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目录1

第一章导论1

1.1.有限的、无限的、积分的不等式1

1.2.记号2

1.3.正不等式2

1.4.齐次不等式3

1.5.代数不等式的公理基础5

1.6.可比较的函数5

1.7.证明的选择6

1.8.主题的选择8

第二章初等平均值11

2.1.常用平均11

2.2.加权平均12

2.3.mr（a）之极限情形13

2.4.Cauchy不等式15

2.5.算术平均和几何平均定理16

2.6.平均值定理的其他证明18

2.7.Н？lder不等式及其推广21

2.8.Н？lder不等式及其推广（续）24

2.9.平均值mr（a）的一般性质26

2.10.和数бr（a）28

2.11.Minkowski不等式30

2.12.Minkowski不等式之一件随不等式33

2.13.几个基本不等式的解说和应用33

2.14.几个基本不等式的归纳证明38

2.15.与定理37有关的初等不等式40

2.16.定理3的初等证明43

2.17.Чебышев（Tchebychef）不等式44

2.18.Muirhead定理46

2.19.Muirhead定理的证明47

2.20.一个另外的定理50

2.21.关于对称平均的其它定理51

2.22.n个正数之初等对称函数53

2.23.关于有定形式（definiteform）的一点说明57

2.24.关于严格正型的一个定理60

第三章关于一个任章函数的平均，凸函数论71

3.1.定义71

3.2.等价平均72

3.3.平均mr的一特征性质74

3.5.凸函数76

3.4.可比较性76

3.6.连续凸函数77

3.7.一个另外的定义79

3.8.诸基本不等式中的等号80

3.9.定理85的新的表达和推广81

3.10.两次可微的凸函数82

3.11.二次可微凸函数的性质之应用84

3.12.多变数凸函数85

3.13.Н？lder不等式之推广87

3.14.关于单调函数的一些定理89

3.15.具有任意函数的和数：Jensen不等式的推广91

3.16.Minkowski不等式的推广92

3.17.集合的比较95

3.18.凸函数的其他的普遍性质98

3.19.连续凸函数的其他性质101

3.20.不连续凸函数103

第四章微积分学的若干应用111

4.1.导引111

4.2.中值定理的应用111

4.3.初等微分学的进一步应用113

4.4.单变数函数的极大和极小116

4.5.Taylor级数的使用117

4.6.多变函数的极大极小理论的应用117

4.7.级数与积分的比较119

4.8.Young的—个不等式121

第五章无穷级数124

5.1.导引124

5.2.平均值mr126

5.3.定理3和定理9的推广129

5.4.Н？lder不等式及其推广130

5.6.和数бr132

5.5.平均值mr（续）132

5.7.Minkowski不等式133

5.8.Чебышев（Tchebychef）不等式134

5.9.摘要134

第六章积分138

6.1.Lebesgue积分方面的一些准备知识138

6.2.关于零集和零函数的说明140

6.3.有关积分之进一步说明141

6.4.关于证法的说明143

6.5.关于方法的进一步说明：Schwarz不等式145

6.6.当r≠0时平均值mr（f）的定义147

6.7.一函数的几何平均149

6.8.几何平均的其它性质152

6.9.关于积分的Н？lder不等式153

6.10.平均mr（f）的一般性质157

6.11.平均mr（f）的一般性质（续）158

6.12.logm？之凸性160

6.13.关于积分的Mimkowski不等式160

6.14.与一任意函数有关的平均值166

6.15.Stielties积分的定义169

6.16.Stieltjes积分的特别情形170

6.17.前面一些定理的推广171

6.18.平均mr（f；φ）172

6.19.分布函数174

6.20.平均值的特征化175

6.21.关于特征性质的说明176

6.22.完成定理215的证明178

第七章变分法的一些应用193

7.1.一些一般性的说明193

7.2.这一章的目的195

7.3.一个与一不可达到的极值相应的不等式的例子196

7.4.定理254的第一证明197

7.5.定理254的第二证明200

7.6.用来阐明变分法的其它例子203

7.7.另外的例子：Wirtinger不等式206

7.8.包含二次导数的一个例子209

7.9.一个较简单的定理215

第八章有关双线性形式和多线性形式的一些定理220

8.1.导引220

8.2.具有正变数和正系数的多线性形式不等式220

8.3.W．H．Young之一定理223

8.4.推广和类似情形225

8.5.在Fourier级数中的应用227

8.6.关于多线性形式的凸性定理229

8.7.一般的双线性形式230

8.8.有界双线性形式的定义232

8.9.［p，q］中有界形式的一些性质234

8.10.［p，p′］中两个形式的卷积（Convolution，Faltung）236

8.11.关于［2，2］中形式的一些特有定理237

8.12.应用于Hilbert形式239

8.13.关于具有复变数和系数的双线性形式的凸性定理241

8.14.最大组（x，y）的另外的性质243

8.15.定理295的证明244

8.16.M.Riesz定理的应用246

8.17.在Fourier级数上的应用248

第九章Нilbert不等式及其类似情形和推广255

9.1.Hilbert二重级数定理255

9.2.一类广泛的双线性形式256

9.3.关于积分的相应定理259

9.4.定理318和定理319的推广260

9.5.可能最好的常数：定理317的证明262

9.6.关于Hilbert定理的进一步说明263

9.7.Hilbert定理的应用266

9.8.Hardy不等式269

9.9.另外的积分不等式274

9.10.关于级数的另外的定理277

9.11.从关于积分的定理推出关于级数的定理278

9.12.Carleman不等式280

9.13.当0＜p＜1时的定理281

9.14.具有两个参数p和q的一个定理284

第十章重新排列293

10.1.有限变数组的重新排列293

10.2.有关两个集的重新排列的一个定理294

10.3.定理368的第二个证明295

10.4.定理368的改写297

10.5.有关三个集的重新排列定理298

10.6.将定理373化为一特殊情形299

10.7.证明的完成301

10.8.定理371的另一证明303

10.9.任意多个集的重新排列306

10.10.关于任意多个集的重新排列的另一定理308

10.11.应用310

10.12.一函数的重新排列310

10.13.关于二函数的重新排列312

10.14.关于三个函数的重新排列313

10.15.定理379的证明的完成315

10.16.一个另外的证明319

10.17.应用322

10.18.另外—个关于将一函数按降序重新排列的定理325

10.19.定理384的证明327

附录Ⅰ．关于严格正形式337

附录Ⅱ．Thorin关于定理295的证明及推广342

附录Ⅲ．关于Hilbert不等式345

参考文献347