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一 实数——数学的基础1

1．什么样的数叫实数？1

2．为什么说？是无理数？1

3．数轴上有表示无理数的点吗？2

4．如何证明？是无理数？3

5．为什么奇数的平方一定是奇数？3

6．数5K-1（K为整数）除以5，余数是几？5

7．｜a｜与a哪个大？6

8．实数a，a2≥0有什么应用？9

二　变化无穷的代数式13

9．（a+b）8和（a+b）4的展开式分别是什么？13

10．（a+b）5的展开式是什么，联系上一个问题，有什么规律？14

11．什么叫做代数式的恒等变形？15

12．如何用α、β的和与积表示关于α、β的对称式？17

13．若a、b、c均为实数，a2+b2+c2-ab-ac-bc会是负数吗？20

14．如何判断关于x的多项式是否含因式x-a？23

15．对多项式进行因式分解时，怎样就算“分完”了？25

16．换元法在因式分解中有什么应用？27

17．什么叫做待定系数法？29

18．待定系数法在因式分解中有什么应用？31

19．怎样把繁分式较快地化简？35

20．？=x-3错在哪里？37

21．如何识别同类根式？41

三　方程的理论、解法和应用44

22．一元一次方程一定有一解吗？44

23．怎样解含字母系数的一元一次方程？45

24．一个二元一次方程有几组解？为什么？46

25．二元一次方程组的解有几种情况？47

26．公式变形可以看作解方程吗？49

27．解一元二次方程只会用公式法行吗？50

28．解方程（3x+1）（x-1）＝（2x+3）（x-1）时，为什么不能约去（x-1）？53

29．解分式方程为什么要验根？怎样验根？53

30．解一元二次方程为什么不必验根？55

31．解无理方程为什么必须验根？56

32．解字母系数的一元二次方程要注意什么？58

33．如果知道一元二次方程的两个根能确定方程吗？59

34．为什么要研究一元二次方程的根的判别式？61

35．一元二次方程根的判别式为什么能判别实根的情况？64

36．可化为一元二次方程的分式方程的实根情况如何判断？66

37．怎样判别有一个二元一次方程的二元二次方程组的实解情况？69

38．一元二次方程判别式等于0时，为什么不说有一个实根，而强调有两个相等实根？71

39．有一个一次方程的二元二次方程组什么时候会出现增解？怎样避免？73

40．二元二次方程组有哪些常见类型？基本解法是什么？75

　41．用解一元二次方程的方法能解其它方程吗？80

42．含绝对值符号的方程怎么解？82

43．用方程组怎么求7+2？的平方根？84

44．什么是不定方程？怎么解？87

45．不定方程有什么应用？88

46．“秦王暗点兵”是怎么回事？能用方程解吗？90

47．有一个公共根的两个一元二次方程有什么关系？92

48．怎么解一元二次方程中有一个公根的问题？93

49．一元二次方程中根与系数的关系是怎么推出来的？94

50．一元二次方程的根与系数关系有什么应用？95

51．不解方程，怎样判断一元二次方程的实根的正负？102

52．根与系数关系的公式只有一元二次方程有吗？103

　53．一元一次方程的应用题有什么特点？105

54．解应用题时列方程好，还是列方程组好？107

　55．列代数方程解的简单应用题主要有哪些类型？109

　56．关于数的问题怎么列方程？112

57．平面几何中的图形问题能用方程解吗？113

　58．什么是增长率？有关增长率的应用题怎么解？115

59．关于浓度的应用问题怎么布列方程？116

60．“相遇”和“追及”问题所列方程有什么区别？118

　61．“时钟”问题怎么解？120

四　初等数学的核心——函数123

62．为什么要引入平面直角坐标系？123

63．什么是函数概念的三要素？125

64．怎样确定函数中自变量的取值范围？126

65．怎样表示函数？129

　66．什么是分段函数？131

67．怎样画函数的图象？132

　68．k和b怎样决定直线y=kx+b（k≠0）的位置？133

69．解析式x=a和y=b对应的图形分别是什么？135

70．二次函数解析式常用形式有几种？136

71．如何确定二次函数解析式？137

72．怎样计算抛物线在x轴上截得的弦长？141

73．抛物线y=ax2怎样变换为抛物线y=ax2+bx+c？142

74．系数a、b、c的取值怎样影响抛物线y=ax2+bx+c的形状及位置？144

75．怎样求二次函数y=ax2+bx+c的最大值或最小值？146

76．当自变量x的取值范围不是全体实数时，怎样求函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值或最小值？150

77．怎样解求二次函数最大值或最小值的应用题？153

78．当函数解析式中含有字母系数时，你会对字母进行讨论吗？157

79．当函数解析式中含有绝对值符号时，怎样画出它的图象？160

80．怎样确定抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的位置关系？163

81．你会利用函数图象来解某些有关方程或不等式的问题吗？166

五　应用广泛的不等式168

82．初中阶段应掌握不等式的哪些性质？168

83．如何解一元一次不等式？171

84．如何解不等式组？174

85．如何解一元二次不等式？177

86．一元二次不等式有何应用？180

87．如何解形如？>0的分式不等式？184

88．怎样确定ax2+bx+c的符号？186

89．二次三项式ax2+bx+c的值的符号在解不等式中有什么应用？188

90．如何解某些高次不等式？189

91．不等式｜x｜0）的解集是什么？192

92．a>0时，为什么有｜x｜a？x2>a2．有什么应用？193

93．如何解含绝对值的不等式？196

94．解不等式在根式中有什么应用？198

95．解不等式在研究方程中有什么应用？200

96．解不等式在函数中有什么应用？202

六　简洁的指数式204

97．指数式在运算中有什么应用？204

98．当m、n均为有理数时，（am）n=amn对吗？206

99．为什么零的零指数幂没有意义？206

100．为什么零的负指数幂没有意义？208

七　三角函数的广泛应用209

101．怎样理解三角函数的定义？209

102．0°～180°角的三角函数有哪些性质？211

103．应掌握的三角函数关系式有哪些？212

104．怎样利用诱导公式解决计算问题？214

105．已知角a的一个三角函数值，怎样求其它各三角函数值215

106．怎样利用同角三角函数关系式解决求值问题？216

107．已知sina、cosa的值，能确定sina+cosa和sina-cosa的值吗？219

108．怎样证明三角恒等式？221

109．在解三角题过程中，你是否对符号问题给以了足够的重视？222

110．在三角中怎样用换元法解题？224

111．由cosA·cosB·cosC乘积的符号能判断△ABC的形状吗？225

112．怎样证明正弦定理？225

113．怎样利用正弦定理解斜三角形？227

114．已知三角形的两边及其中一边的对角，怎样解三角形？228

115．什么情况下可利用余弦定理解三角形？231

116．你会判断这些三角形的形状吗？232

117．怎样求船和灯塔的距离？234

118．你会利用测角器和皮尺测出气球的高吗？234

119．在三角形中，三条边长的比等于三个角的比吗？235

120．如何求三角式的最大值和最小值？237

八　图形的基础——相交线与平行线240

121．平面几何是一门什么学科？为什么要学习平面几何？240

122．什么是线段、射线、直线？如何表示？241

123．几何课本中为什么要介绍两种角的定义？用什么方法来表示角较好？242

124．度量角的单位是什么？度、分、秒如何互化？243

125．怎么正确区分互余和互补的概念？246

126．什么是对顶角？对顶角为什么相等？247

127．怎样区别相交、斜线、互相垂直、垂线、垂足、点到直线的距离的含义？248

128．“三线八角”是指哪三条线？哪八个角？250

129．怎样应用平行线的判定方法来证题？251

130．命题与定理有什么联系和区别？253

131．如何着手证明题？254

132．怎样恰当应用角平分线的三种表示法？258

九　三角形的性质261

133．如何找全等三角形的对应边和对应角？261

134．判定两个三角形全等有几种方法？为什么角、角、角与边、边、角不能判定两个三角形全等？263

135．怎样正确运用等腰三角形的性质定理和判定定理？265

136．三角形边角不等关系证明的思路方法是什么？266

137．如何解文字型的几何题？270

138．如何作含有多个条件、多个结论的命题的逆命题？271

139．轴对称图形与中心对称图形有什么区别和联系？273

140．应用基本作图如何解有关作图题？274

141．三角形中经常添的是哪些辅助线？277

142．添辅助线时应注意什么？282

143．如何证三角形三条边上的垂直平分线交于一点？283

144．如何证三角形三条角平分线交于一点？284

145．如何证明三角形三条边上的高交于一点？285

十　四边形的特点及相互关系287

146．如何推导多边形的内角和与外角和？287

147．怎样计算多边形对角线的条数？289

148．怎样掌握平行四边形的性质和判定方法？290

149．证明一个四边形是矩形有几种途径？293

150．证明一个四边形是菱形有几种途径？295

151．正方形有什么特点？如何判定？297

152．等腰梯形的性质是什么？怎样判定？300

153．梯形常用的辅助线有哪些？303

154．如何应用三角形、梯形的中位线有关性质来解题？306

155．如何证明线段相等？310

156．如何证明角相等？313

157．如何证明线段与角的和、差、倍分关系？315

158．如何证明线段与角的不等问题？319

159．在平面几何中应该掌握的基本图形有哪些？321

160．三角形及四边形的面积公式是什么？等积变形的作图如何进行？324

十一　相似理论及相似形330

161．你会设“K”吗？330

162．为什么要重视平行线分线段成比例定理的学习？332

163．你会“转移”比例吗？——平行线分线段成比例定理的重要应用。334

164．三角形内（外）角平分线性质定理的证明给了我们什么启示？336

165．三角形角平分线性质定理的应用？338

166．如何判定两个三角形相似？——平行线与相似三角形。340

167．如何判定两个三角形相似？——相交线与相似三角形。343

168．如何判定两个三角形相似？——旋转与相似三角形。345

169．射影定理有哪些主要用途？346

170．三角形中的三条中线为什么交于一点和如何证明重心定理？349

171．什么是同一法？350

172．怎样证明线段成比例？352

173．你能用三角形的面积公式证明线段成比例吗？355

174．你会证明？+？=？型的问题吗？357

175．如何利用线段成比例证明线段相等？360

176．相似三角形与角相等有什么关系？362

十二　与圆相关的概念与证明365

177．垂径定理的逆定理有多少？365

178．？=？的含义是什么？367

179．怎样证明与圆有关的不等关系？368

180．哪些角与圆有关及怎样应用？370

181．反证法在几何中如何应用？372

182．怎样证明四点共圆？（一）374

183．怎样证明四点共圆？（二）376

184．四点共圆有哪些应用？377

185．直线和圆的位置关系的定理及其逆定理为什么能用等价符号，即“？”？380

186．怎样判定直线和圆相切？382

187．相交弦定理、切割线定理及其推论有无内在联系？383

188．怎样证明与圆有关的线段成比例（一）？——基础题的证明思路。385

189．怎样证明与圆有关的线段成比例（二）？——较复杂题的证明思路。387

190．什么样的四边形有内切圆？389

191．如何判定圆与圆的位置关系？391

192．什么是定值与最值问题？393

十三　正多边形计算、作图及其它396

193．正多边形外接圆半径与边长、边心距……之间有什么关系？396

194．什么是“倍边公式”及怎样应用？399

195．正五边形作圆应该怎样证明？401

196．什么是代数作图法？403

197．命题的四种形式及其关系是什么？406

198．怎样判定互为逆否命题是等价命题？408

199．怎样求轨迹？409

200．什么是交轨法作图？411