述方程?来表示。P的值是？，m是内部空气的温度，n是外部空气的温度，g，h，H分别测量受热面a、边界s的内表面和外表面s等的穿透率；e是边界的厚度，K是它的自热导率58

85，86. 上述方程的几个值得注意的推论60

87-91. 使一个以几个连续壳层来避免其表面与外部空气接触的物体保持不变温度的必要热量的量度。这些面的分离的一些值得注意的作用。这些结果适用于许多不同的问题62

第七节 三维的均匀热运动68

92.93. 包围在六直角平面中的固体的永恒温度由方程 v=A+ax+by+cz来表示。x,y,z是温度为v的任一点的坐标；A，a,b,c是常数。如果极平面由任一原因保持满足上述方程的固定温度，那么所有内部温度的终极系统就由这同一个方程表示68

94，95. 这种棱柱中的热流量的量度70

第八节 在已知固体的一个已知点的热运动的量度72

96-99. 假定固体温度的变化系统由方程v=F(x,y,z,t)来表示，这里v表示我们在历经时间t之后在坐标为x,y,z的点所观察到的变化温度72

100. 上述定理对函数F是e-gtcosxcosycosz的情况的应用76

第二章 热运动方程79

第一节 环中变化的热运动方程79

101-105. 环中的变化热运动方程由方程？来表示。弧x测定一个截面与原点O的距离；v是该截面在历经时间t之后所得到的温度；K，C，D，h是特定的系数；79

106-110. 处于等距离的各点的温度由一个循环级数的各个项来表示。对三个相邻点的温度v1,r2,v3的观察给出比值？的大小：我们有？是两个相邻点之间的距离81

第二节 实心球中变化的热运动方程84

111-113. x表示任一壳层的半径时球中的热运动方程由方程？来表示84

114-117. 与表面状态有关的条件和与固体初始状态有关的条件85

118-120. 固体的温度由三个方程确定；第一个与内部温度有关，第二个表示表面的连续状态，第三个表示固体的初始状态88

第三节 实圆柱中变化的热运动方程88

第四节 无穷长实棱柱中变化的热运动方程90

121-123. 固定温度系统满足方程？；v是坐标为x,y,z的点的温度90

124，125. 与表面状态有关且与第一个截面状态有关的方程92

第五节 实立方体中变化的热运动方程93

126-131. 变化的温度系统由三个方程确定；第一个表示内部状态，第二个与表面状态有关，第三个表示初始状态93

第六节 固体内热传导的一般方程96

132-139. 不变温度由线性方程v=A-ax-by-cz来表示时包围在六直角平面之间的固体的均匀热运动性质的初步证明。这些温度不可能变化，因为固体每一点所得到的热和它放出的热一样多96

140.141. 任一固体内这个热流量的解析表达式。由于温度方程是v=f(x,y,z)，所以函数-Kv?表示在时刻？之内，在坐标为x,y,z,且在历经时间t之后其温度为v的点上经过一个与z轴垂直的无穷小面积ω的热量100

142-145. 不难从前述定理导出热运动的一般方程，即？103

第七节 与表面有关的一般方程105

146-154. 证明在空气中冷却的一个物体表面上点的变化温度满足方程？ 是形成这个固体边界表面的微分方程，q等于(m2+r2+p2)?。为了发现这个方程，我们考虑形成这个固体边界外壳的一个分子105

155，156. 在把一般方程(A)应用到圆柱和球的情况中去时，我们得到和本章第3节和第2节一样的方程113

第八节 一般方程的应用113

第九节 一般注记116

157-162. 对进入热理论的所有解析表达式的量x,t,v,K,h,C,D的性质的基本考虑。每一个这样的量都有一个或与长度，或与时间，或与温度有关的量纲指数。这些指数通过使测量单位发生变化而得到116

第三章 无穷矩形固体中的热传导120

第一节 问题的表述120

163-166. 包含在温度保持0度的两个平行的无穷边之间的一块矩形薄片的恒定温度由方程？来表示120

167-170. 如果我们考虑与横截边缘距离很远的薄片的状态，那么坐标为x1,y和x2,y的两点的温度比随y值的增加而变化；同时x1和x2保持它们各自的值不变。122

第二节 热理论中使用三角级数的第一个例子126

171-178. 方程1=acosx+bcos3x+ccos5x+dcos7x+...中的系数研究。由此我们得到？或？。126

第三节 对这些级数的若干注记133

179-181. 为了求得构成右边级数的值，假定项数限制在m个之内，这个级数成为x和m的一个函数。这个函数根据m倒数的幂而展开，并且令m是无穷的133

182-184. 同一过程适用于几个其它的级数136

185-188. 给出x和m的这个函数值的前一个展开式中，我们严格确定把从一个已知项开始的所有项的和都包含在内的界限139

189. 建立级数？的非常简单的过程142

第四节 通解143

190，191. 矩形片中热运动的解析表达式；可以把它分解成简单运动143

192-195. 边与基底平行或垂直的边界或边的热量测量。热流量的这个表达式足以检验解145

196-199. 理的推论。必须把这个矩形片看作是构成一个无穷平面的一部分；解表示这个平面所有点的永恒温度147

200-204. 证明所提出的问题不可能有不同于我们刚才所表述的其它解149

第五节 解的结果的有限表达式153

205，206. 因此坐标为x和y的矩形片的一点的温度表示成？153

第六节 任意函数的三角级数展开155

207-214. 通过确定下述无穷数目的方程中未知数的值所得到的展开式：A=a+2b+4c+4d+...，B=a+33c+43d+...，C=a+25b+35c+45d+...，D=a+27b+37c+47d+...155

215，216. 以asinx+bsin2x+csin3x+sin4x+...的形式展开的函数φ(x)，先假定它只含x的奇次幂167

217，218. 同一展开式的不同表达式。对函数ex-e-x的应用169

219-221. 任一函数φ(x)可以a1sinx+a2sin2x+a3sin3x+...+aisinix+...的形式展开。一般系数a1的值是？。由此我们导出很简单的定理？171

222，223. 定理的应用：由它导出值得注意的级数？。175

224，225. 关于函数以三角级数展开的第二个定理：？。应用：我们由此导出值得注意的级数？。177

226-230. 上述定理可应用于不连续函数，并且解决以丹尼尔·伯努利在振弦问题中的分析为基础的问题。180

231-233. 任一函数F(x)可以F(x)=A+?的形式展开，其中每个系数都是一个定积分。我们一般有2πA=？dxF(x),πa1=？dxF(x)cosix,和πb1=?dxF(x)sinix。186

234. 必须把与包含在-π到+π之间的x值相对应的F(x)的值看作是完全任意的。我们也可以对x选择任一界限190

235. 关于运用三角级数展开式的若干注记192

第七节 对实际问题的应用196

236，237. 横截边的状态由任一函数所表示时，无穷矩形片永恒温度的表达式196

第四章 环中线性的和变化的热运动200

第一节 问题的通解200

238-241. 我们要考虑的变化运动由一些简单运动组成。在每一个简单运动中温度保持它们的初始比不变，并且，作为其方程为v=A·e-m的一条曲线的纵坐标，它们随时间而降低。一般表达式的建立200

242-244. 对一些值得注意的例子的应用。解的各种推论204

245，246. 温度系统迅速向由积分的第一部分所表示的一个常规状态和终极状态收敛。这时无论直径位置如何，直径上相对的两点的温度和相同。它等于平均温度。在每一个简单运动中，圆周被等距离的点所划分。207

247-250. 两个物体之间的热传导。变化温度的表达式。对测量热导率系数值的注记211

第二节 分离物体之间的热传导211

251-255. 排列在一条直线上的n个分离物体之间的热传导。每个物体的变化温度的表达式；我们把它作为历经时间、测量热导率的系数、以及被看作为任意的所有初始温度这三者的一个函数而给出214

256，257 .这个解值得注意的几个推论221

258. 对物体数目无穷的情况的应用222

259-266. 排列成圆形的几个分离物体之间的热传导。适合于这个问题的微分方程；这些方程的积分。每一个这样的物体的变化温度被表示成测量热导率的系数、自传导开始的时刻起所历经的时间、以及作为任意的所有初始温度这三者的一个函数223

267-271. 包含这些未知量和已知初始温度的方程的系数消元232

272，273. 通解的建立；结果的解析表达式237

274-276. 这个解的应用和推论239

277，278. 考察假定数n为无穷的情况。我们得到与第241目和234目定理所表述的固体环有关的解。我们因此确定我们为解与连续物体有关的方程所运用的分析起点242

279. 前面两个结果的解析表达式245

280-282. 证明环中的热运动问题不可能有其它解。方程？的积分显然是所能建立的最一般的解。246

第一节 通解251

283-289. 首先把这个固体中两点的变化温度比看作是对一个确定极限的连续逼近。这个考虑导致方程？，这个方程表示球中的简单热运动。数n取定方义方程？所给定的无穷值。251

第五章 实心球中的热传导251

290-292. 通解的建立；固体的终极状态257

293.应用于球因长期浸没而加热的情况260

第二节 对解的各种注记261

294-296. ①与半径很小的球有关和与任一球的终极状态有关的结果261

298-300. 插入正在自由冷却的液体中的温度计的变化温度。这些结果对温度计的比较和使用的应用263

301. 作为历经时间函数的球的平均温度表达式267

302-304. 对半径很大的球和对半径很小的球的应用268

305. 关于给出n的所有值的定义方程的性质的注记270

第六章 实圆柱中的热运动272

306，307. 我们首先注意到这个固体两点的变化温度比连续趋近于一个确定的极限，我们由此确定简单运动的表达式。作为这个表达式因子之一的x的函数由一个二阶微积分方程给出。272

308，309. 这个方程的分析。由代数基本定理证明，这个方程的所有根都是实根274

310.变量x的函数u由？来表示；在对x给定其完全值X时，定义方程是hu+?=0277

311，312. 由于函数φ(z)的展开式由？...表示，所以级数？的值是？。对定积分的这种使用的注记279

313. 变量x的函数u作为连分式的表达式281

314. 通解的建立282

315-318. 确定系数值的解析表述283

319. 通解288

320. 解的推论289

第七章 矩形棱柱中的热传导292

321-323. 由热的一般性质和由固体形状所确定的简单运动表达式。满足一个其所有根都是实根的超越方程的一段弧ε进入这个表达式292

324. 所有未知系数都由定积分来确定294

325. 问题的通解295

326，327. 所提出的问题不可能有其它解296

328，329. 棱柱轴上的点的温度297

330. 应用于棱柱很细的情况298

331. 这个解表明在固体内怎样建立均匀热运动299

332. 应用于底面积很大的棱柱301

第八章 实立方体中的热运动303

333，334. 简单运动表达式。一段弧ε进入这个表达式，这个弧满足一个其所有根都是实根的三角方程303

335，336. 通解的建立304

337. 这个问题不可能有其它解307

338. 解的推论307

339. 平均温度表达式308

340. 立方体中的终极热运动和发生在球中的热运动的比较309

414. 当我们使用定积分的其它上下限时这些表达式改变形式309

341. 对在第100目中所考虑的简单情况的应用310

第九章 热扩散313

第一节 无穷直线中的自由热运动313

342-347. 我们考虑在一部分已经受热的一条无穷直线中的线性热运动；初始状态由v=F(x)表示。下述定理被证明：？。函数F(x)满足条件F(x)=F(-x)。313

349. 对已知的加热是由热源作用所确定的终极状态引起的情况的应用318

348. 对受热部分的所有点都得到相同初始温度情况的应用。如果我们对x给定一个包含在1到-1之间的，那么积分？是？π318

350. 由积分？所表示的不连续函数值319

351-353. 我们考虑在与原点右边相距x的初始温度由v=f(x)表示、与原点左边相距x的初始温度由v=-f(x)表示的一条直线中的线性热运动。319

354. 当受热部分的初始状态由一个完全任意函数表示时变化温度的表达式322

355-358. 把多重弧的正弦或余弦的函数展开式变换成定积分324

359. 证明下述定理：？函数f(x)满足条件：f(-x)=-f(x)326

360-362. 前述结果的运用。由一般方程？所表示的定理的证明。这个方程显然包含在第234目所表达的方程(Ⅱ)中(见第397目)327

第四节 积分的比较327

363. 前面的解还表明在一点受某一恒温作用的一条无穷直线中的变化热运动331

364. 同一问题也可以用一另一种积分形式来解。这个积分的建立333

365，366. 解对于初始温度为0的一个无穷棱柱的应用。值得注意的几个推论335

367-369. 同一积分应用于热扩散问题。我们由此所导出的解与第347、348目中所表述的解一致340

370，371. 对方程？的不同积分形式的若干注记344

372-376. 三维的无穷固体中变化的热运动的表达式直接从线性运动的表达式中导出。方程？的积分解决所提出的问题。346

第二节 无穷固体中的自由热运动346

377-382. 在只有一部分含热，其它所有部分的初始温度都为0的一个无穷棱柱中，开始热在整个物体中分布；并且在某个时间区间之后这个固体任一部分的状态与初始热的分布无关354

383-385. 同样这些注记适用于无穷固体中的热分布。359

第三节 无穷固体中的最高温度362

386，387. 包含在棱柱一部分中的热自行在整个物体中分布。远点的温度逐渐升高，达到其最大值，然后下降。这个最大值所出现的时间是距离x的一个函数。362

388-391. 与前面的问题相类似的一个问题的解。解的不同结果364

392-395. 考虑无穷固体中的热运动；确定远离最初受热部分的那些部分的最高温度369

396. 方程？(α)的第一个积分(α)。这个积分表示环中的热运动372

397. 同一方程(α)的第二积分(β)。它表示无穷固体中的线性热运动374

398. 这个积分的其它两种形式(γ)和(δ)，和前一种形式一样，它们从积分(α)导出374

399，400. 与时间t的增幂相对应的v值的第一个展开式。与v的幂相对应的第二个展开式。第一个必须包含t的一个唯一的任意函数375

401. 适合于这些展开式表示的记号。由此导出的分析无需进行级数展开378

402. 对方程？......(c),和？......(d)的应用379

403. 对方程？......(e)和？......(f)的应用380

404. 为建立上一目的方程(f)的积分而对第361目定理E的使用382

405. 为建立属于弹性片的方程(d)的积分而对同一定理的使用384

406. 用一积分的第二种形式386

407. 用以进行这些变换的引理387

408. 由第361目定理(E)所表示的定理适用于任意多个变量390

409. 为建立第402目的方程(c)的积分而对这个命题的使用391

411. 振动弹性面的方程(e)的积分394

412. 这个积分的第二种形式396

413. 为通过取表示这些积分的级数和来得到这些积分而对同一定理的使用。对方程？的应用。在有限形式下包含t的两个任意函数的积分396

415.416. 用来证明一般方程？的作图400

417. 对α的积分可取任一界限a和b。这些界限是与函数f(x)的存在值相对应的x值的界限。x的每个其它值对f(x)给出一个0结果404

418. 同一注记适用于一般方程？方程右边表示一个周期函数406

419. 由方程(B)所表示的定理的主要特征在于：函数符号f被变换成另一个未知数a，且主要变量x只在余弦符号内407

420. 这些定理在虚量分析中的运用408

421. 对方程？的应用409

422. i阶流数？的一般表达式410

423. 用来证明一般方程的作图。与这种方程的范围有关、与和x的界限相对应的f(x)的值有关以及与f(x)的无穷值有关的推论412

424-427. 主要在于用定积分来确定在φa(μ1x)+bφ(μx2)+cφ(μ3x)+...的形式之下x的一个函数展开式的待定系数的方法从代数分析基本原理导出。414

428. 对用来解决热理论分析问题的方法的几个一般注记422

429. 对我们导出热理论的微分方程原理的几个一般注记428

430. 与热的一般性质有关的术语433

431. 所提出的一些记号434

432，433. 对进入热运动微分方程的系数的性质的一般注记434

410. 同一定理对方程？的应用493