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第一篇高等数学1

第一章函数、极限和连续1

第一节重要概念、定理和公式的剖析1

一、函数的基本性质1

二、分段函数6

三、反函数6

四、复合函数7

五、初等函数10

六、函数的极限及其连续性10

七、重要公式和定理16

第二节重要题型的解题方法和技巧23

题型一 未定式的定值法23

题型二 类未定式的计算27

题型三 数列的极限28

题型四 极限式中常数的确定（重点）33

题型五 函数连续或间断点的判定36

第三节思维定势及综合题解析38

一、思维定势38

二、综合题解析42

习题一43

第二章导数与微分47

第一节重要概念、定理和公式的剖析47

一、导数与微分的定义47

二、重要定理51

三、导数与微分的运算法则51

四、基本公式51

五、弧微分与曲率52

六、高阶导数的定义与基本公式53

第二节重要题型的解题方法和技巧53

题型一 求复合函数的导数或微分53

题型二 求参数方程的导数或微分55

题型三 求隐函数的导数或微分56

题型四 求幂指函数的导数或微分56

题型五 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分57

题型六 求分段函数的导数或微分57

题型七 求高阶导数58

第三节思维定势及综合题解析62

一、思维定势62

二、综合题解析62

习题二65

第三章不定积分68

第一节重要概念、定理和公式的剖析68

一、不定积分的基本概念68

二、基本性质68

三、基本公式69

四、基本积分法70

第二节重要题型的解题方法和技巧87

题型一 有理函数的不定积分87

题型二 简单无理函数的不定积分88

题型三 三角有理式的不定积分89

题型四 含有反三角函数的不定积分93

题型五 抽象函数的不定积分93

题型六 分段函数的不定积分94

第三节思维定势及综合题解析95

一、思维定势95

二、综合题解析96

习题三98

第四章定积分及反常积分102

第一节重要概念、定理和公式的剖析102

一、基本性质102

二、定理和公式105

三、定积分的计算法108

四、反常积分的基本概念112

第二节重要题型的解题方法和技巧113

题型一 分段函数的定积分113

题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分115

题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分116

题型四 对称区间上的定积分118

题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分119

题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分120

题型七 已知一定积分，求另一定积分121

题型八 定积分等式的证明122

题型九 定积分不等式的证明130

题型十 计算反常积分135

题型十一 反常积分的判敛136

第三节思维定势及综合题解析137

一、思维定势137

二、综合题解析138

习题四139

第五章微分中值定理143

第一节 重要概念、定理和公式的剖析143

第二节重要题型的解题方法和技巧144

题型一 闭区间上连续函数命题的证明144

题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理147

题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题148

题型四 命题f（n）（ξ）＝0的证明149

题型五 欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），f’（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立150

题型六 欲证结证：在（a，b）内至少存在两点ξ，η（ξ≠η）满足某个代数式153

第三节思维定势及综合题解析154

一、思维定势154

二、综合题解析156

习题五157

第六章常微分方程160

第一节重要概念、定理和公式的剖析160

一、基本概念160

二、二阶线性微分方程解的结构160

三、二阶常系数线性微分方程162

四、n阶常系数线性微分方程162

第二节重要题型的解题方法和技巧165

题型一 一阶微分方程的计算165

题型二 可降阶的高阶方程的求解171

题型三 计算二阶线性微分方程173

题型四 微分方程的应用176

第三节思维定势及综合题解析179

一、思维定势179

二、综合题解析179

习题六181

第七章一元微积分的应用184

第一节重要概念、定理和公式的剖析184

一、函数的单调增减性定理184

二、函数的极值与最值185

三、函数凹凸性的判别与函数的拐点186

四、微元法及其应用188

第二节重要题型的解题方法和技巧190

题型一 求函数的极值190

题型二 求函数的最值191

题型三 关于方程根的讨论192

题型四 函数渐近线的求解197

题型五 函数作图198

题型六 求平面图形的面积199

题型七 求立体的体积201

题型八 求平面曲线的弧长202

题型九 求旋转体的侧面积203

题型十 变力做功、引力、液体的静压力204

第三节思维定势与综合题解析207

一、思维定势207

二、综合题解析208

习题七211

第八章多元函数微分学214

第一节重要概念、定理和公式的剖析214

一、二元函数的定义214

二、二元函数的极限及连续性215

三、偏导数、全导数及全微分216

四、基本定理217

五、多元函数的极值219

六、条件极值与无条件极值220

第二节重要题型的解题方法和技巧220

题型一 简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法220

题型二 复合函数微分法221

题型三 隐函数微分法224

题型四 求无条件极值227

题型五 求条件极值228

题型六 求最值229

第三节思维定势及综合题解析231

一、思维定势231

二、综合题解析231

习题八232

第九章重积分234

第一节重要概念、定理和公式的剖析234

一、基本概念234

二、性质234

三、公式236

四、二重积分的解题技巧237

第二节重要题型的解题方法和技巧239

题型一 更换二重积分的积分次序239

题型二 选择二重积分的积分次序241

题型三 二重积分坐标系的选择243

题型四 分段函数的二重积分的计算244

题型五 二重积分等式的证明247

题型六 二重积分不等式的证明249

第三节思维定势及综合题解析251

一、思维定势251

二、综合题解析252

习题九253

第十章函数方程与不等式证明256

第一节函数方程256

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程256

二、利用极限求解函数方程257

三、利用导数的定义求解方程258

四、利用变上限积分的可导性求解方程258

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解259

六、利用解微分方程的方法求解f（x）260

第二节不等式的证明262

一、引人参数法262

二、利用微分中值定理263

三、利用函数的单调增减性（重点）265

四、利用函数的极值与最值267

五、利用函数图形的凹凸性268

六、利用泰勒展开式269

七、杂例270

习题十271

第二篇线性代数274

第一章行列式274

第一节重要概念、定理和公式的剖析274

一、排列与逆序274

二、n阶行列式的定义275

三、行列式的基本性质277

四、行列式按行（列）展开定理279

五、重要公式与结论281

第二节重要题型的解题方法和技巧282

题型一 抽象行列式的计算282

题型二 低阶行列式的计算282

题型三 n阶行列式的计算284

第三节思维定势与综合题解析289

一、思维定势289

二、综合题解析290

习题一291

第二章矩阵294

第一节重要概念、定理和公式的剖析294

一、矩阵的概念294

二、矩阵的运算295

三、逆矩阵的概念297

四、利用伴随矩阵求逆矩阵298

五、矩阵的初等变换与求逆299

六、分块矩阵及其求逆300

七、矩阵的秩及其求法300

第二节重要题型的解题方法和技巧300

题型一 求逆矩阵300

题型二 求矩阵的高次幂Am303

题型三 有关初等矩阵的命题305

题型四 解矩阵方程306

题型五 求矩阵的秩308

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明310

题型七 关于方阵A可逆的证明310

题型八 与A的伴随阵A*有关联的命题的证明311

题型九 关于矩阵秩的命题的证明312

第三节思维定势与综合题解析314

一、思维定势314

二、综合题解析315

习题二316

第三章向量322

第一节重要概念、定理和公式的剖析322

一、向量的概念与运算322

二、向量间的线性关系322

三、向量组的秩和矩阵的秩323

四、向量空间324

五、重要定理与公式326

六、小结326

第二节重要题型的解题方法和技巧327

题型一 讨论向量组的线性相关性327

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明331

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示337

题型四 有关向量组线性表示命题的证明338

题型五 求向量组的极大线性无关组340

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明341

题型七 与向量空间有关的命题345

第三节思维定势与综合题解析347

一、思维定势347

二、综合题解析347

习题三349

第四章线性方程组352

第一节重要概念、定理和公式的剖析352

一、克莱姆法则352

二、线性方程组的基本概念352

三、线性方程组解的判定353

四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系354

五、线性方程组解的性质354

六、线性方程组解的结构354

第二节重要题型的解题方法和技巧355

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）355

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论359

题型三 讨论两个方程组的公共解365

题型四 有关基础解系的证明366

第三节思维定势与综合题解析368

一、思维定势368

二、综合题解析368

习题四373

第五章特征值和特征向量378

第一节重要概念、定理和公式的剖析378

一、矩阵的特征值和特征向量的概念378

二、相似矩阵及其性质378

三、矩阵可相似对角化的充要条件379

四、实对称矩阵及其性质379

五、重要公式与结论380

第二节重要题型的解题方法和技巧381

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量381

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量382

题型三 特征值、特征向量的逆问题383

题型四 相似的判定及其逆问题386

题型五 判断A是否可对角化388

题型六 有关特征值与特征向量的证明题391

第三节思维定势与综合题解析393

一、思维定势393

二、综合题解析393

习题五399

第六章二次型402

第一节重要概念、定理和公式的剖析402

一、二次型及其矩阵表示402

二、化二次型为标准型402

三、配方法和正交变换法403

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法404

第二节重要题型的解题方法和技巧407

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质407

题型二 化二次型为标准形408

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数412

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明414

第三节思维定势与综合题解析416

一、思维定势416

二、综合题解析417

习题六418