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目 录1

第一章数学概论1

（一）关于数学的几个问题1

数学的对象1

数学的特点3

数学的抽象7

数学中的概括12

数学方法13

公理法16

数学模型19

数学基础问题20

自然数的特点 425

数学分类26

数学的发展方式30

数学猜想33

数学发展的统一趋势34

新技术革命和数学37

（二）中学数学中的若干辩证思想39

初等数学运算中的辩证39

关系39

一与多43

连续与离散44

有限和无限46

数和形49

量的辨析51

常量和变量53

零55

（三）数字和数学符号历史简介57

古埃及数字57

巴比伦数字58

古希腊数字和罗马数字59

玛雅数字61

中国数字62

印度—阿拉伯数字64

分数和小数66

加号和减号68

乘号69

除号70

等号70

指数符号71

方根符号72

未知数和方程的符号73

负数记号77

不等号77

符号π和e78

对数符号78

虚数记号79

函数符号79

三角函数符号80

几何学符号81

微积分符号81

表示运算顺序的符号—83

括号83

算术简史85

第二章 初等数论简介85

数论91

整除性94

素数97

素数的个数98

梅森素数100

完全数100

亲和数103

哥德巴赫猜想104

素数分布问题107

斐波那契数109

费马猜想112

孙子定理114

大衍求一术117

勾股数120

第三章几何学122

几何学简史122

（一）几何学基础初步知识129

欧几里得《几何原本》129

《几何原本》的缺陷132

希尔伯特《几何学基133

础》133

希尔伯特公理系统133

第五公设的等价命题137

非欧几里得几何学的138

发现138

罗巴契夫斯基公理及其139

推论139

罗巴契夫斯基函数140

黎曼公理及其推论140

（二）初等几何变换141

变换群141

平面上的平行移动141

绕点O的平面旋转142

平面运动群142

空间的平行移动143

绕轴l的空间旋转143

空间运动群144

正交变换群144

平面上的对称145

空间内的对称146

相似变换147

位似变换148

在初等变换下的不变性和149

不变量149

反演变换150

不变性151

在反演变换下逆点的151

作图151

在反演变换下的不变量和151

（三）几何证题法概要152

直接证题法152

间接证题法153

证题时的分析方法155

怎样引辅助线156

证线段相等问题158

证线段不等问题159

证角相等和不等问题160

证定量问题161

证三点共线问题162

证三线共点问题164

证四点共圆问题166

证三角形心类问题168

证切线切圆问题168

证有关比例问题171

证面积问题172

证最大最小问题174

一题多证五例175

极限法证题五例186

错证题六例191

（四）轨迹题196

轨迹定义196

轨迹题的证明197

求轨迹题和证明197

轨迹题197

探求轨迹的预想197

关于轨迹题的讨论197

基本轨迹202

根轴和根心204

用直尺和圆规作图205

（五）几何作图题205

五个基本作图题206

解作图题的步骤206

几种常见的作图法207

尺规作图可能条件215

单用直尺作图例题216

单用圆规作图例题220

单用双边直尺作图222

例题222

几个常用几何作图225

例题225

（六）简单图形度量计算公式227

平面图形227

关系231

正多边形各元素间的231

正多边形各量换算232

公式表232

正多边形外接圆半径232

与各量间关系表232

（七）立体几何的理论与计算234

平面概念及其性质234

空间图形的作图235

多面体的截面236

异面直线概念239

计算240

异面直线的两种量度240

异面直线所成的角的240

计算242

异面直线间距离的作图与242

空间二直线的平行及其248

判定248

直线与平面的平行及其249

判定249

判定250

判定250

空间二直线的垂直及其250

两平面的平行及其250

直线与平面的垂直及其251

判定251

两平面的垂直及其252

判定252

二面角概念及其计算254

公式254

多面角258

公式260

球面距离概念及其计算260

四面体的余弦定理263

四面体的体积公式264

柱、锥、台、球体积的269

统一公式269

公式274

楔形体与截头方锥体体积274

球扇形与圆环体体积274

公式274

斜截圆柱体与圆柱275

截段275

桶形体276

正多面体276

我国古代遗留下来的直277

观图277

（八）直观圈的原理及其绘制277

直观图概念与分类283

投影的概念与分类284

投影法在数学中的应用286

平行投影的特性289

轴测图的形成、轴向变形290

系数290

轴测图293

轴测图的分类、三种常见的293

轴测投影的基本定理294

选择297

数学教学中轴测图的297

结合解题探索最佳画法299

平面图形直观图的300

简便画法300

直观图的简便画法303

直观草图304

简化公式307

直观图的完整性308

直观性的一种方法310

添加阴影线一增加图形310

计算机绘图简介313

（九）若干著名定理和问题314

门纳劳斯定理314

切瓦定理315

德扎格定理315

西姆森定理315

布里昂雄定理316

九点圆定理316

帕波斯定理316

帕斯卡定理316

勾股定理316

托勒密定理316

欧拉公式317

斯图尔特定理317

费尔巴哈定理317

希波克拉底月牙形317

海伦公式317

定理317

欧拉线318

牛顿线318

正等角中心和托里切318

利点318

费马问题和费马点319

卡尔角319

布罗卡尔圆和类似319

重心319

布罗卡尔点和布罗319

黄金分割320

四色问题和五色问题320

施瓦兹三角形问题320

施泰纳短路问题321

圆周17等分作图322

七桥问题322

等分圆周问题322

三大几何作图问题322

单岸曲面324

施泰纳直尺作图问题324

问题325

马斯凯罗尼圆规作图325

圆周率π的值327

第四章三角学328

三角学简史328

任意角333

角的度量334

三角函数337

三角函数的周期341

三角函数的图象342

同角三角函数关系式345

三角函数的互相表示346

和（差）角公式347

倍半角公式348

和积互化公式352

函数式354

万能公式354

三角形三内角的三角354

三角法解代数题357

三角法解几何题358

用方法362

三角式恒等变形的常362

证明三角恒等式的基本366

方法366

三角级数求和公式368

三角形各元素间关系370

反三角函数373

反三角函数的图象375

反三角函数的性质376

反三角函数的基本运算378

运算379

反三角函数和差倍的379

反三角函数关系式380

三角方程383

简单三角方程的解法383

三角方程不同解法所387

得解集的相等387

最简三角不等式389

关于三角形内角的三角391

不等式391

锐角三角函数不等式391

三角函数的极值394

直角三角形解法395

斜三角形解法396

三角函数造表法399

第五章代数学400

代数学简史400

（一）集合知识简介409

集合论简史409

集合的概念411

集合的表示法412

数集的特殊表示413

集与集的关系·子集413

空集414

全集415

有序对·笛卡儿积集415

关系416

有序集416

并集417

交集418

差集·余集418

补集419

集的运算律419

映射421

一一映射·逆映射422

（二）数系423

数系扩张423

自然数的基数定义425

自然数的皮亚诺公理425

结构425

数学归纳法426

归纳定义430

正负数的运算431

负数的引进431

有理数及其性质432

无理数的引进434

初等数学中的无理数435

举例435

证明无理数的初等435

方法举例435

实数及其性质436

实数的公理系统438

实数的近似计算440

虚数的引进444

复数的定义446

共轭复数447

复数的绝对值447

复数的表示形式449

复数加减法449

复数乘除法451

复数乘方与开方453

复数无大小457

超复数·四元数458

代数数与尺规几何作图459

代数数举例459

代数数与超越数的定义459

超越数难题460

（三）代数式461

符号的使用与代数式461

整式的有关概念462

整式的整除性463

余数定理与综合除法463

因式分解的唯一性465

定理465

因式定理466

可约性的判定方法466

因式分解方法举例468

二元二次多项式的因式470

分解470

行列式概念472

行列式的性质473

行列式的计算方法474

恒等式476

代数式的恒等变形476

复合二次根式？？480

有理化因子的存在与482

求法482

待定系数法及其用法489

用待定系数法进行部分491

分式展开491

用待定系数法求函数式494

（四）方程论495

方程论概述495

方程及方程的解496

解方程及其步骤497

方程的同解理论498

方程ax=b及其解的情形500

一元二次方程的代数解法502

一元二次方程的几何解法504

一元二次方程根与系数506

的关系及其应用506

一元三次方程的代数解法508

一元三次方程根的情形510

一元三次方程的几何解法516

一元四次方程的代数解法517

一元四次方程的几何518

解法518

一元n次方程的基本定理520

存在与求法523

一元n次方程有理根的523

特殊的一元高次方程529

的解法529

分式方程的一般解法及其532

增根原因532

利用合分比定理解分式534

方程及其同解性534

无理方程的一般解法及536

其增根的原因536

无理方程的换元解法537

？f(x)+？g(x)=？R(x)539

的解法及增根原因539

无理方程539

指数方程的初等解法541

对数方程的初等解法543

指数方程与对数方程的545

图象解法545

多元方程组的一般概545

念和基本解法545

线性方程组的概念及顺548

序消元法548

姆法则554

解线性方程纽的克莱554

二元整式方程组解的556

情形556

二元非线性方程组解557

法举例557

方程的近似解法564

列方程解应用题566

（五）不等式570

不等式的基本性质570

算术平均值与几何平均571

值不等式571

性质571

绝对值不等式的主要571

几个经典不等式578

绝对不等式的常用证明579

方法举例579

数的大小的判定方法591

条件不等式（组）的解593

的有关概念593

不等式（组）的同解593

理论593

解法596

一元n次不等式的一般596

一元二次不等式的解596

分式不等式的解法599

非有理不等式的解法599

二元不等式（组）的602

几何解法602

函数概念的历史及606

分类606

（六）函数608

函数与反函数的概念608

初等函数定义域的609

确定方法609

方法610

初等函数值域的确定610

初等函数的表示法614

函数图象的几何作法615

单调函数·单调性617

奇函数与偶函数·奇618

偶性618

指数概念及其扩张620

幂函数622

对数概念及其性质623

指数函数与对数函数625

解析几何学简史627

第六章解析几何学627

（一）几个基本问题630

有向直线及有向线段630

平面上两点间的距离631

线段的定比分割631

直线的倾角和斜率632

（二）直线方程及有关问题634

直线方程的几种形式634

直线的一般方程636

的位置关系638

用方程系数判定二直线638

直线的一般方程化为641

法线式方程641

点到直线的距离642

直线划分平面及其应用643

直线型经验公式647

（三）曲线方程及有关问题650

曲线与方程650

圆的方程651

圆的切线652

椭圆的方程653

离心率与准线654

已知二轴作椭圆655

已知椭圆，确定它的中657

心、轴、焦点和准线657

双曲线的方程659

双曲线的渐近线659

已知二轴作双曲线660

已知双曲线，确定中心、轴、661

焦点、渐近线和准线661

抛物线的方程662

抛物线的渐近方向663

物线664

已知焦点和准线作抛664

已知抛物线作对称轴、665

焦点和准线665

圆锥曲线的统一定义665

和方程665

圆锥曲线是圆锥面的667

平面截口667

有关圆锥曲线四个例题670

二次曲线的直径、中心672

和轴672

（四）二次曲线的一般理论672

二次曲线的切线和法线675

椭圆的切线性质和作图677

双曲线的切线性质和678

作图678

抛物线的切线性质和679

作图679

坐标变换公式680

二次方程的化简682

缺项二次曲线的中心685

和轴685

二次曲线可分解的条件687

原点平移和轴旋转时688

二次方程的变换688

有心曲线的变换和分类690

无心曲线的分类695

一般二元二次方程分类695

总表695

确定二次曲线的条件数696

（五）极坐标系及极坐标方程699

极坐标系699

关系700

极坐标与直角坐标的700

直线的极坐标方程701

圆的极坐标方程702

圆锥曲线在极坐标中702

的统一方程702

（六）参数方程705

参数方程的定义及形式705

直线的参数方程706

圆的参数方程706

椭圆的参数方程707

双曲线的参数方程707

抛物线的参数方程708

的互化709

参数方程与一般方程709

第七章数列、极限、微积分712

微积分学简史712

数列的概念720

给定数列的方法721

等差数列（算术数列）722

等比数列（几何数列）723

数列通项的求法723

数列的极限725

数列极限的定理727

函数的极限730

函数极限的定理734

连续函数735

连续函数的运算及局部738

性质738

间断点及其分类739

区间上的连续函数的740

特性740

导数741

微分748

高阶微分752

中值定理753

最大和最小值756

函数的单调性、极值、756

函数的凸凹性和拐点、759

渐近线759

微分与不定积分的关系761

反函数积分法764

同一个被积函数的不定积分767

可以有不同的表达式767

微积分基本定理769

定积分应用中的微元法771

区别及联系774

不定积分与定积分的774

藉助积分和数直接计算777

定积分777

第八章排列、组合、概率、统计782

排列、组合的历史简介782

乘法原理783

排列783

选排列783

有重复的排列784

有相同元素的全排列785

组合786

多组组合787

有重复的组合788

二项式定理789

二项式系数的性质789

贾宪三角形790

一般二项式定理790

多项式定理791

概率论发展史简介792

随机现象794

还原抽球795

样本点、样本空间795

随机试验795

随机事件796

事件间的关系与运算797

概率论与集合论的术语800

对照表800

事件的概率801

概率的古典定义802

概率的几何定义802

频率804

概率的统计定义805

概率的公理化定义806

概率的性质807

条件概率808

概率的乘法定理809

独立性810

伯努利试验812

小概率事件原理813

随机变量814

离散型随机变量815

分布函数815

离散型随机变量的概率816

分布列816

密度函数817

连续型随机变量的概率817

（0—1）分布818

二项分布818

泊松分布819

泊松定理820

正态分布820

标准正态分布821

正态分布的上（双）侧822

百分位点822

3δ法则823

数学期望823

方差824

多维随机变量827

大数定律827

伯努利定理828

中心极限定理828

统计学发展史简介829

总体832

全面调查832

抽样调查833

系统抽样834

简单随机抽样834

分层抽样835

频率分布835

加权平均数836

统计量837

抽样分布837

参数估计838

点估计839

区间估计839

置信区间839

假设检验840

两类错误841

参数性假设检验841

非参数性假设检验842

正态概率纸842

皮尔逊x2检验法844

第九章逻辑概要845

逻辑与逻辑学845

概念845

概念的内涵与外延846

概念间的关系846

定义的意义和方法849

定义的规则851

划分的意义与规则852

定义的可逆性852

命题854

分断式命题855

逻辑符号856

命题的或运算857

命题的与运算857

命题的非运算858

命题的蕴涵运算858

命题的等值运算859

命题演算的算律859

公式861

命题演算中常用的等值861

命题演算的基本法则861

全称命题蕴涵特称命题862

命题的四种形式864

充要条件864

恒真命题与恒假命题867

形式逻辑基本规律867

推理868

类比推理（类比法）868

归纳推理（归纳法）869

演绎推理（演绎法）872

分离法则872

证明876

证明的规则877

第十章数的进位制、逻辑代数和电子计算机简介881

（一）数的进位制881

进位制881

二进数及其运算882

数制的转换884

数制的应用题889

（二）逻辑代数简介891

逻辑代数简史891

逻辑代数893

开关代数895

逻辑线路的分析897

逻辑线路的设计898

（三）电子计算机简介904

计算机发展简史904

电子计算机的特点908

电子计算机的工作原理910

机器语言913

硬件和软件914

计算逻辑与框图916

算法917

电子计算机的应用920

应用电子计算机解题921

的基本步骤921

模拟电子计算机923

机器证明927

机器人928

外国人名索引930

人工智能936

汉语人名索引940

冠以人名的词语索引947

词语索引949

希腊字母表976